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2025-2026学年北京161中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2.下列曲线中，能表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
3.用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0，配方正确的是（　　）
A. （x-1）2= B. （x-2）2=3 C. （x-1）2=0 D. （x-2）2=4
4.长沙市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是（　　）

A. 这周最高气温是32℃ B. 这组数据的中位数是30
C. 这组数据的众数是24 D. 周四与周五的最高气温相差8℃
5.若一次函数y=（2m-1）x+5的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A. m＜0 B. m＞0 C. D.
6.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE=53°，则∠CEF的度数为（　　）
A. 13°
B. 14°
C. 15°
D. 16°
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=4，OH=2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
8.如图，在正方形ABCD中，P为边BC上一点（点P不与点B，C重合），AH⊥DP于G，并交CD于点H，CF⊥AH交AH延长线于点F.给出下面三个结论：
①PC+AD=AH；
②；
③.
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A. 仅有②
B. 仅有③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2-1=0有一根为0，则m=______．
11.如图，△ABC中，BC=5，AC=3，CE平分∠ACD，AD⊥CE于E交BC于D，F为AB的中点，则EF= ______.
12.已知关于x的方程x2+2x+k-1=0有两个相等的实数根，则k的值是______.
13.10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲队 177 176 175 172 175
乙队 170 175 173 174 183
则两队队员身高的平均数 ______（填＞、＜或=），身高的方差 ______（填＞、＜或=）.
14.如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CDE，当点A的对应点D落在BC上时，连接BE，则∠BED的度数是______.
15.如图，正比例函数y1=ax与一次函数的图象交于点P.下面四个结论：
①a＞0，b＜0；
②不等式的解集是x＞-2；
③当x＞0时，y1y2＜0；
④b+2a=1.
其中正确的是 .
16.某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤.某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 9 7 6 4
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要______分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-6x+1=0；
（2）（x-2）2=3（x-2）.
18.(本小题5分)
下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程.
已知：△ABC.
求作：△ABC的中线AD.
作法：①如图，以点B为圆心，AC长为半径作弧；以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于BC下方的点E；
②连接AE，与BC交于点D.
则线段AD即为所求中线.
根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题：
（1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明过程.
证明：连接BE，CE，
∵BE=AC，CE=AB，
∴四边形ABEC是______形（______）（填推理依据），
∴D为BC中点（______）（填推理依据），
∴AD为△ABC的中线.
19.(本小题5分)
平面直角坐标系xOy中，一次函数图象与x轴交点A的横坐标为-1，与y轴交点B的纵坐标为2.
（1）画出函数图象并求此一次函数的表达式；
（2）线段AB的长为______；坐标原点O到直线AB的距离为______.
20.(本小题5分)
已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+（m-4）x-3=0（m为实数且m≠1）．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=BC，D，E分别是AB，AC的中点，AF∥DE，EF∥AD.
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）连接CF，若AB=10，AC=12，求CF的长.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）与y=-kx+3的图象交于点（2，1）.
（1）求k,b的值；
（2）若函数y=mx（m≠0）与函数y=kx+b（k≠0）的图象的交点位于直线x=2的左侧，直接写出m的取值范围.
23.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，3）.
（1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（2）求该一次函数的解析式；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
①△OAB内（不含边界）的整点个数为______个；
②将直线AB向上平移m个单位长度，平移后的直线与x轴、y轴分别交于点M和点N，当△OMN内（不含边界）有6个整点时，m的取值范围是______.

24.(本小题5分)
为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动.现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b.A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在80≤x＜90这一组的是：
84 85 85 86 86 88 89
c.B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：
分数 73 81 82 85 88 91 92 94 96 100
人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全a中频数分布直方图；
（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是______；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是______；
（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品.已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品.
25.(本小题5分)
学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置.当1号装置、2号装置的加工时间都为xh时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积y1（单位：dm3）和2号装置中加工的实验液体的体积y2（单位：dm3），部分数据如下：
x/h 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y1/dm3 0 2.4 a 4.8 6.0 7.2 8.4 9.6 10.8 12.0
y2/dm3 0 0.2 0.6 1.1 2.0 3.2 4.7 6.6 8.9 11.6
（1）写出表中a的值；（结果保留小数点后一位）
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决问题：
若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工.
