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2024-2025学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）第三次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A. x2-2=0 B. x2+y=1 C. D. x2+x=x2+1
2.二次函数y=x2的图象必经过点（　　）
A. （2，4） B. （-2，-4） C. （-4，2） D. （4，-2）
3.正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是（　　）
A. AB=CD B. AC=BD
C. AD=AB D. ∠ABC+∠BCD=180°
5.将抛物线y=2x2-1向左平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式是（　　）
A. y=2（x-2）2+1 B. y=2（x-2）2-3 C. y=2（x+2）2+1 D. y=2（x+2）2-3
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO=4，则MN的长为（　　）
A. 4
B. 2
C. 8
D. 6
7.用配方法解方程x2-6x+1=0，正确的变形是（　　）
A. （x-3）2=1 B. （x+3）2=8 C. （x-3）2=9 D. （x-3）2=8
8.在平行四边形ABCD中，对角线的垂直平分线交于点，连接CE.若平行四边形ABCD的周长为20cm，则△CDE的周长为（　　）
A. 20cm B. 40cm C. 15cm D. 10cm
9.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过.若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（　　）
A. （x+2）2+（x-4）2=x2 B. （x-2）2+（x-4）2=x2
C. （x-2）2+（x+4）2=x2 D. （x+2）2+（x+4）2=x2
10.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是（　　）
A. 6 B. 12 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.抛物线的开口向______（填“上”或“下”）．
12.甲、乙、丙三名学生参加引体向上体育项目测试，已知他们测试成绩的平均数相同，方差如下：，，.则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是______.
13.若一元二次方程x2+3x+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______.
14.已知m是一元二次方程x2-3x+1=0的一个根，则2024-m2+3m的值为 .
15.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE于点G，交BC于点F.若AE=15，CF=5，则AF的长是______.
16.如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，菱形的两条对角线长分别为2x和4x-2（其中2x为菱形的短对角线的长度），将这四个直角三角形拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为1，则x的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程
（1）9x2-1=3；
（2）x2+2x-8=0.
19.(本小题6分)
“端午节”是我国的传统佳节，民间有吃“粽子”的习俗，某超市为在端午节前对采购粽子数量做出计划，对该超市附近居民每户去年购买的A品牌粽子的袋数进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据以上信息回答：
（1）所调查居民中去年购买A品牌粽子袋数的众数是______袋，中位数是______袋；
（2）求所调查的居民去年平均每户购买A品牌粽子的袋数；
（3）若该超市附近有8000户居民，根据以上统计数据，该超市今年采购多少袋A品牌粽子比较合适.
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-2mx-m-1=0的两个根是x1和x2.
（1）当m=2时，求的值；
（2）设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1-1）（x2-1）=0，求m的值.
21.(本小题8分)
已知一次函数的图象与直线y=2x+3平行，且经过点（1，-6）.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求这个一次函数图象与坐标轴围成三角形的面积.
22.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，连接AD.分别以点A、C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F.
（1）求证：四边形ADCE为菱形；
（2）若AB=12，AC=16，求DF的长.
23.(本小题9分)
2025年是农历乙已年.网店老板小王近期购进一批进价89元的“蛇年大吉”保温杯，以每个100元的价格销售.由于销售火爆，保温杯的销售单价经过两次调整后，上涨到每个121元，此时每天可售出66个.
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加3个.为了尽快减少库存，小王决定降价促销.若使每天所获销售利润为1512元，则销售单价应降低多少元？
24.(本小题10分)
阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，x2-9＞0.
解：∵x2-9=（x+3）（x-3），∴x2-9＞0可化为（x+3）（x-3）＞0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有（1）或（2）.解不等式组（1），得x＞3，解不等式组（2），得x＜-3，故（x+3）（x-3）＞0的解集为x＞3或x＜-3，即一元二次不等式x2-9＞0的解集为x＞3或x＜-3.
材料2：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令ax2+bx+c=y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c-y）=0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求x2+2x+5的取值范围.
解：令x2+2x+5=y,
∴x2+2x+（5-y）=0，
∴b2-4ac=4-4×（5-y）≥0，
∴y≥4，
即x2+2x+5≥4.
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题.
（1）直接写出不等式（x+4）（2-x）＜0的解集是______；
（2）求出代数式的取值范围；
（3）若关于x的代数式（其中a、b为常数，且ab≠0）的最小值为-2，最大值为4，请求出满足条件的a、b的值.
25.(本小题10分)
已知抛物线y=-（x-m）2+2-n（m,n为实数）.
（1）当该抛物线顶点坐标为（2，9）时，求抛物线解析式.
（2）如图（一）在（1）问条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0），点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标.
（3）当二次函数y=-（x-m）2+2-n满足m=3n时，若平面内一点Q（2，y0），将Q点左移k个单位长度，或者将Q点向右平移2k个单位长度，或者将Q点向上平移4k个单位长度，平移后三个对应点都在二次函数图象上，试求k和y0.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】下
12.【答案】丙
13.【答案】k＜
14.【答案】2025
15.【答案】25
16.【答案】2
17.【答案】解：原式=
=．
18.【答案】；
x1=2，x2=-4．
19.【答案】2，2；
1.98袋．
该超市今年采购15840袋A品牌粽子比较合适
20.【答案】-；
m的值为0
21.【答案】y=2x-8；
16
22.【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=DC=BD，
∵AE=EC=AD，
∴AD=DC=AE=EC，
∴四边形ADCE是菱形；
（2）解：∵BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC，
∵四边形ADCE是菱形，
∴S△ADC=S△AEC，
∴S菱形ADCE=S△ACB=×12×16=96，
∵∠BAC=90°，
∴BC===20，
∵BD=DC，
∴AD=EC=BC=10，
∵DF⊥EC，
∴EC DF=96，
∴DF=9.6．
23.【答案】每次上涨的百分率为10%；
销售单价应降低20元
24.【答案】x＞2或x＜-4； 或； a=-4，b=4或a=12，b=-4
25.【答案】y=-（x-2）2+9；
（2，3）；
k=2，y0=-8
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