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2024-2025学年辽宁省朝阳一中联盟校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列三角函数值是有理数的是（　　）
A. sin60° B. cos60° C. tan60° D. sin45°
2.如果一个一元二次方程的根是x1=x2=-3，那么这个方程可以是（　　）
A. x2+9=0 B. x2+6x+9=0 C. x2=9 D. x2-6x+9=0
3.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4.下列式子运算正确的是（　　）
A. 33+32=35 B. （-a2）3=-a6
C. （-a2b）2=-a3b2 D. （-2）-2=4
5.在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与直线y=kx-5相交于点P（3，n），则关于x、y的方程组的解为（　　）
A. B. C. D.
6.下列命题正确的是（　　）
A. 已知：线段a=1cm,b=2cm,c=3cm,d=4cm,则a,b,c,d是比例线段
B. 方程x2-2x+2=0没有实数根
C. 已知点A（-1，y1），B（-2，y2）是函数图象上的两点，则y2＞y1
D. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形
7.把抛物线y=-3x2+2向右平移2个单位，向下平移3个单位，得到的抛物线是（　　）
A. y=-3（x-2）2-1 B. y=-3（x+2）2-1 C. y=-3（x+2）2+1 D. y=-3（x-2）2+1
8.如图，△ABC中，P为AB上的一点．下列四个条件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③；④；其中能判断△APC∽△ACB的有（ ）

A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
9.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，使点A′落在AC上.已知∠C=40°，AC∥BC'，则∠A′BC=（　　）
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 70°
10.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（　　）
①abc＞0；②3a+c＜0；③若m,n（m＜n）是方程ax2+（b+2）x=x-c的两个根，则m＜-1，n＞0.
A. 0个
B. 2个
C. 3个
D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，-b），则ab的值为______．
12.已知3x=2y,则的值等于 .
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB的值为 .
14.如图，点F，G分别在正方形ABCD的边BC，CD上，E为AB中点，连接ED，正方形FGQP的边PQ恰好在DE上，若正方形ABCD边长为7，则正方形FPQG面积为 .
15.如图，直线y=-2x+5与双曲线y=（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C.S△BOC=，若将直线y=-2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y=（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）解不等式组：；
（2）化简：.
17.(本小题6分)
为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
18.(本小题9分)
为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A.跳绳；B.篮球；C.排球；D.足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加.全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图.
（1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率.
19.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD的BC边上取一点E，连接AE，使得AE=EC，在AD边上取一点F，使得DF=BE，连接CF.过点D作DG⊥AE于G.
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=4，BE=3，求DG的长.
20.(本小题8分)
如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
21.(本小题10分)
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；
（2）当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
综合与探究：如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A.
（1）【操作判断】
如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，四边形APCO是那种特殊四边形？并证明你的结论；
（2）【问题探究】
如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM+ON=2PA；
（3）【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON=3OM，请直接写出的值.
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线C：y=ax2+bx+c的顶点在直线l：y=px+q上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线.例如：抛物线y=x2-4x+9的顶点为P（2，5），且点P在直线y=2x+1上，那么抛物线y=x2-4x+9是直线y=2x+1的关联抛物线.
（1）判断抛物线y=-x2-8x-18是否是直线y=x+2的关联抛物线，并说明理由；
（2）如果抛物线是直线y=x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），求抛物线C1的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线C1的顶点为B，将抛物线C1平移后成为直线y=x+2的另一条关联抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点M.当∠MAB=45°时，求：抛物线C2的顶点M的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】-12
12.【答案】-
13.【答案】
14.【答案】20
15.【答案】1
16.【答案】x＜-2；
a2-2a+1
17.【答案】解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50-x）个，
根据题意得：540x+380（50-x）≤21000，
解得：x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
18.【答案】（1）162；162．
（2）175；108．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为=．
19.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，
根据勾股定理,得AE===5,
∵四边形AECF是菱形，
∴EC=AE=5，
∴AD=BC=BE+EC=3+5=8，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵DG⊥AE，
∴∠DGA=∠B=90°，
∴△ADG∽△EAB，
=,即=,
DG=.
20.【答案】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，
设CE=x米，
∵CD=60米，
∴DE=CE+CD=（x+60）米，
∵∠ACB=15°，∠BCD=120°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°，
在Rt△AEC中，AE=CE tan45°=x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴tan30°===，
∴x=30+30，
经检验：x=30+30是原方程的根，
∴AE=（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，
则CE=AE=BF=（30+30）米，AB=EF，
∵∠BCD=120°，
∴∠BCF=180°-∠BCD=60°，
在Rt△BCF中，CF===（30+10）米，
∴AB=EF=CE-CF=30+30-（30+10）=20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．
21.【答案】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得-=100，
解得m=3，
经检验m=3是方程的解，
∴1.5m=4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，
根据题意，得w=（x-30）[500-10（x-60）]=-10x2+1400x-33000=-10（x-70）2+16000，
∴当x=70时，每天的利润最大，最大利润为16000元，
答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．
22.【答案】过点P作PC⊥OB于点C，如图，连接OP，
∵∠AOB=90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形AOCP为矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴OP平分∠AOB，
∴∠AOP=45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴AO=AP，
∴四边形AOCP为正方形；
过点P作PC⊥OB于点C，如图，
由 知：四边形AOCP为正方形，
∴AP=PC=OC=OA，∠PAM=∠PCO=∠APC=90°，
∴∠PCN=90°=∠PAM，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN=90°=∠APC，
∴∠APM=∠CPN=90°-∠CPM，
∴△PAM≌△PCN，
∴AM=CN，
∵OA=OC，
∴OM+ON=OA-AM+OC+MN=OA+OC=2OA，
∵OA=PA，
∴OM+ON=2PA；
或
23.【答案】解：（1）抛物线y=-x2-8x-18是直线y=x+2的关联抛物线；理由如下：
∵y=-x2-8x-18=-（x+4）2-2，
∴抛物线的顶点坐标为（-4，-2），
∵y=x+2，当x=-4时，y=-4+2=-2，
∴（-4，-2）在直线y=x+2上，
∴抛物线y=-x2-8x-18是直线y=x+2的关联抛物线；
（2）如果抛物线是直线y=x+2的一条关联抛物线，且经过点A（4，0），将点A的坐标代入得：
∴0=16a+4b,
∴b=-4a,
∴y=ax2-4ax=a（x-2）2-4a,
∴顶点坐标为：（2，-4a），
依据关联抛物线的定义知：点（2，-4a）在直线y=x+2上，
∴-4a=2+2，
∴a=-1，
∴y=-x2+4x；
（3）由（2）可知：B（2，4），
当点M在点B下方时：取点D（1，1），
∵A（4，0），
∴，
∴AD2+BD2=AB2，且AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°，
∵∠BAM=45°，
∴M在直线AD上，
由题意可知：点M在直线y=x+2上，
∴点M为直线AD与直线y=x+2的交点，
设直线AD的解析式为：y=kx+b,将A，D的坐标代入得：
，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
∴；
当点M在点B上方时，取点E（5，3），
则：，
∴AE=BE，AE2+BE2=AB2，
∴∠BAE=45°，
同理：点M为直线AE与直线y=x+2的交点，
同理可得：直线AE的解析式为：y=3x-12，
联立，
解得：，
∴M（7，9）；
综上：或M（7，9）．

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