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2024-2025学年河南省驻马店市遂平县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　）
A.
B.
C.
D.
2.已知P=（x-1）（x-4），Q=（x-2）（x-3），则P与Q的大小关系为（　　）
A. P＞Q B. P=Q C. P＜Q D. 不确定
3.下列四个算式：①；②16a6b4c÷8a3b2=2a2b2c；③9x8y2÷3x3y=3x5y；④（12m3+8m2-4m）÷（-2m）=-6m2+4m+2，其中正确的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4.如图，嘉嘉用无刻度的直尺和圆规作∠A′O′B′与∠AOB的度数相等，淇淇对嘉嘉的作图步骤进行了如下总结，其中出错的步骤是（　　）
A. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D
B. 以点O′为圆心，CD 的长为半径画弧①，交O′A′于点C′
C. 以点C′为圆心，CD的长为半径画弧②，与弧①相交于点 D′
D. 过点D′作射线，则∠A′O′B′=∠AOB
5.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（　　）
A. 50° B. 50°或130° C. 130° D. 65°或25°
6.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子.现从中抽取一把米，数得127粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（　　）
A. 67石 B. 85石 C. 169石 D. 273石
7.“阳光体育”运动在某市轰轰烈烈开展，为了解同学们最喜爱的阳光体育运动项目，晓芬对本班50名同学进行调查，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图.若将其转化为扇形统计图，则表示最喜爱的阳光体育运动项目为篮球的扇形的圆心角的度数为（　　）
A. 72° B. 120° C. 144° D. 180°
8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　）
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
9.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中错误的是（　　）
A. CP平分∠ACF
B. ∠ABC+2∠APC=180°
C. ∠ACB=∠APB
D. S△PAC=S△MAP+S△NCP
10.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE=DF，∠BAG=∠ABC=45°，，AE=2EF，则AF=（　　）
A. 12
B.
C. 10
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知a是的整数部分，，则的平方根是 .
12.若a=250，b=340，c=430，则a、b、c的大小关系是______.（用“＜”连接）
13.在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.1，则第六组的频数是______.
14.如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______.
15.如图，在四边形ABCD中，=BC=5cm,点E在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，点F的运动速度为 cm/s.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：.
（2）因式分解：9a2（x-y）+4b2（y-x）.
17.(本小题9分)
阅读下面的文字，解答问题.大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是______，小数部分是______；
（2）的整数部分是______，小数部分是______；
（3）若设整数部分为x,小数部分为y.
①求x与y的值；
②求4x-xy的值.
18.(本小题9分)
如图，已知△ABC中，AB=AC，在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连接AE.
（1）作图：作∠EAC的平分线AF，交DE于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE=∠ACF.
19.(本小题9分)
电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”、“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量.为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，我校随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A.非常了解；B.比较了解；C.了解；D.不太了解；E.不了解.根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次被抽查的学生共有______名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）若我校共有3000名初中学生，估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D.不太了解”的人数.
20.(本小题9分)
随着中国科技、经济的不断发展，5G信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现.如图，有一辆汽车沿直线AB方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个5G信号源，且点C到点A和点B的距离分别为60m和80m,且AB=100m,信号源中心周围50m及以内可以接收到5G信号.
（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号吗？为什么？
（2）若汽车的速度为10m/s,请问有多长时间可以接收到5G信号？
21.(本小题9分)
问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定理；
定理表述：
（1）请你结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；
勾股定理：______.
尝试证明：
（2）善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明.
解决问题：
（3）如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请设法求出旗杆的高度.
