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2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A. （-3，-2） B. （3，-2） C. （-2，-3） D. （2，-3）
2.函数中自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞-2 B. x≥-2 C. x≠-2 D. x＜-2
3.下列计算正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 瓮中捉鳖
5.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时，方程变形正确的是（　　）
A. （x-1）2=2 B. （x-1）2=4 C. （x-1）2=1 D. （x-1）2=7
6.一种药品原价每盒64元，经过两次降价后每盒36元，设两次降价的百分率都为x，则x满足（　　）
A. 64（1+2x）=36 B. 64（1-2x）=36 C. 64（1+x）2=36 D. 64（1-x）2=36
7.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，相似比为1：2，下列结论中不正确的是（　　）
A. BC：EF=1：2
B. OA：AD=1：2
C. ∠ACB=∠DFE
D. ∠OAC=∠ODF
8.若，则△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
9.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E、F在AD上，BE与CF相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（　　）
A. 4：25 B. 49：100 C. 7：10 D. 2：5
10.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP MD=MA ME；③∠CPB=45°.其中正确的个数有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若，则的值为 .
12.方程2x2-6x=1的两根为x1，x2，则x1+x2= .
13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OE=4，则CD= ______.

14.已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为______.
15.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有______个球．
16.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是______.
17.若线段a、b、c、d是成比例线段，且a=1cm,b=3cm,c=4cm,则d的值为 cm.
18.已知：如图，矩形ABCD中，BC边上有一动点M，∠AMN=90°，AB=3，BC=4，CN=1，当△ABM∽△MCN时，那么BM= ______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
20.(本小题6分)
先化简，再求值：（a+1）2-a（1-a）-1，其中a=.
21.(本小题6分)
如图，∠1=∠2，∠D=∠A．求证△ABC∽△DBE．
22.(本小题8分)
如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=20m,求这栋楼的高度BC（结果保留根号）.
23.(本小题8分)
2024年巴琴奥运会新增了四个项目：露雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是______；
（2）体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或圆树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率.
24.(本小题8分)
“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”.端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）.
（1）设售价每千克下降x元，则每天能售出______千克；（用含x的代数式表示）
（2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额.
25.(本小题10分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-3=0的两实根.
（1）求k的取值范围；
（2）若x=-1是方程的根，求k的值.
26.(本小题12分)
在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使△DEF的一个顶点落在边BC上，再绕这个点旋转△DEF，与边AB、AC分别交于点M、N.
（1）如图1，小颖把△DEF的直角顶点D放在BC的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形AMDN的面积始终保持不变.若EF=20cm,则四边形AMDN的面积为______cm2；（直接写出答案）
（2）如图2，小慧把顶点F放在BC边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为△BMF与△CFN始终相似.小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，小颖把顶点F放在BC的中点处，然后绕点F旋转，DF与CA的延长线交于点N.请探究线段BM、CN、BC的数量关系，并给出证明.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】8
14.【答案】
15.【答案】20
16.【答案】3
17.【答案】12
18.【答案】1或3
19.【答案】1+；
3-3
20.【答案】2a2+a，．
21.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABD=∠2+∠ABD，
∴∠ABC=∠DBE，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DBE．
22.【答案】解：从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=20m,
∴∠BAD=45°，∠CAD=60°，AD=20m.
在Rt△ABD中，BD=AD tan45°=20×1=20（m），
在Rt△ACD中，CD=AD tan60°=20×=20（m），
∴BC=BD+CD=（20+20）m,
答：这栋楼的高度BC为m.
23.【答案】
24.【答案】（150+3x）；
当杨梅每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额
25.【答案】k≥-2；
k=0或k=-2
26.【答案】50；
小慧的判断正确；理由见解析；
BC2=4BM CN，理由见解析．
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