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2024-2025学年内蒙古通辽市扎鲁特旗九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
2.关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A. a＞1 B. a＜1 C. a≤1且a≠0 D. a≥1且a≠0
3.如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（　　）
A. 4
B. 2
C.
D. 2
4.在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共80个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色、黑色小球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白球的个数可能是（　　）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
5.下列说法中正确的个数有（　　）
①已知点A（2，4）与点B（b-1，2a）关于原点对称，则a-b=-1；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③两个相似三角形周长的比为2：3，则其对应的面积比为4：9；
④等边三角形的边长是4，则外接圆半径是；
⑤圆的内接平行四边形一定是正方形.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A. 55° B. 65° C. 75° D. 85°
7.某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（　　）
A. x（x+1）=36 B. x（x-1）=36 C. D.
8.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
9.A（-，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y=-（x-2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
10.如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA=OB=2，AD=4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（　　）
A. （6，4）
B. （-6，4）
C. （4，-6）
D. （-4，6）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染的人数相等，则经过三轮传染后患流感的人数共有 人.
12.一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的表面积为______cm2．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为______．
14.如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=12，则△PDE的周长为 .
15.如图，若双曲线y=与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=3BD．则实数k的值为______．
16.如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D.下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③2c＜3b；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当△ABD是等腰直角三角形时，则；⑥当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个.其中正确的序号是 .
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
（1）2x2-4x+1=0；
（2）x（2x+4）=10+5x.
18.(本小题8分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A（-1，3），B（-4，3），O（0，0）.
（1）画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长（结果保留π）.
19.(本小题7分)
2022年3月23日.“天宫课堂”第二课开讲.“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，频数分布直方图中，所抽取学生成绩的中位数落在______组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）学校将从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.
20.(本小题7分)
如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（m，3），B（-3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察函数图象，直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．
21.(本小题8分)
大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
23.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A（-1，0），B（m,0）两点，与y轴相交于点C（0，-3），抛物线的顶点为D.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，求线段PM长度的最大值.
（3）若点E在x轴上，且∠ECB=∠CBD，直接写出点E的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】512
12.【答案】16π
13.【答案】5
14.【答案】24
15.【答案】
16.【答案】①②④⑤
17.【答案】解：（1）2x2-4x+1=0，
x2-2x=-，
x2-2x+1=-+1，即（x-1）2=，
∴x-1=±，
∴x1=1+，x2=1-；
（2）x（2x+4）=10+5x,
2x（x+2）-5（x+2）=0，
（x+2）（2x-5）=0，
∴x+2=0或2x-5=0，
∴x1=-2，x2=．
18.【答案】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，点A1的坐标（-1，-3）；
（2）如图，△A2B2O即为所求，点A2的坐标（3，1）；
（3）点A旋转到点A2所经过的路径长==π

19.【答案】400，D；
补全学生成绩频数分布直方图，如图即为所求；

20.【答案】解：（1）∵A（m，3），B（-3，n）两点在反比例函数y2=的图象上，
∴3=，n=，
解得，m=2，n=-2，
∴点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（-3，-2），
∵点A，B在y1=kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式是y1=x+1；
（2）根据图象得不等式＞x+1的解集为0＜x＜2或x＜-3．
21.【答案】解：（1）y=100+10（60-x）=-10x+700；
（2）设每星期利润为W元，
W=（x-30）（-10x+700）=-10（x-50）2+4000，
当x≤45时，W随x的增大而增大，
∴x=45时，W最大值=-10×（45-50）2+4000=3750，
当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元；
（3）①由题意：-10（x-50）2+4000=3910，
解得：x=53或47，
∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．
②由题意：-10（x-50）2+4000≥3910，
解得：47≤x≤53，
∵y=100+10（60-x）=-10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
22.【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
又∵OD为圆O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴CD=DE=3，AE=AC,
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得BE==4，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即AC2+（5+3）2=（4+AC）2，
解得AC=6，
∴AC的长为6.
23.【答案】y=x2-2x-3；
；
点E的坐标是或（6，0）
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