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2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市鄂温克旗九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动.如图，在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（　　）cm2.
A. 6 B. 8.75 C. 5.75 D. 20
2.将抛物线y=（x-1）2+2向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（　　）
A. y=x2+2 B. y=（x+1）2+3 C. y=（x+1）2+1 D. y=（x-3）2+1
3.下列说法：
①三点确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；
④长度相等的弧称为等弧，正确的个数共有（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（　　）cm.
A. 5
B.
C.
D.
5.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2-4ac＞0；其中正确的结论有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（　　）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
7.如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE=1，则BC的长是（　　）
A.
B. 4
C. 6
D.
8.如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，使点B旋转到B′′，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）
A. B. 13π C. 25π D. 25
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若x=3是一元二次方程x2+mx+6=0的一个解，则m= .
10.关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
11.筒车是我国古代发明的一利水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧.如图1，点M表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米.若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为______米.
12.如图，以地面为x轴，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是.估计这名男生的大致身高是 米.
13.如图，在△ABC中，∠BAC=50°，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，连接CC′.若CC′∥AB，则∠B′AC的度数为 .
14.2018-2019赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行现场比赛），比赛总场数为380场，则参赛队伍有______支．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为______．
16.如图，抛物线y=ax2-6ax+7（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BP⊥y轴交抛物线于点，则△ACP的面积是______.
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程：
（1）x2+4x+3=0；
（2）3x2+5（2x+1）=0.
18.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（-1，1），C（-1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
19.(本小题6分)
有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．|
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
20.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA=∠B.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE=2，∠BDE=30°，求图中阴影部分的面积.

21.(本小题8分)
已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．
22.(本小题8分)
（1）如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是线段BC上的一点，CD=4，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE，连接CE、DE.求CE的长；
（2）如图，△ABC是等边三角形，且点A，B，C三点都在圆⊙O上，D是上任一点，
求证：DB+DC=DA.
23.(本小题10分)
某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元；
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】-5
10.【答案】k≤且k≠0
11.【答案】5
12.【答案】1.67
13.【答案】30°
14.【答案】20
15.【答案】1
16.【答案】14
17.【答案】x1=-1，x2=-3；
，
18.【答案】解：（1）点C1的坐标（-1，-3）．
（2）所作图形如下：
．
根据图形结合坐标系可得：C2（3，1）．
19.【答案】（1）；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（A，C），（C，A），
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）==，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∴游戏不公平．
20.【答案】解：（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即∠ODA+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠B=∠CDA，
∴∠ODB=∠CDA，
∴∠ODA+∠CDA=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）连接OE，如图，
∵E为的中点，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠BOE=2∠BDE=60°，
∴∠DOE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD=DE=2，
∵∠COD=180°-∠BOE-∠DOE=60°，
∴CD=OD=2，
∴图中阴影部分的面积=S△OCD-S扇形AOD=×2×-=-π．
21.【答案】解：（1）将（-3，0），（-2，-3）代入y=x2+bx+c得，
解得，
∴y=x2+2x-3．
（2）∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
∵点A坐标为（-3，0），
∴点B坐标为（1，0），
∴AB=4，
∵三角形ABP的面积为6，
∴S△ABP=AB |yP|=2|yP|=46
∴yP=±3，
把y=3代入y=x2+2x-3得3=x2+2x-3，
解得x=-1+或x=-1-，
把y=-3代入y=x2+2x-3得-3=x2+2x-3，
解得x=0或x=-2，
∴点P坐标为（-1+，3）或（-1-，3）或（0，-3）或（-2，-3）．
22.【答案】解：（1）在等边△ABC中，AB=6，点D是线段BC上的一点，CD=4，
∴AC=BC=AB=6，∠BAC=60°，
∴BD=BC-CD=6-4=2，
将AD绕点A逆时针旋转60°后得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD=2；
（2）证明：由题意可得：
∴∠ACD=∠ABE，DC=BE，
∵∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠ABE+∠ABD=180°，
∴D、B、E三点共线，
由题意可得：△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵DE=BD+BE，
∴DB+DC=DA．
23.【答案】解：(1)由题意得，
销售量=250-10(x-25)=-10x+500，
则w=(x-20)(-10x+500)=；
(2)w==，
所以，当x=35时，w有最大值2250，
即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；
(3)方案A：由题可得20＜x≤30，
因为a=-10＜0，对称轴为x=35，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
所以，当x=30时，w取最大值为2000元，
方案B：由题意得，
解得：45≤x≤49，
在对称轴右侧，w随x的增大而减小，
所以，当x=45时，w取最大值为1250元，
因为2000元＞1250元，
所以选择方案A．
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