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2024-2025学年湖南省衡阳市衡山县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞3 B. x＜3 C. x≥3 D. x≤3
2.下列各式中，与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.若关于x的方程kx2-x+3=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k12 B. k C. k12且k≠0 D. k且k≠0
4.关于x的一元二次方程ax2-bx-2021=0满足a+b=2021，则方程必有一根为（　　）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 无法确定
5.如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC=36cm,，则AE的长为（　　）
A. 48cm
B. 60cm
C. 96cm
D. 120cm
6.如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1=2：3，则△A1B1C1的面积是（　　）
A. 90cm2
B. 135cm2
C. 150cm2
D. 375cm2
7.小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球.下面说法中正确的是（　　）
A. 他第11次摸到的一定还是黄球 B. 他第11次摸到的可能还是黄球
C. 盒子里一定都是黄球 D. 盒子里一定还有其它颜色的球
8.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A. asinθ千米 B. 千米 C. acosθ千米 D. 千米
9.已知点A（2，4）经过平移后的对应点是D（5，-3），点M（a,b）也经过这样的平移后对应点是N（m,n），则m+n-a-b的值为（　　）
A. 4 B. -4 C. 3 D. -3
10.某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件.经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件.如果商场平均每天想要盈利672元，那么每件上衣的售价应为多少元？小安假设“每件上衣的售价为x元”，小溪假设“每件上衣应降价y元”，下列说法正确的是（　　）
A. 按小安的设元方法，则该商场平均每天可售出2x件上衣
B. 按小溪的设元方法，则该商场平均每天可售出2y件上衣
C. 按小安的设元方法，应列方程为（x-50）（20+2x）=672
D. 按小溪的设元方法，应列方程为（30-y）（20+2y）=672
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算：= ______.
12.已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是-7，则另一个根是______.
13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，如果△ABC的周长是14.则△ADE的周长是______.
14.小明在解方程x2-3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2-3x+2=0
x2-2x-x+2=0 第①步
x2-2x=x-2 第②步
x（x-2）=x-2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为______（填序号）.
15.若关于x的一元二次方程x2=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 .
16.若，则= ______.
17.若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程（x+3）2=8，则c的值为______.
18.图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为______cm2.
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：.
20.(本小题12分)
解方程：
（1）（x-1）2=2（x-1）；
（2）2x2-5x-2=0．
21.(本小题8分)
随着科技的不断进步，人工智能（AI）正逐渐渗透到我们的生活和工作.从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能.某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元.
（1）若有14人参加旅游，人均费用是______元.
（2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数.
22.(本小题8分)
如图，小明手中握着3根质地，颜色等完全相同的细绳，只露出它们两端，将朝上的一端记为头，朝下的一端记为尾.小亮从头，尾中随机各选一个，请用列举法求小亮选中的两端属于同一根细绳的概率.
23.(本小题10分)
已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？求点C的坐标.
24.(本小题10分)
拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上.如图1，当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每节拉杆的长度.
（参考数据：sin53°≈，sin37°≈，tan53°≈，tan37°≈）
25.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动.过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN.设点P移动的时间为t（s）.
（1）PQ=______cm；（用含t的代数式表示）
（2）若点N落在BC边上，则此时的t的值是多少？
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】7
14.【答案】②
15.【答案】k＞0
16.【答案】-
17.【答案】1
18.【答案】53
19.【答案】解：原式=
=
=．
20.【答案】解：（1）∵（x-1）（x-1-2）=0，
∴x=1或x=3，
∴x1=1，x2=3；
（2）∵a=2，b=-5，c=-2，
∴Δ=b2-4ac=41＞0，
∴x==，
∴．
21.【答案】220
22.【答案】．
23.【答案】（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．
24.【答案】解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB=x cm,则AC=60+x,
∵sin53°==，
∴AF=（60+x） sin53°，
如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC=60+2x,
∴AH=（60+2x） sin37°，
∵AF=AH，
∴（60+x） sin53°=（60+2x） sin37°，
∴，
解得：x=30．
答：每节拉杆的长度为30cm.
25.【答案】4t；
t=；
当△PCN是等腰三角形时，t=或或
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