22.(本小题10分)
一般地，n个相同的因数a相乘a a … a,记为an，其中a称为底数，n称为指数；若已知2x=32，易知x=5，若2x=33，则该如何表示x？一般地，如果ax=N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381=4；故2x=33中，x=log233．
（1）熟悉下列表示法，并填空：
∵21=2，
∴log22=1，
∵22=4，
∴log24=2，
∵23=8，
∴log28=3，
∵24=16，
∴log216=______，计算：log232=______；
（2）观察（1）中各个对数的真数和对数的值，我们可以发现log24+log28=______；（用对数表示结果）
（3）于是我们猜想：logaM+logaN=______（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）．请你请根据幂的运算法则及对数的含义证明你的结论；
（4）根据之前的探究，直接写出logaM-logaN=______．
23.(本小题10分)
已知在四边形ABCD中，AB=AD，.
（1）如图1，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，线段EF、BE、FD之间的关系是______；
（2）如图2，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】±3
12.【答案】a＜c＜b
13.【答案】10
14.【答案】20米
15.【答案】2或
16.【答案】；
（x-y）（3a+2b）（3a-2b）
17.【答案】（1）1，；
（2）2，；
（3）①∵，
∴，
∴，
∴，
∴整数部分x=1，小数部分；
②∵x=1，，
∴．
18.【答案】（1）解：如图所示：射线AF即为∠EAC的平分线AF；
（2）证明：连接CF，
∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，∠ABE=∠AEB，
在△EAF和△CAF中，
，
∴△EAF≌△CAF（SAS），
∴∠AEF=∠ACF，
∴∠ABE=∠ACF．
19.【答案】解：（1）100；72°；
（2）C类别人数为100-（20+23+14+3）=40（名），补全图形如下：
（3）3000×=420（名），
答：估计我校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数约为420名．
20.【答案】解：（1）汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号，理由如下：
过点C作CD⊥AB于点D，如图1所示．
∵AC=60m,BC=80m,AB=100m,602+802=1002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴CD===48（m），
∵48m＜50m,
∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到5G信号；
（2）设点E，F在直线AB上，且AE=AF=50m,如图2所示．
在Rt△CDE中，CD=48m,CE=50m,
∴DE===14（m），
同理：DF=DE=14m,
∴EF=DE+DF=14+14=28（m），
∴28÷10=2.8（秒）．
答：有2.8秒可以接收到5G信号．
21.【答案】（1）a2+b2=c2；
（2）证明：方法一：如图②，连接AE．
∵梯形ACDE面积=△ABE面积+2△ACB面积=c2+2×ab=c2+ab.
又梯形ACDE面积=（a+b）（a+b）=（a+b）2，
∴（a+b）2=c2+ab,
∴a2+b2=c2．
方法二：
∵正方形ABCD面积=正方形HEFG面积+4△AED面积=（b-a）2+4×ab=a2+b2．
又正方形ABCD面积=AD2=c2，
∴a2+b2=c2．
解决问题：
（3）解：如图③：
由题意知：AB=AC，
∵AB2+BD2=AD2，
∴AB2+52=（AC+1）2，
∴AB=12，
故旗杆的高度为12米．
22.【答案】（1）4，5；
（2）由（1）可得，log24+log28=2+3=5=log232，
故答案为：log232；
（3）logaM+logaN=logaMN，
证明：设x=logaM，y=logaN，则ax=M，ay=N，
∴ax ay=MN，
即ax+y=MN，
∴x+y=logaMN，
∴logaM+logaN=logaMN；
（4）loga，
23.【答案】解：（1） EF=BE+FD；
（2）如图2，
（1）中的结论不变，即EF=BE+FD，理由如下：
延长CD至G，使DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠ADG=∠ABC，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠EAF=，
∴∠BAE+∠DAF=，
∴∠DAG+∠DAF=，
∴∠GAF=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG=DG+FD=BE+FD．
（3）如图3，
（1）中的结论不成立，EF=BE-FD，理由如下：
延长CD至G，使DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠ADG=∠ABC，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD，
∴∠DAG+∠DAE+∠DAF=∠BAD+∠DAF，
∵∠EAF=，
∴∠DAG+，
∴∠DAG-∠DAF=，
∴∠GAF=，
∴∠GAF=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG=DG-FD=BE-FD．
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