资源简介

区/县：__________ 学校：_____________________ 班级：_________________
姓名：___________________________ 准考证号：___________________________
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2025年秋季学期 三地高2026届入学考试
数学试题
注意事项
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前, 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B铅笔填涂对应题目的答案标号，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
考试结束后, 将答题卡、试卷、草稿纸全部交回。
请考生注意：所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
预祝你们考试成功
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．已知全集，，，则集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．若平面向量，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．某种品牌摄像头的使用寿命ξ (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.荆州中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，当时，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．数列满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
8．若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
A．当时，函数的图象是一条直线
B．已知函数在R上满足，则曲在点处的切线方程是
C．30030能被64个不同偶数整除
D．在的二项展开式中，则第3项的二项式系数为10
11．已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则（ ）
A． B．数列中与之间共有项
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 .
13．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为，若上、下底面的半径分别为1和2，则母线长为 ．
14．楷书也叫正楷，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则不同的写法共有 种.（用数字作答）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知
(1)求的最小正周期；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，
① 求m的取值范围；
② 求的值.
16．已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，若是减函数，求的取值范围.
17．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角余弦值的最小值.
18．近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．
(1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计．
月份 1 2 3 4 5
睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110
若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？
(2)该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为．
(ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望；
(ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
19．已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.
(1)求曲线的标准方程;
(2)已知是定值，求该定值;
(3)求面积的范围.
高2026届数学入学考试试题
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
C B B A B A C C CD ACD ABD -840 2 232
15．【解】
（1）
，
∴的最小正周期为即为所求.
（2）①令，其中x与t是一一对应的，
当时，，
，
所以，如图，
要使在区间上恰有两个零点
等价于的图象与直线在有两个交点，
所以要使在区间上恰有两个零点，
的取值范围为或；
②设是函数的两个零点（即），
由正弦函数图象对称性可知，
即，所以.
16．【解】
（1）当时，，，
令，令令所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为.
（2）函数是减函数,则在恒成立.
，即，
，令，()，在单调递减，在单调递增，所以，故的取值范围是.
17．
（1）【证明】
取的中点，连接,
因为，,且的中点，所以，
又 平面，故平面，
由于平面，故,
（2）【解】
当时，由则，取的中点，连接
故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心，
因为故，
设到平面的距离为,到平面的距离为，
由等体积法可得
而
由于故，
所以从而
故到平面的距离为，
（3）【解】
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
过点作平面的垂线，垂足为，
设为翻折过程中所旋转的角度，则，
故，
，
则,
设平面的法向量为，则
，
取则，
设平面的法向量
,
取则，
设平面平面与的夹角为，
故,
,
令，，故，
由于，故
当且仅当即时取等号，
故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时.
18．【解】
（1），．
，
．
，
．
所以回归直线方程为，
当时，，
即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人．
（2）(ⅰ)的可能取值为．
；
；
；
所以的分布列为：
X 0 1 2
P
．
(ⅱ)第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为，
当时，
，
得：，
由①得：
，其中
是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
由聚点数列的定义知：，
当时，，
所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点.
19．【解】
（1）令且，因为，所以，
整理可得，
所以的标准方程为.
（2）设，，，
设直线和直线的方程分别为，，
联立直线与椭圆方程，整理可得，
则，，
联立直线与椭圆方程，整理可得，
可得，，
又因为，，
所以，
所以，即，
同理可得，，即，
所以.
设，，，
设，则有，
又，
可得，
同理可得，
所以.
（3）不妨设，于是，
因此，
又因为，所以，
设，，
则，，
，
所以在单调递增，则.

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