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2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　）
A. B. C. D.
2.若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
3.如图，将一张六边形纸片沿虚线剪开，剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（　　）
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
4.下列运算正确的是（　　）
A. a a5=a5 B. a3+a3=a6 C. a8÷a2=a4 D. （-a4）2=a8
5.下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　）
A.
B.
C.
D.
6.双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖.这种设计应用的几何原理是（　　）
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
7.在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
8.暑假期间，小明一家自驾去离鄂尔多斯720km远的风景区游玩.途中…；设原计划平均以每小时akm的速度开往风景区，可得方程，根据此情景，题中“…”表示的缺失条件应为（　　）
A. 实际平均每小时比原计划快10km,结果提前1小时到达
B. 实际平均每小时比原计划慢10km,结果提前1小时到达
C. 实际平均每小时比原计划快10km,结果延迟1小时到达
D. 实际平均每小时比原计划慢10km,结果延迟1小时到达
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：= .
10.小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 .（只需填上一个即可）
11.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为______.
12.根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：______.
13.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点.若AB=7，AC=5，则△APC周长的最小值是______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
计算：
（1）（-a）4 （-a2）+（3a3）2-4a8÷（-a）2；
（2）（x+y）2-（x3+xy2）÷x.
15.(本小题8分)
按要求解答：
（1）解方程：；
（2）先化简：，再取一个合适的数作为a的值代入求值.
16.(本小题8分)
秋千问题
素材1：如图，乐乐在公园荡秋千的示意图，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直.
素材2：秋千的转轴O到地面的距离OA=3m.乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作CE⊥OA于点E.此时点C到OA的距离CE=2m.
【问题解决】当乐乐从C处摆到B处时，则有BO⊥CO，过点B作BD⊥OA于点D.
（1）求证：∠BOD=∠OCE；
（2）求OD的长.
17.(本小题8分)
定义一种新运算（a,b），若ac=b,则（a,b）=c,例（2，8）=3，（3，81）=4.若（3，5）+（3，7）=（3，x），求x的值.
18.(本小题8分)
如图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，图中给定的各点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图①中，画出线段O′A'，使O′A′与OA关于直线l成轴对称.
（2）在图②中，画出△BCD的对称轴.
（3）在图③中，在线段EF上确定一点P，连结MP、NP，使∠MPF=∠NPF.
19.(本小题8分)
请你设计“线段的垂直平分线”的仪器.
（1）材料：描述所需材料及要求；
（2）请你设计“线段的垂直平分线”的仪器方案，方案包括画出“仪器”的平面几何图形，写出图形中条件的符号语言，再写出“仪器”的操作说明；
（3）说明你设计方案的合理性.
20.(本小题8分)
已知在ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A.
（1）如图1，试说明CD=CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；
②如果BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】8
10.【答案】∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°
11.【答案】75°
12.【答案】x2+6x+8=（x+2）（x+4）
13.【答案】12
14.【答案】4a6；
2 xy．
15.【答案】x=1；
，取a=2时，原式=-1
16.【答案】∵CE⊥OA，BO⊥CO，BD⊥OA，
∴∠BDO=∠OEC=∠BOC=90°，
∵∠BOD+∠COE=90°，∠OCE+∠COE=90°，
∴∠BOD=∠OCE；
2 m
17.【答案】35．
18.【答案】解：（1）如图①，线段O′A'即为所求．
（2）如图②，取CD的中点E，作直线BE，
则直线BE即为所求．
（3）如图③，点P即为所求．

19.【答案】材料：4根细木条，要求两两相等；
作图见解析，其中AD=AB，CD=CB；
操作说明：如图2，将仪器的点D和点B分别放置在一条线段的两个端点上，画直线AC；AC就是这条线段DB的垂直平分线；
说明见解析
20.【答案】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC是ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC，
∴CD=CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，
∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
分三种情况：
当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，
∴90°-α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α，
∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α，
∴90°-2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB=FD，
综上所述：如果BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
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