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2024-2025学年湖南省益阳市安化县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子是分式的是（　　）
A. B. C. D. +x
2.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A. 50°
B. 56°
C. 74°
D. 以上都有可能
3.石墨烯是目前世界上最薄、最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为（　　）
A. 3.4×10-11 B. 3.4×10-10 C. 3.4×10-9 D. 0.34×10-9
4.用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（　　）
A. a∥b B. c∥b C. a与c相交 D. a与b相交
5.下列说法正确的是（　　）
A. 4的算术平方根是2 B. 的平方根是±8
C. 立方根等于它本身的数只有1 D. 正数的平方根有两个，立方根也有两个
6.若a＞b,则下列不等式不一定成立的是（　　）
A. a-4＞b-4 B. 2a＞2b C. 1-5a＜1-5b D. ac＜bc
7.如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD.若∠D=62°，则∠A=（　　）
A. 28°
B. 38°
C. 62°
D. 72°
8.已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（　　）
A. 5 B. 3 C. 4 D. 7
9.若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A. 2 B. 1 C. 3 D. -3
10.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上一点.若△BDE≌△CDA，AB=14，AC=10，则△BDE的周长为（　　）
A. 20
B. 23
C. 24
D. 26
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，该数轴表示的不等式的解集为______.
12.2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌.射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 .
13.若△ABC的两边长分别为3和8，则第三边c的取值范围是 .
14.当x= ______时，分式的值为0.
15.如图，在△ABC中，AC=10，BC=6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 ．
16.化简的结果是 .
17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，AD=5，△AED的周长为17，那么AB的长是 .
18.若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
解不等式：-2（x-1）＞x+5.
20.(本小题6分)
化简：.
21.(本小题8分)
某项目室外绿化及道路工程进入收尾阶段，参建单位接下来需进行某段路面施工工作，路面全长为3000米，更改施工方式后工作效率为原来的1.25倍，预计会提前15天完成，则原计划每天施工多少米？
22.(本小题8分)
小南在科学课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究，请认真阅读，并完成后面的任务.
课题 发声物体的振动试验的探究
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、直角三角板、刻度尺等
测量方案 如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，如图2，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D；当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E.
测量示意图
任务：
（1）求证：∠COE=∠B.
（2）经测量，得知点B到点D的距离是8cm,细绳OA的长为17cm,求AE的长.
23.(本小题9分)
小明制作了一张面积为121cm2的正方形贺卡.现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为3：2，面积为210cm2.
（1）求长方形信封的长和宽.
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断.
24.(本小题9分)
【阅读材料】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
【解决问题】
（1）仿照上面的解题过程，化简：= ______.
（2）计算：.
（3）已知，求a2+b2的值.
25.(本小题10分)
河南省整合全省文旅资源，推出特色活动和优惠政策，省内100多家景区提供门票减免和打折优惠.某校组织315名师生进行研学游，行李共180件.现有甲、乙两种型号的汽车，学校计划租用甲、乙两种汽车共10辆，已知1辆甲种汽车最多能载30人和20件行李，1辆乙种汽车最多能载35人和15件行李.
（1）请写出所有可能的租车方案.
（2）若1辆甲种汽车的租金是400元，1辆乙种汽车的租金是450元，请写出租金最少的租车方案，并求出租金.
26.(本小题10分)
综合与实践
学习情境
在数学课外小组的活动中，小明上网找到了如下题目：在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.
特例探究
（1）小明根据题意作出图1，当E是AB的中点时，请你直接写出AE与DB的大小关系：______.
（2）小彬根据题意作出如下解答，请根据他的思路补充完整解答过程.
如图2，当E是AB上任意一点时，判断AE=DB.
理由：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F.
∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE.
…
拓展延伸
（3）已知等边△ABC的边长为1，AE=2，且ED=EC.若点E在边AB的延长线上，点D在边CB的延长线上，请求出CD的长.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】x＜1
12.【答案】三角形具有稳定性
13.【答案】5＜c＜11
14.【答案】-1
15.【答案】16
16.【答案】1
17.【答案】12
18.【答案】4≤a＜5
19.【答案】x＜-1．
20.【答案】．
21.【答案】原计划每天施工40米．
22.【答案】∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°．
∵BD⊥OA，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B．
AE=9cm
23.【答案】长方形信封的长为，宽为；
能，理由见解析．
24.【答案】； 2024； 10．
25.【答案】解：（1）设租用x辆甲种汽车，则租用（10-x）辆乙种汽车，
根据题意得：，
解得：6≤x≤7，
又∵x为正整数，
∴x可以为6，7，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用6辆甲种汽车，4辆乙种汽车；
方案2：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车；
（2）选择方案1所需租金为400×6+450×4=4200（元）；
选择方案2所需租金为400×7+450×3=4150（元）．
∵4200＞4150，
∴租金最少的租车方案为：租用7辆甲种汽车，3辆乙种汽车，所需租金为4150元．
26.【答案】AE=BD；
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．
∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE．
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵EF∥BC，
∴∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC．
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=DB；
CD=3
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