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2024-2025学年江西省景德镇一中八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（-2，-1），则另一个交点的坐标为（　　）
A. （1，2） B. （2，-1） C. （-1，2） D. （2，1）
2.已知函数，其中相同的函数是（　　）
A. ①与② B. ①与③ C. ④与② D. ③与④
3.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（　　）
A. x＞1 B. x＜-1 C. 0＜x＜1 D. -1＜x＜0
4.如图，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
5.如图，已知A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.则四边形ABCD面积的最小值为（　　）
A. 22
B. 23
C. 24
D. 26
6.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3；
③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是（　　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.已知公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，那么cos75°= .
8.已知x、y为实数，y=，求3x+4y=
9.已知一组数据x1，x2， ，x6的方差为，则关于数据x1+1，x2+1， ，x6+1的平均数为 .
10.设f（x）为一次函数，满足：f（0）=-1，f（f（0））=-2，则f（2019）= .
11.若正六边形T1内接于圆O，正六边形T2外切于圆O，则T1与T2的面积比为 .
12.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上.顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 .
13.如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC，已知AE=2，AC=3，BC=6，则⊙O的半径是______．
14.已知关于x的二次函数y=3x2-6mx+4m2+2m+2，其中m为实数，当-2≤x≤1时，y的最小值为4，满足条件的m的值为 或 .
15.在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=9：12：10：17，AB=BC，CD=2.则BC= .
16.已知，当x,a变化时，y的最小值是 .
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
杭州跨海大桥海天一洲观景平台景色优美，如图1．现测量人员在船上测量观光塔高PQ，在海上的D处测得塔顶P的顶角∠PDF为80°，又测得塔底座边沿一处C的仰角∠CDH为30°，C处的海拔高度CB=12米，到中轴线PQ的距离CE为10米，测量仪的海拔高度AD=2米，DF⊥CB于H，交PQ于F，求观光塔的海拔高度PQ．（精确到0.1米，tan80°≈5.7，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.73）
18.(本小题12分)
如图，点A（m,m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=的图象上.
（1）求m,k的值；
（2）如M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式.
19.(本小题12分)
已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（2）求使的值为整数的实数k的整数值．
20.(本小题12分)
在锐角△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足.O为△ABC的外心.
求证：（1）△AEF∽△ABC；（2）AO⊥EF.
21.(本小题12分)
如图（1），已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），且x1、x2是方程x2-3x-4=0的两根，与y轴相交于点C.连接AC、BC.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①请说明点C在以AB为直径的⊙M上，并直接写出⊙M与抛物线的另一交点坐标；
（3）如图②点P是线段AB上的动点，过P作DP∥BC交AC于D，连接CP.求△CDP的最大面积；
（4）如图③若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点E，与线段BC交于F.点Q是x轴上的动点.问：是否存在直线l,使△EFQ是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.
22.(本小题12分)
如图1，关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】-7
9.【答案】-1或3
10.【答案】2018
11.【答案】3：4
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：由题意可得：AD=BH=2m，CH=BC-BH=10m，则EC=CH，故四边形CHFE是正方形，
∵∠CDH=30°，
∴tan30°===，
解得：DH=10，
故DF=（10+10）m，则tan80°===5.7，
解得：PF≈155.7，
故PQ=PF+2=157.7（m）．
答：观光塔的海拔高度PQ为157.7m．
18.【答案】m=3，k=12；
或
19.【答案】解：（1）根据题意，得
△=（-4k）2-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x1-x2）（xl-2x2）=得
2（x12+x22）-5x1x2=-1.5．
2（x1+x2）2-9x1x2=-1.5．
2-9×=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
经检验k=1.8是方程2-9×=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在实数k．
（2）原式=-2=-2=-4=-，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．
20.【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴Rt△ADB∽Rt△AFD，Rt△ADC∽Rt△AED，
∴，即：AD2=AB AF，
=，即：AD2=AE AC，
∴AB AF=AE AC，
即：，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）证明：连接AO并延长到⊙O上一点M，连接BM，
∵AM是圆的直径，
∴∠ABM=∠M+∠BAM=90°，
又∵∠C+∠CAD=90°，∠C=∠M，
∴∠BAM=∠CAD，
∵△AEF∽△ABC，
∴∠C=∠AFE，
∴∠AFE+∠BAM=90°，
即：AO⊥EF．
21.【答案】；
如图①，连接CM，
抛物线与y轴相交于点C，
当x=0时，得：y=2，
∴C（0，2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5，
∵AB是⊙M的直径，
∴，，
∴，
∴点C在以AB为直径的⊙M上；
（3，2）；
；
存在直线l，使△EFQ是等腰直角三角形；点Q的坐标为或或
22.【答案】解：
（1）∵二次函数y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），点C（0，3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式y=-x2-2x+3，
（2）存在，
当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（-1，m），则PM=PD sin∠ADE=（4-m），PE=m，
∵PM=PE，
∴（4-m）=m，m=-1，
∴P点坐标为（-1，-1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（-1，n），则PN=PD sin∠ADE=（4-n），PE=-n，
∵PN=PE，
∴（4-n）=-n，n=--1，
∴P点坐标为（-1，--1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（-1，-1）或（-1，--1）；
（3）∵抛物线的解析式y=-x2-2x+3，
∴B（1，0），
∴S△EBC=EB OC=3，
∵2S△FBC=3S△EBC，
∴S△FBC=，
过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，
∵S△FBC=S△BQH-S△BFH-S△CFQ
=HB HQ-BH HF-QF FM
=BH（HQ-HF）-QF FM
=BH QF-QF FM=QF （BH-FM）
=FQ OB=FQ=，
∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=-3x+3，
设F（x0，-x02-2x0+3），
∴-3x0+3+x02+2x0-3=9，
解得：x0=或（舍去），
∴点F的坐标是（，），
∵S△ABC=6＞，
∴点F不可能在A点下方，
综上可知F点的坐标为（，）．
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