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2025-2026学年河南省天立教育九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一次函数y=kx-1的图象如图，则下列说法正确的是（　　）
A. k＜0
B. 当x＞-1时，y＞0
C. 函数值y随自变量x的增大而减小
D. 图象与y轴交于点（0，-1）
2.数学课上，老师在黑板上画出了菱形ABCD，并以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交直线BD于点E，F，连接AE，EC，CF，AF，关于四边形AECF的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当∠DCB=60°时，四边形AECF是菱形；小红认为：当∠DCB=45°时，四边形AECF是正方形，小刚认为：四边形AECF是菱形，且∠ECF=120°，与∠DCB的度数无关，下列判断正确的是（　　）
A. 小明和小红正确，小刚错误 B. 小红和小刚正确，小明错误
C. 小明和小刚错误，小红正确 D. 小明和小红错误，小刚正确
3.已知菱形的周长为4，两条对角线长度的和为6，则菱形的面积为（　　）
A. 2 B. C. 3 D. 4
4.规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，[3]=3，[-2.5]=-3．那么函数y=[x]的图象为（　　）
A. B.
C. D.
5.已知：平行四边形AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E
③画射线OE，交AD于点F（3，4），则点A的坐标为（　　）
A. （-，4） B. .（-2，4） C. .（-，3） D. .（-，4）
6.如果最简二次根式与可以进行合并，则a2的值为（　　）
A. 7 B. 16 C. 25 D. 81
7.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP面积的S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（　　）
A. B. C. D.
8.平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（0，a），（-1，b），（c，-1）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A. a＜b B. a＜3 C. b＜3 D. c＜-2
9.如图， ABCD中，AB≠BC，F是BC上一点，AE平分∠FAD，且E是CD的中点，则下列结论：①AB=BF，②AF=CF+CD，③AF=CF+AD，④AE⊥EF，其中正确的是（　　）
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②④
10.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=a,S△BQC=b,S ABCD=c,则阴影部分的面积为（　　）
A. a+b B. c-a-b C. D. 2a+b
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是______．
12.若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______．
13.在四边形ABCD中，AB∥CD，给出下列4组条件：
①AB=CD，
②AD=BC，
③AD∥BC，
④∠ABC=∠ADC.
其中，不能得到“四边形ABCD是平行四边形”的条件是______.（只填序号）
14.为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的6名同学捐书册数分别是：5，7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐6本，则这组数据的中位数是______．
15.矩形ABCD中，AB=1，O是BD的中点，点E在直线AD上，且DE=3，若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶．乙车中途因汽车故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的大致图象．
（1）求B、C两地之间的距离；
（2）什么时候乙追上甲；
（3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间．
17.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，E，F分别为AB，AC的中点，过点B作AC的平行线与FE的延长线交于点D，连接BF，AD．
（1）求证：四边形ADBF为菱形；
（2）若∠C=30°，求四边形ADBC的面积．
18.(本小题9分)
小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在 ABCD内分别以A，D为圆心，以AD的长为半径画弧，分别交AB，DC于点E，F，快速地作出一个菱形ADFE，如图（1）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题.
（1）小明用到的作图依据是（______）；
A.一组对边平行且相等的四边形是菱形
B.两组对边分别相等的四边形是菱形
C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（2）请在图（2） ABCD内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论.（保留作图痕迹，不写作法）
19.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10．
（1）求BC的长；
（2）若∠CBE=36°，求∠ADC．
20.(本小题9分)
某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有A型和B型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示.
A型客车 B型客车
载客量/（人辆） 45 26
租金/（元/辆） 400 240
经测算，租用A型和B型客车共13辆较为合理.设租用A型客车x辆.
（1）用含x的代数式填写下表.
车量数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x 45x 400x
B型客车 13-x ______ ______
（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？
21.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD.
22.(本小题9分)
已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，对角线BD平分∠EBF.
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）若AG∥DB交CB的延长线于G，求证：四边形AGBD为矩形.
23.(本小题12分)
皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎.某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元.
（1）每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？
（2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】②
14.【答案】6
15.【答案】3+2或3-2
16.【答案】解：（1）乙前面的速度为：100÷2=50（千米/小时），
乙后来的速度为：50×2=100（千米/小时），
BC=360-100-100×（4.8-2.8）=60（千米），
答：B、C两地之间的距离为60千米；
（2）甲的速度为：360÷6=60（千米/小时），
设乙t小时追上甲，
根据题意得:60t=100+100（t-2.8），
解得：t=4.5，
答：出发后4.5小时乙追上甲；
（3）当0＜x≤2时，设甲行驶的距离为y1千米，乙行驶的距离为y2千米，甲速度为60千米/小时，乙速度为50千米/小时。若两车相距40千米，则y1-y2=40，即60x-50x=40，解得：x=4。但此时不在其取值范围内，所以不符合题意，舍去，
①当2＜x≤2.8时，
设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为y=k1x,
代入（6，360）可得k1=60，
所以y=60x,
60x-100=40，解得：x=；
②当2.8＜x≤4.8时，
由（1）可得，A、B两地之间的距离为：360-60=300（km），
设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为y=k2x+b,
代入（2.8，100）和（4.8，300），
得，
解得，
所以y=100x-180，
即100x-180-60x=40，
解得：x=5.5（不合题意，舍去），
解方程60x-（100x-180）=40，得：x=3.5；
③当x＞4.8时，
解方程60x=360-20，得：x=．
答：当两车相距40千米时，甲车行驶了小时或3.5小时或小时．
17.【答案】（1）证明：∵BD∥AC，
∴∠DBE=∠EAF，
∵E为AB中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BED中
∴△AEF≌△BED（ASA），
∴EF=DE，
∵AE=BE，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵E为AB中点，F为AC中点，
∴EF∥BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠AEF=∠ABC=90°，
即AB⊥DF，
∴四边形ADBF为菱形；
（2）解：∵BC=2，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF=BC=，
∵∠C=30°，
∴∠AFE=∠C=30°，
∴AF=2AE，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2+（）2=（2AE）2，
解得：AE=1，
∵AE=BE=1，EF=DE，EF=
∴AB=2AE=2，DF=2EF=2，
∴四边形ADBC的面积S=S菱形ADBF+S△FBC=AB×DF+BC×BE=×2×2+×2×1=3．
18.【答案】C；
连接AC，作AC的中垂线交CD、AB于G、H，则四边形AHCG是菱形，
理由：由作图可知：AG=CG，AO=CO，AH=CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠OCG=∠OAH，
∵∠COG=∠AOH，AO=CO，
∴△COG≌△AOH（ASA），
∴OG=OH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∵AG=CG，
∴四边形AHCG是菱形
19.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=10，
∴BC=10；
（2）∵CE=6，BE=8，BC=10，
∴CE2+BE2=62+82=100=BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC=90°，
∴∠C=90°-∠CBE=90°-36°=54°，
∵AD∥BC，
∴∠D=180°-∠C=180°-54°=126°．
20.【答案】26（13-x），240（13-x）；
租用A型6辆，B型客车7辆，可以使总的租车费用最低，最低为4080元．
21.【答案】证明：过点D作DF∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，∠DFC=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠DFC=∠C，
∴DF=DC，
∴AB=CD．
22.【答案】证明见解析；
证明见解析
23.【答案】每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元；
购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元．
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