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2024-2025学年河南省周口市川汇区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将一元二次方程2x2=x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　）
A. 8 B. 4 C. -8 D. -4
2.汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（km）和时间t（s）之间的关系式为s=3t2+18t,那么行驶120km,需要的时间为（　　）
A. 10s B. S C. 4s D. 3s
3.已知⊙O的半径r=3，，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外 C. 点P在⊙O上 D. 无法确定
4.下列事件中，必然事件是（　　）
A. a是实数，|a|≥0 B. a是实数，|a|＞0
C. 买一张电影票，座位号是3的倍数 D. 两个实数相加，和是正数
5.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，0），（3，0），（0，3），则该图象必经过点（　　）
A. （-1，3） B. （1，3） C. （2，3） D. （-2，3）
6.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A. （2，10）
B. （-2，0）
C. （2，10）或（-2，0）
D. （10，2）或（-2，0）
7.图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数x与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（　　）
A. x（x-6）=588 B. x（x-7）=588 C. x（x-8）=588 D. x（x-5）=588
8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=16cm,则球的半径长是（　　）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 6
9.小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（　　）
A. B. C. D.
10.若方程x2-2x-t=0在-1＜x≤4范围内有实数根，则t的取值范围为（　　）
A. 3＜t≤8 B. -1≤t≤3 C. -1＜t≤8 D. -1≤t≤8
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程（x-1）（x+1）=x-1的解是______.
12.在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有______个．
13.如图PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，，图中阴影部分的周长为 （结果保留π）.
14.已知二次函数y=ax2-2x+c的图象如图所示，则点P（a，c）在第______象限．
15.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接CD.若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
关于x的一元二次方程x2+mx+n=1.
（1）若方程有两个不相等的实数根，且m=4，求满足条件的n的范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n.
17.(本小题9分)
二次函数y=ax2+bx-5（a≠0）的部分图象如图所示，其图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴交于点C，且经过点D（3，-8）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将此二次函数解析式配方成y=a（x-h）2+k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标.
18.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=1，△AB'C'由△ABC绕点A顺时针旋转得到，其中点B'、C'分别与点B、点C是对应点，连接BC'，当B、B′、C'在同一条直线上，求BB'的长.
19.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，⊙O经过B，D两点，且圆心O恰好落在AB上.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接DF，若DF=BE，则∠BFD= ______°.
20.(本小题9分)
小明将8张点数分别为1～8的扑克牌，全部放入A、B两个不透明的盒子中，每个盒子至少要放一张扑克牌，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k这一事件的概率记为Pk.若将点数为1～4的扑克牌放入A盒子，其余的牌放入B盒子，从两个盒子中各随机抽取一张扑克牌，求P8等于多少？
21.(本小题10分)
如图，已知∠MAN=90°，AD平分∠MAN，点B、点C分别在∠MAN的两边AM与AN上，连接BC.
（1）求作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）；
（2）若AB=3，AC=7，且AD与⊙O交于点E，求线段AE.
22.(本小题10分)
如图1所示是一个水桶的简易取水装置，图2是其示意图.从出水口A处喷出的水流可抽象为抛物线的一部分，点B是水流与杯子底部的接触点.水流运动的高度y（cm）与运动的水平距离x（cm）近似满足函数关系式：y=a（x+5）2+h（a≠0）.
（1）求抛物线的解析式；（不必写x的取值范围）
（2）为了取水便捷舒适，要将水桶垫高，若垫高后点B离出水口的水平距离不得小于30cm,求水桶至少要垫高多少厘米？
23.(本小题10分)
【问题背景】
如图1-①，运用勾股定理不难证明对角线互相垂直的四边形的四边a、b、c、d之间，存在数量关系a2+c2=b2+d2.
小明在解答了上面的问题后，沿着一条对角线把这种四边形剪成两个三角形，并对两个三角形进行了图1-①至图1-④探究操作.结合图1的变化过程，直接写出下图2中矩形ABCD内四条线段PA、PB、PC、PD的数量关系______；
【情境探究】
如图3，在图1-④的基础上，小明将△AEC绕点A顺时针旋转，连接BC，他发现旋转过程中∠ABC存在最大值.若AB=2，AC=1，当∠ABC最大时，求BC的长；
【迁移应用】
在图3的条件下，△AEC绕点A顺时针旋转一周，线段BC扫过的图形面积为______.（结果保留π）
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】x1=1，x2=0
12.【答案】9
13.【答案】
14.【答案】二
15.【答案】2+2
16.【答案】n＜5；

17.【答案】y=x2-4x-5；
y=（x-2）2-9，顶点坐标为（2，-9），B（5，0）
18.【答案】3．
19.【答案】如图1，BD平分∠ABC，连接OD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵⊙O经过B，D两点，
∴OB=OD．
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥AC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
60
20.【答案】．
21.【答案】如图，⊙O即为所求：

22.【答案】；
取水装置至少要垫高13cm
23.【答案】PA2+PC2=PB2+PD2
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