①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位）
②2号装置再加工______h,与1号装置加工的实验液体的体积相等.（结果保留小数点后一位）
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=x-a-3的图象与函数y=-x+a-3的图象交于点A，两个函数图象在点A上方的部分及点A组成图形G.
（1）当a=2时，求点A的坐标；
（2）已知M（x1，y1）和N（3，y2）是图形G上的两点.若对于x1=a-1，都有y1＜y2，求a的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，P为线段BC上的动点（不与点C重合），将线段AP绕点A顺时针旋转α得到线段AQ.
（1）如图1，当P是BC中点时，连接BQ，求证：BP=BQ；
（2）过点Q作直线QM∥AC，交直线BC于点M，在射线MB上取一点N，使得MN=2CP，连接QN.请补全图2，直接写出∠MQN的大小并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1 x2=y1 y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．
（1）在Q1（2，1），Q2（-4，-1），Q3（8，2）中，点P的等积点是______．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】x≥2
10.【答案】-1
11.【答案】1
12.【答案】2
13.【答案】= ＜
14.【答案】45°
15.【答案】③④
16.【答案】26 16
17.【答案】解：（1）x2-6x+1=0，
x2-6x=-1，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
则x-3=，
所以．
（2）（x-2）2=3（x-2），
（x-2）2-3（x-2）=0，
（x-2）（x-2-3）=0，
（x-2）（x-5）=0，
则x-2=0或x-5=0，
所以x1=2，x2=5．
18.【答案】见解析；
平行四边；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分．
19.【答案】y=2x+2，图见解析；
；．
20.【答案】（1）证明：依题意，得=（m-4）2-4（m-1）×（-3）
=m2-8m+16+12m-12
=m2+4m+4
=（m+2）2．
∵（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：a=m-1，b=m-4，c=-3，
，
∴x1=-1，，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数，
∴m-1=1或m-1=3，
∴m=2或m=4．
21.【答案】（1）证明：∵AF∥DE，EF∥AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AD=AB，DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∵AB=BC，
∴AD=DE，
∴四边形ADEF是菱形；
（2）解：连接DF交AE于O，
∵四边形ADEF是菱形，
∴AE⊥DF，AO=，OD=，
∵D，E分别是AB，AC的中点，AB=10，AC=12，
∴AD=5，AE=6，
∴AO=3，
∴DO==4，
∴OF=DO=4，OC=AC-AO=12-3=9，
∴CF===．
故答案为：．
22.【答案】k=1，b=1；
或m＜0．
23.【答案】（1）如图：
；
（2）把A（3，0）、B（0，3）代入y=kx+b得，
，
∴，
∴一次函数的解析式y=-x+3；
（3）①1；
②m=2.
24.【答案】解：（1） 补全a中频数分布直方图如下：
（2）88.5；94；
（3）（份），
答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品．
25.【答案】a=3.6；
图象见解答部分；
①5.5（答案不唯一）；
②2.5（答案不唯一）．
26.【答案】A（2，-3）；
a＜2或a＞4．
27.【答案】（1）证明：在△ABC中，∠BAC=α，P为线段BC上的动点（不与点C重合），将线段AP绕点A顺时针旋转α得到线段AQ，
∴AP=AQ，∠QAP=α=∠BAC，
∵AB=AC，点P是BC中点，
∴∠BAP=∠BAC=∠QAP，
∴∠BAP=∠BAQ，
∵AB=AB，
∴△BAP≌△BAQ（SAS），
∴BP=BQ；
（2）解：作图如图2：
；
∠MQN=90°；理由如下：
连接BQ，作QB=QD，交CN于点D，
∵AP=AQ，∠QAP=α=∠BAC，
∴∠QAB=∠QAP-∠BAP，∠PAC=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠PAC，
∵AB=AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴∠QBA=∠C=∠ABC，BQ=CP=，
∵QB=QD，
∴∠QBD=∠QDB=2∠C，
∵QM∥AC，
∴∠C=∠QMD，
∴∠DQM=∠QDB-∠QMD=∠C=∠QMD，
∴QD=DM，
∴DM=QD=BQ=，
∴点D是MN的中点，
∴QD=DN=DM，
∴∠N=∠DQN，∠DQM=∠DMQ，
由三角形内角和可知2∠DQN+2∠DQM=180°，
∴∠DQN+∠DQM=90°，即∠MQN=90°．
28.【答案】Q2，Q3
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