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2024-2025学年江西省赣州市于都县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为3.5，则点P在（　　）
A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定
2.云纹是我国的传统纹样，象征着吉祥如意.其以流动飘逸的曲线和回转交错的结构体现了流动之美.以下云纹图案都是由朵云通过不同的变换形式构造出的，请你选出其中的中心对称图形（　　）
A. 双分朵云 B. 三合云
C. 四合云 D. 五福云
3.某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（　　）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
A. 0.92 B. 0.905 C. 0.903 D. 0.9
4.在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是（　　）
A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q
5.如图，在中.①连接AB；②作弦AB的垂直平分线l1，分别交，弦AB于C，D两点；③作线段AD，DB的垂直平分线l2，l3，分别交于E，F两点，交弦AB于G，H两点；④连接EF.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）
A. AG=GD
B.
C. l1∥l2∥l3
D. EF=GH
6.将抛物线y=ax2-4ax+c（a＜0）向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线l相交于P（t,m），Q（t-2，m），则t的值为（　　）
A. 3 B. 2 C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是______（填“必然”或“随机”）事件.
8.若二次函数y=（a+2）x2+a-2的图象开口向下，则a的取值范围是______.
9.把方程x（x+2）=5（x-2）化成一般式，得x2-bx+10=0，则b的值为______.
10.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm,开口AB宽为12cm,这个水容器所能装水的最大深度是______cm.
11.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为______．
12.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且A（0，3）、B（5，3），将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），若点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C′的坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解方程：x2+2x-3=0；
（2）已知点A（2m-4，3m）关于原点对称的点在第四象限，求m的取值范围.
14.(本小题6分)
山西珍藏着中华民族最古老珍贵的记忆，传承着五千年生生不息的文明.李老师为了让学生深入地了解山西文化，将“黄河文化”“根祖文化”“边塞文化”“红色文化”的图片分别印在形状大小都一样的4张卡片上，并将卡片背面朝上放在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容.
（1）请问随机抽取1张卡片，上面印有“根祖文化”的概率为______；
（2）若小丽第一个上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明第二个上讲台，再从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小丽、小明两人中恰好有一人选中“黄河文化”的概率.
15.(本小题6分)
已知一元二次方程（a-3）x2-4x+2=0=.
（1）若方程的一个根为x=-1，则a的值为______；
（2）若方程有相等的实数根，求a的值.
16.(本小题6分)
如图，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G，求证：EF=BC.
17.(本小题6分)
在图（1），图（2）中，四边形ABCD为矩形，某圆经过A，B两点，请你仅用无刻度直尺画出符合要求的图形．
（1）在图（1）中画出该圆的圆心O；
（2）在图（2）中画出线段CD的垂直平分线．
18.(本小题8分)
已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）求二次函数y=x2-4x+3图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2-4x+3的图象；
（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.

19.(本小题8分)
老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫.人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，AB为车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD.
（1）小明猜想∠BDC=∠A，小明的猜想正确吗？请说明理由.
（2）若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，BC的长为3米，求车轮的半径.
20.(本小题8分)
某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元.对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量.
（1）求空调的下降率；
（2）若要求风扇的营业额为854000元，则空调应按照多少元销售.
21.(本小题9分)
【问题情境】我们定义：如图a,在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′的边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.
【特例感知】
（1）在图2和图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= ______BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=16时，则AD长为______.
【猜想论证】
（2）如图1，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.
22.(本小题9分)
如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图.现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象.已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m,草坪水平宽度DE=3m,竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）.
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长；
（2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______.
23.(本小题12分)
【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.
例1：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上.
以下是一道课本原题：“△ABC中，∠C=90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
请你利用图2写出证明过程.
【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，由AB=AC=AD可知点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= ______°.
【深入理解】（3）如图4，在四边形ABCD中，AB=AC=AD.求证：∠1+∠2=90°.
【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A'C，则A′C长度的最小值为______.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】随机
8.【答案】a＜-2
9.【答案】3
10.【答案】18
11.【答案】（18-x）（30-x）=288
12.【答案】（7，4）或（5，-2）或（-1，-4）
13.【答案】x1=3，x2=-1； 0＜m＜2．
14.【答案】
15.【答案】a=-3；
a=5．
16.【答案】证明过程见解答．
17.【答案】解：（1）如图（1）中，点O即为所求；
（2）如图（2）中，直线OJ即为所求．

18.【答案】解：（1）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴该二次函数图象顶点坐标为（2，-1）；
（2）当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x=0时，y=x2-4x+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
如图：
；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，-1≤y＜3．
19.【答案】小明的猜想正确，详见解析；
车轮的半径为米．
20.【答案】解：（1）空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元，
∴设降价率为x,
∴3500（1-x）2=2835，则，
∴，
解得，x=10%或x=190%，
∵是降价，
∴x=10%，即空调的下降率为10%；
（2）设下降了y个10元，则现在的售价为（800-10y）元，现在的销售量为（1200+2y）台，
∴（800-10y）（1200+2y）=854000，
整理得，y2+520y-5300=0，
解得，y1=-530（不符合题意，舍去），y2=10，
∴下降了10个10元，即下降了100元，则800-100=700（元），
∴空调应按照700元销售．
21.【答案】①；②8； 结论：，详见解析．
22.【答案】（1）由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，
设y=a（x-2）2+1.6，
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2=4a+1.6，
∴a=-，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y=-（x-2）2+1.6，
当y=0时，0=-（x-2）2+1.6，
解得x1=6，x2=-2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）（2，0）；
（3）2≤d≤3．
23.【答案】取AB的中点O，连接CO，
∵△ABC为直角三角形，OC是直线，
故OA=OB=OC，
即点A、B、C在同一圆上；
45；
∵ AB=AC=DA，
∴点B、C、D是在以A圆心，以AB为半径的圆上，构建如图所示的图形，
延长CA交圆于点P，连接PB，
则∠1=∠P，
则∠1+∠P=90°，
∴∠1+∠2=90°；
-1
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