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2025—2026学年八年级数学上学期第一次月考卷01
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（ ）
A． B． C． D．
2．在直角三角形中，若一条直角边长是，另一条直角边长是，则斜边长的平方是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ）
A． B． C． D．
4．下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（ ）
A．7，12，15 B．9，12，15 C．12，18，22 D．12，35，36
5．计算（ ）
A． B． C．5 D．1
6．下列说法中，不正确的是（ ）
A．的立方根是 B．的立方根是
C．0的立方根是0 D．的立方根是
7．在下列各数中，，0.32，，46，0，，，， ，，1.212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，其中无理数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图所示，数轴上点所表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
9．在，，，，，，，，中，无理数的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是

12．在中，a，b，c分别为的对边，，若，，则a的长为 ．
13．已知x、y是实数，，若，则 ．
14．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和n之间，则n的值是 ．
15．已知是的三边长，若，则的形状是 ．
16．已知：，那么 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)．
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根．
20．如图，在中，，若，．
(1)求的长；
(2)求的周长和面积．
21．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线的长．
22．如图，四边形中，，为对角线，于点E，已知，，，．
(1)请判断的形状并说明理由；
(2)求线段的长．
23．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．
(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；
(2)C岛在A港的什么方向？
24．如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
，；
，；
，．
(1)推算出__________；__________．
(2)请用含（是正整数）的式子填空：__________，__________．
(3)求出的值．
《八年级数学第一次月考卷01（北师大版2024，测试范围：第1-2章）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B D D B C B B
1．B
本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案．
解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符；
B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征；
C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征；
D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征；
故选：B．
2．D
本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
解：由勾股定理得，斜边长的平方，
故选：．
3．D
本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可．
解：如图，作于点O，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴大树的高度为，
故选：D．
4．B
本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案
解：A、 ，不符合题意；
B、 符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选B
5．D
本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可．
解：∵，
∴
．
故选：D．
6．D
本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解．
解：A．的立方根是，故选项正确；
B．的立方根是，故选项正确；
C．0的立方根是0，故选项正确；
D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误．
故选：D
7．B
本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解．
解：∵，，；
∴，0.32，，46，0，，，是有理数，
，， ， 1.212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），是无理数，无理数有4个．
故选B．
8．C
本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数大小估算，先对四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点表示数的取值范围，即可求出点表示的可能数值，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：设表示的数为，
由数轴可知，
、由，不符合题意；
、不符合题意；
、由，符合题意；
、由，不符合题意；
故选：．
9．B
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义求解即可．
解：，，是无理数，共个．
故选：B．
10．B
本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可．
解：由折叠知，，
∵D是的中点，，
∴，
设，
∵，
则，
在中，，
由勾股定理，得，
解得，
∴．
故选：B．
11．点/点
此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∴表示的点是Q点．
故答案为：点．
12．6
此题考查了勾股定理．设，根据勾股定理得到，求出，即可得到答案．
解：设，
∵，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
故答案为：6．
13．
本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y的值再求解．
根据，可求出x，y的值，代入，即可解出a．
解：∵，
∴，
∴，，
解得：，，
代入，
，
故．
故答案为：．
14．2
本题考查无理数的估算，利用放缩法估算出的取值范围，即可求解．
解：，
，
，
，
n的值是2，
故答案为：2．
15．直角三角形
本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键．
解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
16．1
设，则，则，，得到，代入化简解答即可．
本题考查了立方和多项式乘法的应用，熟练掌握多项式是解题的关键．
解：设，则，
则，，
故，
故
．
17．(1)；
(2)．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）先算绝对值，有理数乘方，然后算加减即可；
（）先算有理数乘法，零指数幂，然后算加减即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可；
（2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式
．
19．
本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键．
根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可．
解：的算术平方根是，的立方根是4，
，，
解得，，
∵，
∴，
是的整数部分，
，
，
的平方根是．
20．(1)的长为6
(2)的周长等于24；的面积等于24
本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键；
（1）利用勾股定理求解；
（2）利用三角形的周长和面积公式求解．
（1），，，
，
的长为6．
（2）的周长等于，
的面积等于．
21．(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析
(2)2.5千米
本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路；
（2）利用勾股定理解即可．
（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下：
，，，，
，
是直角三角形，其中，
，
是从村庄C到河边的最近路
（2）解：设 ，则，
在中，，
，
解得，
即原来的路线的长为2.5千米．
22．(1)直角三角形，理由见解析
(2)
本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可；
（2）根据等积法求出线段的长即可．
（1）解：是直角三角形．
理由：在中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以是直角三角形．
（2）解：由（1）知是直角三角形，且，
因为，
所以．
23．(1)
(2)北偏西
本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用；
（1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可；
（2）先证明，可得，再进一步求解即可．
（1）解：由题意可知．
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴轮船从岛沿返回港所需的时间为．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴岛在港的北偏西方向上．
24．(1)10；
(2)；
(3)18
本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式变换规律，有关二次根式的运算．
（1）认真阅读题目，根据勾股定理写出答案即可；
（2）认真分析数式，总结归纳出规律即可；
（3）化简整理后求值即可．
（1）解：由题意可得，，，
故答案为：10，；
（2）解：由题意可得，，
故答案为：，；
（3）解：
..
