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2024-2025学年河南省驻马店市上蔡县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果x2=64，那么的值为（　　）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D. -2
2.将多项式x2-x-2进行因式分解，结论正确的为（　　）
A. （x-1）（x-2） B. （x+1）（x+2） C. （x+1）（x-2） D. （x-1）（x+2）
3.两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A. ∠A的平分线上
B. AC边的高上
C. BC边的垂直平分线上
D. AB边的中线上
4.可以用来说明“如果a＞b,则a2＞b2”是假命题的反例是（　　）
A. a=3，b=-4 B. a=-1，b=3 C. a=3，b=-1 D. a=3，b=4
5.木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A. 等边对等角 B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一”
6.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=78°，则∠CDE的度数是（　　）
A. 60° B. 76° C. 78° D. 84°
7.如图，等边△ABC的周长为12，则它的高AD为（　　）
A.
B.
C.
D.
8.不论a，b为何实数，a2+b2-2a-4b+7的值是（　　）
A. 总是正数 B. 总是负数
C. 可以是零 D. 可以是正数也可以是负数
9.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是（　　）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ACD：S△ABD=AC：AB，其中正确的有（　　）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知数据：，，-，2π-1，0.其中无理数出现的频率为______.
12.如图，BA=BC，在数轴上点A表示的数是______.
13.在等腰三角形ABC中，它的周长为16cm,其中一边长为6cm,它的腰长为______.
14.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为2，AB=4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为______.
15.如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1-S2+S3-S4的值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=29，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学打算用x张边长为a和y张边长为b的小正方形，z张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（3a+5b）（4a+7b）的长方形，那么他总共需要多少张纸片？
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
计算或因式分解：
（1）计算：；
（2）计算：（x3y4-0.9xy3）÷xy3；
（3）因式分解：；
（4）因式分解：（a-b）（x-y）-（b-a）（x+y）.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（a-1）2+（a+3）（a-3）+（a-3）（a-1），其中a2-2a=2.
19.(本小题10分)
国务院发布《全民健身计划（2021-2025）年》后，某校兴趣小组为了解该校学生健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告（不完整）.
调查目的 1.了解本校初中生每天健身活动的总时长；
2.给学校提出更合理的健身活动建议.
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 同学，你每天健身活动的总时长为______.
A.0～0.5小时；B.0.5～1小时；C.1～1.5小时；D.1.5小时及以上；
（每组含最小值，不含最大值），请根据实际情况选择最符合的一项，感谢参与!
调查结果
建议 …
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了______名学生，m= ______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为______度；
（4）若该校有1200名学生，请你估计该校学生中每天健身活动总时长不低于1小时的人数.
20.(本小题7分)
校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端A，B两点之间的距离，他们的操作过程如下：①沿AB延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使BC=6米；②在AC的一侧选点D，恰好使BD=8米，CD=10米；③测得AD=17米.请根据他们的操作过程，求出A，B两点间的距离.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.
（1）用尺规作图法，在BC上求作一点P，使点P到AC，AB的距离相等；
（2）若AC=6，求点P到AB的距离.
22.(本小题9分)
如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点F在△ABC外部，且∠ABD=∠CAF，∠F=∠BDC=60°，在AF上取一点E，使AE=BD.
（1）求证：AD=CE；
（2）已知：AD=3，BD=5，求AF的长.
23.(本小题11分)
通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】（1）如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E.求证：AC=DE，BC=AE.（写出证明过程）
我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；请运用图1的模型解决下列问题：
【模型应用】（2）如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按图中所标注的数据，计算图中阴影部分图形的面积为______.
【深入探究】（3）如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G.求证：点G是DE的中点.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】0.4
12.【答案】
13.【答案】5cm或6cm
14.【答案】
15.【答案】55
16.【答案】（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
17.【答案】；
；
；
2 x（a-b）
18.【答案】3a2-6a-5；1．
19.【答案】50、18； 见解答； 72； 456人．
20.【答案】解：∵BC=6米，BD=8米，CD=10米，
∴BC2+BD2=100=CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°，
∴∠ABD=90°，
∵AD=17米，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB==15（米），
∴A，B两点间的距离为15米．
21.【答案】解：（1）如图所示，点P即为所求；
（2）如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得，AP平分∠BAC，
∵∠C=90°，
∴PC=PD，
∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAP=∠BAP=30°，
∵AC=6，
∴CP=AC=2，
∴PC=PD=2，
∴点P到AB的距离为2．

22.【答案】在△ABD与△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD=CE；
8
23.【答案】∵∠BAD=90°，DE⊥AC于点E．BC⊥AC于点C，
∴∠DEA=90°，∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∵∠BAC+∠DAE=90°，
∴∠CBA=∠DAE，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE；
50；
如图3，作DM⊥AF于点M，EN⊥AF于点N，
由“K字”模型可知，△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF=DM，
同理得：AF=EN，
∴EN=DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD=∠GNE=90°，
在△DMG和△ENG中，
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG=EG，
即点G是DE的中点
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