资源简介

(共26张PPT)
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题. （重难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
新课导入
如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？
A
B
O
C
新课导入
讲授新知
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
知识点1　圆周角定义
讲授新知
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
例1 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
范例应用
测量与猜测：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
知识点2　圆周角定理及其推论
讲授新知
圆心O在∠BAC的 内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与验证
讲授新知
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
讲授新知
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
讲授新知
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
讲授新知
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
A
B
C
O
推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
讲授新知
例2 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
解：∠1=∠2.
讲授新知
例3 如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
范例应用
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,
∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB , ∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳
范例应用
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
知识点3　圆内接四边形及其性质
讲授新知
例4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关为 .
∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
证明：如图所示，连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，
又 和 所对的圆周角的和是周角，
∴∠A+∠C=360°÷2=180°.
同理∠B+∠D=180°.
讲授新知
例5 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
范例应用
当堂训练
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）900的角所对的弦是直径 （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等 （ ）
√
×
×
×
当堂训练
2.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°
,则∠AOB= ．
A
B
O
C
D
第2题
B
A
C
O
第3题
166°
当堂训练
4.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ，
∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
当堂训练
5.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上
的三个点，且∠ACB=45°，求弦AB的长.
解：连接OA、OB.
∵∠ACB=45°,
∴∠BOA=2∠ACB=90°.
又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；2.半圆所对的圆周角是直角；反之，直角所对的弦是直径.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 P88页1--5题
提高题：2.请学有余力的同学同步训练习题24.1　圆的有关性质
24.1.4　圆周角
学习目标
1.理解圆周角的定义,掌握圆周角定理.
2.初步运用圆周角定理解决相关问题.
3.掌握圆内接四边形的概念及其性质,并能灵活运用.
重点：圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；圆内接四边形的概念及其性质.
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.
学习过程
一、创设问题情境
问题 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
二、自主学习
自学：认真研读课本内容，了解圆周角的概念和圆周角与圆心角之间的关系;进一步了解圆周角的概念以及能够判断一个角是否是圆心角.
了解圆周角的概念和圆周角与圆心角之间的关系.
三、揭示问题规律
(一）圆周角定义：1.定义:________________________________________叫圆周角.辨析:图中的角是圆周角的是_____________.
顶点在圆上，角的两边与圆相交的角 E
2.在图1中画出弧所对的圆周角.能画几个
无数个
（二）圆周角定理
在下图中画出所对的圆周角.
1.量出所对的圆周角和∠AOB的度数你会发现: .
2.尝试证明你的发现.
所对的圆周角等于∠AOB
以下图为例：圆心O在∠BAC的内部
归纳:圆周角定理: .在图中,由圆周角定理可知:∠ADB ∠ACB= .
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
思考:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗 为什么
相等
推论1：同弧所对的圆周角 .
推论2：等弧所对的圆周角 .
推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是 .反之，直角所对的弦是 .
相等 相等 90° 直径
（三）圆内接四边形的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做 ,这个圆叫做这个 .
问题1:如图,四边形ABCD叫做☉O的内接四边形,而☉O叫做四边形ABCD的外接圆,
猜想:∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为 . 由此得出圆内接四边形的性质:　 .
圆内接多边形 圆内接四边形 ∠A+∠C =180° ∠B+∠D=180°
圆内接四边形对角互补，任何一个外角等于它的内对角.
四、尝试应用
【例1 】如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.若弧AB=弧AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
【例2 】如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
五、自主总结
1.本节课学习圆周角、圆内接四边形的概念，圆周角与圆心角关系定理和圆内接四边形的性质定理.
2.常见的辅助线：有圆周角构造圆心角；有直径，连接圆周角
3.本节课用到的思想方法：类比法，分类讨论思想，方程的思想
达标测试
一、选择题
1.在同圆中，同弦所对的圆周角（　　）
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余
2.如图，AB是⊙O的直径，∠D＝35°，则∠BOC的度数为（　　）
A．120° B．70° C．100° D．110°
3.如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　）
A．30°B．45°C．60°D．70°
3题图 4题图 5题图
4.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．3
5.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（　　）
A．35°B．40°C．50°D．80°
二、填空题
6.如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
6题图 7题图
7.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=________度．
8.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，∠AOC＝100°，则∠CBE＝　 　．
9.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
24.1.4圆周角
1.C
2.D【解析】∵＝，又∠D＝35°，
∴∠AOC＝2∠D＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．故选：D．
3.C
4.C 解析：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长=3．
5.B 解析：连OA，OB，如图，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB=180°，而∠ADB=100°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°．
6.48 解析：∵AB是⊙O的直径，∴OA=OC,∵∠A=42°,∴∠ACO=∠A=42°,∵D为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠DOC=90°-∠DCO=90°-42°=48°．
7.38 解析：∵AB=AC=AD，∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角；∵∠CAD=76°，∴∠CBD= ∠CAD= ×76°=38°．
8.50°解析：∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CBE＝180°﹣130°＝50°．
9.（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°．∴∠EBC=22.5°．（2）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．又∵AB=AC，∴BD=CD．

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