．(共7张PPT)
北师大版2024八年级上册
八年级数学上册第一次月考卷01
试卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 3
较易 5
适中 14
较难 2
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 以弦图为背景的计算题
2 0.94 用勾股定理解三角形
3 0.85 求大树折断前的高度(勾股定理的应用)
4 0.85 判断三边能否构成直角三角形
5 0.65 复合二次根式的化简；二次根式的混合运算；运用完全平方公式进行运算
6 0.65 立方根概念理解；求一个数的立方根；已知一个数的立方根，求这个数
7 0.65 无理数；求一个数的算术平方根；求一个数的立方根
8 0.65 实数与数轴；无理数的大小估算
9 0.65 无理数
10 0.65 勾股定理与折叠问题
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 实数与数轴；无理数的大小估算
12 0.85 用勾股定理解三角形
13 0.75 利用算术平方根的非负性解题；通过对完全平方公式变形求值；解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
14 0.65 无理数的大小估算
15 0.65 绝对值非负性；判断三边能否构成直角三角形
16 0.4 求一个数的立方根；实数的混合运算
三、知识点分布
三、解答题 17 0.65 实数的混合运算；求一个数的绝对值；有理数的乘方运算；零指数幂
18 0.65 实数的混合运算
19 0.75 求一个数的平方根；求一个数的算术平方根；已知一个数的立方根，求这个数；无理数整数部分的有关计算
20 0.94 用勾股定理解三角形
21 0.65 垂线段最短；勾股定理逆定理的实际应用；用勾股定理解三角形
22 0.75 用勾股定理解三角形；判断三边能否构成直角三角形；与三角形的高有关的计算问题
23 0.55 解决航海问题(勾股定理的应用)；勾股定理逆定理的实际应用
24 0.4 数字类规律探索；二次根式的混合运算；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学上学期第一次月考卷01
（测试范围：八年级上册北师大版2024，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
《八年级数学第一次月考卷01（北师大版2024，测试范围：第1-2章）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B D D B C B B
1．B
本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案．
解：A、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符；
B、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征；
C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征；
D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征；
故选：B．
2．D
本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
解：由勾股定理得，斜边长的平方，
故选：．
3．D
本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可．
解：如图，作于点O，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴大树的高度为，
故选：D．
4．B
本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案
解：A、 ，不符合题意；
B、 符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选B
5．D
本题考查了复合二次根式的混合运算，先利用完全平方公式化简二次根式，再加减即可．
解：∵，
∴
．
故选：D．
6．D
本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解．
解：A．的立方根是，故选项正确；
B．的立方根是，故选项正确；
C．0的立方根是0，故选项正确；
D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误．
故选：D
7．B
本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解．
解：∵，，；
∴，0.32，，46，0，，，是有理数，
，， ， 1.212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），是无理数，无理数有4个．
故选B．
8．C
本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数大小估算，先对四个选项中的无理数进行估算，再由点所在的位置确定点表示数的取值范围，即可求出点表示的可能数值，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：设表示的数为，
由数轴可知，
、由，不符合题意；
、不符合题意；
、由，符合题意；
、由，不符合题意；
故选：．
9．B
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义求解即可．
解：，，是无理数，共个．
故选：B．
10．B
本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可．
解：由折叠知，，
∵D是的中点，，
∴，
设，
∵，
则，
在中，，
由勾股定理，得，
解得，
∴．
故选：B．
11．点/点
此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．
解：∵，
∴，
∴表示的点是Q点．
故答案为：点．
12．6
此题考查了勾股定理．设，根据勾股定理得到，求出，即可得到答案．
解：设，
∵，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
故答案为：6．
13．
本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y的值再求解．
根据，可求出x，y的值，代入，即可解出a．
解：∵，
∴，
∴，，
解得：，，
代入，
，
故．
故答案为：．
14．2
本题考查无理数的估算，利用放缩法估算出的取值范围，即可求解．
解：，
，
，
，
n的值是2，
故答案为：2．
15．直角三角形
本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键．
解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
16．1
设，则，则，，得到，代入化简解答即可．
本题考查了立方和多项式乘法的应用，熟练掌握多项式是解题的关键．
解：设，则，
则，，
故，
故
．
17．(1)；
(2)．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）先算绝对值，有理数乘方，然后算加减即可；
（）先算有理数乘法，零指数幂，然后算加减即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键．
（1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可；
（2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式
．
19．
本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键．
根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可．
解：的算术平方根是，的立方根是4，
，，
解得，，
∵，
∴，
是的整数部分，
，
，
的平方根是．
20．(1)的长为6
(2)的周长等于24；的面积等于24
本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键；
（1）利用勾股定理求解；
（2）利用三角形的周长和面积公式求解．
（1），，，
，
的长为6．
（2）的周长等于，
的面积等于．
21．(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析
(2)2.5千米
本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路；
（2）利用勾股定理解即可．
（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下：
，，，，
，
是直角三角形，其中，
，
是从村庄C到河边的最近路
（2）解：设 ，则，
在中，，
，
解得，
即原来的路线的长为2.5千米．
22．(1)直角三角形，理由见解析
(2)
本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
（1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定得出是直角三角形即可；
（2）根据等积法求出线段的长即可．
（1）解：是直角三角形．
理由：在中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以是直角三角形．
（2）解：由（1）知是直角三角形，且，
因为，
所以．
23．(1)
(2)北偏西
本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用；
（1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可；
（2）先证明，可得，再进一步求解即可．
（1）解：由题意可知．
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴轮船从岛沿返回港所需的时间为．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴岛在港的北偏西方向上．
24．(1)10；
(2)；
(3)18
本题考查了勾股定理，数式变换规律，二次根式的化简，关键是归纳总结出数式变换规律，有关二次根式的运算．
（1）认真阅读题目，根据勾股定理写出答案即可；
（2）认真分析数式，总结归纳出规律即可；
（3）化简整理后求值即可．
（1）解：由题意可得，，，
故答案为：10，；
（2）解：由题意可得，，
故答案为：，；
（3）解：
..
．

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