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2024-2025学年吉林省白城市通榆县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.每一次的飞天，都是中国载人航天事业的全新突破；每一次对太空的叩问都迈出建设航天强国的坚实步伐.下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A. 航天神州 B. 中国行星探测
C. 中国探火 D. 中国火箭
2.下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A. 抛掷硬币时，正面朝上 B. 太阳从东方升起
C. 经过红绿灯路口，遇到红灯 D. 负数大于正数
3.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（　　）
A. （x+1）2=6 B. （x+2）2=9 C. （x-1）2=6 D. （x-2）2=9
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，点C落在边AB上的E处，则B、D两点间的距离为（　　）
A.
B.
C. 3
D.
5.如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连结AC、BC、OB、OC．若∠ABC=65°，则∠BOC的度数是（　　）
A. 50°
B. 65°
C. 100°
D. 130°
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象如图所示，则a,b,c的值可能是（　　）
A. a=-1，b=2，c=3
B. a=-1，b=2，c=-3
C. a=-1，b=-2，c=3
D. a=1，b=-2，c=-3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.若一元二次方程ax2-bx-2024=0有一根为x=-1，则a+b= .
8.若点A（m,1）与B（-3，n+1）关于原点中心对称，则m+n的值为 .
9.将二次函数y=x2+1图象向左平移2个单位长度，平移后的解析式为______.
10.如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB，若⊙O的半径为5cm,BC的长为8cm,则AD的长是______cm.
11.已知二次函数y=kx2-6x-9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围______．
12.学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场.赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有x个队参赛，根据题意可列出方程并化为一般式为______.
13.如图，在△ABC中，AB=AC=6，以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC=40°，则的长为 .
14.如图，二次函数y=-x2+4x+c的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是______.
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
解方程：x（x-5）=5-x.小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x-5）=-（x-5），
方程两边同时除以x-5，得x=-1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程.
16.(本小题5分)
2024年巴黎奥运会中国代表团取得了境外奥运会历史最佳成绩.九年级一班组织“奥运精神伴我成长”主题班会，活动中老师准备了如下四张运动员获奖图片（除正面图案外完全相同），分别记为A，B，C，D.现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小敏先从中随机抽取一张，不放回，小捷再从剩余图片中随机抽取一张，然后请两人根据所抽到的图片介绍相关比赛项目.用画树状图或列表的方法求小敏和小捷介绍的都是团体项目的概率.
17.(本小题5分)
已知关于x的一元二次方程x2-5x+6-p2=0，求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
18.(本小题5分)
如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．
19.(本小题7分)
如图，在直角坐标系中，将△ABC绕点A顺时针旋转90°.
（1）画出旋转后的△AB1C1；
（2）写出点B1的坐标为______；
（3）线段AB在旋转过程中扫过的面积为______.
20.(本小题7分)
明达中学在校园里建了一个读书亭.它的地基是半径为4米的正六边形.
（1）求地基的周长是多少？
（2）求地基的面积是多少？
21.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动.求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由.
22.(本小题7分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，切线PC切⊙O于C，交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F.
（1）写出OF与AC的关系：______；
（2）求证：AF是⊙O的切线.
23.(本小题8分)
某商场销售一种商品，每件进价为6元.调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售200件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少10件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元.设该商品的销售单价为x元（x＞8），每天销量为y件.
（1）请直接写出y与x的函数关系式；
（2）商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
24.(本小题8分)
如图①，四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．
（1）操作发现，如图②，正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点E落在边AD上时，填空：
①线段BE与DG的数量关系是______；
②∠ABE与∠ADG的关系是______．
（2）猜想与证明：如图③正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转某一角度α（0＜α＜90°）时，猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论；
（3）拓展应用：如图④，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点F落在边AD上时，若AB=，AE=1，则BE=______．
25.(本小题10分)
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+，；
材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解：∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,
∴m+n=1，mn=-1，
则m2n+mn2=mn（m+n）=-1×1=-1.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______；x1x2= ______.
（2）类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求的值.
（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2-3s-1=0，2t2-3t-1=0，且s≠t,求出t-s的值.
26.(本小题10分)
如图，抛物线的顶点坐标为（2，6），且经过点（4，2），点P是第一象限内的抛物线上的一点，且在对称轴右侧，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点P的横坐标为m.
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）当四边形OMPN为正方形时，求m的值；
（3）求四边形OMPN的周长的最大值；
（4）若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出当QN=1时m的值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】2024
8.【答案】1
9.【答案】y=x2+4x+5
10.【答案】2
11.【答案】k＞-1且k≠0
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】18
15.【答案】解：方程解答不正确，
正确解答为：方程化简得：x（x-5）=-（x-5），
移项得：x（x-5）+（x-5）=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
可得x-5=0或x+1=0，
解得：x1=5，x2=-1．
16.【答案】解：列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中小敏和小捷介绍的都是团体项目的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴小敏和小捷介绍的都是团体项目的概率为．
17.【答案】证明：∵x2-5x+6-p2=0，
∴a=1，b=-5，c=6-p2，
∴Δ=b2-4ac
=（-5）2-4（6-p2）
=25-24+4p2
=4p2+1，
∵p2≥0，
∴4p2+1≥1，
∴Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
18.【答案】证明∵AB=CD，
∴，即，
∴，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠A=∠C，
在△ADE和△CBE中，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
19.【答案】见解析；
B1（-1，-1）；

20.【答案】24m．
24m2
21.【答案】解：7÷2=（s）．
当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5-t）cm,BQ=2t cm.
（1）依题意得：×2t×（5-t）=4，
整理得：t2-5t+4=0，
解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5-t）=7，
整理得：t2-5t+7=0．
∵Δ=（-5）2-4×1×7=-3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
22.【答案】OF⊥AC；
连接OC，
∵PC为⊙O切线，
∴CP⊥OC．
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵OA=OC，OF=OF，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF⊥OA，
∵OA为⊙O的半径，
∴AF为⊙O的切线
23.【答案】y=-10x+280；
10元；
当每件商品的售价定为12元时，每周销售利润最大，最大利润是960元
24.【答案】BE=DG ∠ ABE=∠ADG
25.【答案】；
；
或
26.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，6），
∴设抛物线对应的解析式为y=a（x-2）2+6，
∵抛物线经过点（4，2），
∴2=a（4-2）2+6，解得a=-1，
∴抛物线对应的函数解析式y=-（x-2）2+6，
∴抛物线对应的函数解析式y=-x2+4x+2．
（2）∵点P在抛物线y=-x2+4x+2上，点P的横坐标为m,
∴点P的坐标为（m,-m2+4m+2），
当四边形OMPN为正方形时，PM=PN，
∴m=-m2+4m+2，解得，，
令y=0，即-x2+4x+2=0，解得，，
∴抛物线y=-x2+4x+2与x轴正半轴交点坐标为，
∵P是第一象限内的抛物线上的一点，且在对称轴右侧，抛物线y=-x2+4x+2的对称轴为直线x=2，
∴m的取值范围为，
∴m的值为．
（3）设四边形OMPN的周长为L，
，
∵-2＜0，，
∴当时，四边形OMPN的周长最大值为．
（4）设Q的横坐标为n,
当QN=1时，|n|=1，
∴n=±1，
当n=1时，，
∴m=3，
当n=-1时，，
∴m=5，
综上，m=5或m=3．
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