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2024-2025学年河南省许昌市禹州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 画饼充饥 B. 水涨船高 C. 一箭双雕 D. 缘木求鱼
2.2024年巴黎奥运会圆满落幕，下列是巴黎奥运会四个运动项目的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 马术三项赛 B. 山地自行车
C. 花样游泳 D. 曲棍球
3.用配方法解方程x2-2x-7=0时，原方程变形正确的是（　　）
A. （x-1）2=6 B. （x-2）2=6 C. （x-1）2=8 D. （x-2）2=11
4.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A（2，1），以原点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大为原来的2倍得到△OA′B′，则点B′的坐标为（　　）
A. （-2，4） B. （-4，2） C. （-1，-2） D. （-2，-4）
5.一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（　　）
A. 8 B. 10 C. 16 D. 20
6.如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B，D为⊙O上的点，∠CBD=38°，=，则∠AOB的度数为（　　）
A. 28°
B. 30°
C. 32°
D. 40°
7.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在反比例函数的图象上，D为y轴上一点，连接CD，AD，若△ACD的面积为3，则k的值是（　　）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8.定义：如果一条直线把△ABC分割成一个三角形和一个四边形，并且分割后得到的三角形与四边形的面积相等，那么我们把这条直线叫作△ABC的“完美分割线”.已知△ABC的一条“完美分割线”分别交边AB，AC于点M，N，且∠AMN=∠C，则的值为（　　）
A. B. C. D. 1
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A. abc＞0
B. 2a+b=0
C. a-b+c＜0
D. m（am+b）≥a+b
10.如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖OBAC”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，∠B=∠C=30°，OA=AB=AC=2.将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将抛物线y=x2-4x+1向右平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为______.
12.已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2有如下的关系：x1+x2=-，x1 x2=.根据以上信息请写出一个两根互为倒数的一元二次方程： .
13.若点P（-4，y1）和点Q（-2，y2）都在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则k的取值范围是 .
14.如图，E为菱形ABCD的对角线BD上一点，以E为圆心的圆弧恰好经过点A，B，C.若∠A=120°，BE=2，则图中阴影部分的面积为 .
15.如图，E为正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转45°得到线段AF，连接BF.若AD=2，则线段BF长度的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
设关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0.现有如下两组条件：①b=-2，c=-4；②b=2，c=4.请从这两组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.
17.(本小题9分)
某学校开展研学活动，小沈将四个研学地点（中国文字博物馆、林州红旗渠、焦作云台山、焦裕禄纪念园）制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除正面上的字母和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“中国文字博物馆”的概率是多少？
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“林州红旗渠”和“焦作云台山”的概率.
18.(本小题9分)
手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”.图中手卷长1000cm,宽40cm,引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm,若画心的面积为15200cm2，求隔水的宽度x.
19.(本小题9分)
如图1是光的反射规律示意图，AO是入射光线，OB是反射光线，法线KO垂直于平面镜L，反射角∠BOK等于入射角∠AOK.如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板EF、挡板AD、平面镜GH，挡板AD上有一个孔隙（可以看作点B），从点A发出的光线AO经平面镜反射后恰好经过孔隙B射出，并落在挡板EF上的点P处.已知AB=AE=40cm,AG=25cm.求点P离桌面的高度PE.
20.(本小题9分)
如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（4，1），B（n,-2）两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式.
（2）请结合图象直接写出不等式的解集.
（3）连接BO并延长，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积.
21.(本小题9分)
我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系.
下面我们尝试证明切割线定理.
已知：如图1，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，PC交⊙O于点B，C（即PC是⊙O的割线），连接AB，AC.
求证：PA2=PC PB.
证明：如图2，连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠DAP=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AD是⊙O的直径，
…
（1）根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程；
（2）图2中，若⊙O的半径为2，，BC=3，求BD的长.
22.(本小题10分)
实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m,实心球运动至最高点时距地面3.4m,距出手点的水平距离为4m.设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）.如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式.
（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分.
23.(本小题11分)
如图1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长FE交BC于点P.
（1）在旋转过程中，试探究线段BP与PE的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，当点F在AD的延长线上时，连接CF，BE，延长BE交CF于点Q，证明：Q为CF的中点.
（3）在（2）的条件下，若矩形ABCD长与宽之比为4：3，请直接写出的值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】（4，-3）
12.【答案】x2-3x+1=0（答案不唯一）
13.【答案】k＞4
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】选条件①，x1=2，x2=-1．
17.【答案】；

18.【答案】隔水的宽度x为10cm．
19.【答案】72cm．
20.【答案】，；
-2＜x＜0或x＞4；
6
21.【答案】证明见解析；
．
22.【答案】y=-0.1（x-4）2+3.4；
小军第一次投掷实心球不能得满分．
23.【答案】BP=PE；理由如下：
连接AP，如图1，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，
∴AB=AE，∠B=∠AEF=∠AEP=90°．
在Rt△APB和Rt△APE中，
，
∴Rt△APB≌Rt△APE（HL），
∴PB=PE；
方法一：如图2，延长BQ，AF交于点H．
由 ，知BP=PE，
∴∠EBP=∠BEP，
∴∠FEH=∠BEP=∠EBP，
∵AF∥BC，
∴∠H=∠EBP，
∴∠FEH=∠H，
∴EF=FH，
∵EF=BC，
∴FH=BC．
在△FQH和△CQB中，
，
∴△FQH≌△CQB（AAS）．
∴FQ=CQ，
即Q为CF的中点；
方法二：如图3，过点C作CK∥EF，CK交BQ延长线于点K．
则∠K=∠KEF=∠PEB，
由 ，知BP=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PBE=∠K，
∴CK=CB=EF．
又∵∠EQF=∠KQC，
∴△EQF≌△KQC（AAS），
∴FQ=CQ，
即Q为CF的中点；
的值为或
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