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2026届高三数学阶段检测二（A）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
2.已知是同一平面内所有向量的一个基底，则“”是“，的夹角是钝角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.等比数列中，与是函数的两个零点，则的值为．
A. B. C. D.
4.在复平面内，复数为虚数单位与点对应，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，若向量与向量互相垂直，则( )
A. B. C. D.
7.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为( )
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为
11.已知函数，则存在实数，使得( )
A. 的最小正周期为 B. 是偶函数
C. 是奇函数 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列为递增数列，且，的等差中项为，则公比为 ．
13.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则 ．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设向量，，．
求的单调递减区间；
在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，
求．
若，，，边上的两条中线，相交于点，
Ⅰ求
Ⅱ求．
17.本小题分
如图，在中，为边上的高，，，，，求的值；
如图，半径为，圆心角为的圆弧上有一点，若，分别为线段，的中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围．
18.本小题分
已知正数的整数部分记为，例如，，．
若求数列的前项和．
设
求
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数，，
若曲线在点的切线也是曲线的切线，求的值
讨论函数在区间上的单调性
若对任意恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为，所以，则，
故，即，当且仅当，时等号成立，
故的最大值为．
故选：．
2.【答案】
【解析】必要性分析：若为钝角，则，
故，
因此“夹角是钝角”“”成立，说明是必要条件．
充分性分析：若，则，即
因基底要求与不共线，故或，故必为钝角．
因此“”“夹角是钝角”成立，说明其是充分条件．
综上，“”与“夹角是钝角”互为充要条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】与是函数的两个零点，与是方程的两个实数根，
，又是等比数列，．
故选：．
4.【答案】
【解析】由题意知
即
所以，
即，
解得．
故选C．
5.【答案】
【解析】因为函数的图象关于对称，
所以，所以，即，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以是周期为的周期函数，
因为，所以，
根据周期性，，
故选：．
6.【答案】
【解析】因为向量与向量互相垂直，
所以，
即．
因为，，
所以，
则，
即．
若，则，
所以，矛盾，
则，
所以，解得．
故选C．
7.【答案】
【解析】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列设该鬼工球的层数为，
由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即，
根据等差数列前项和公式，
将，，代入可得：，即，
得到，因为层数为正整数，所以舍去，
该鬼工球的层数为．
故选：．
8.【答案】
【解析】即，
设，则，且，
所以在上，单调递增，
，为正实数，，
即，所以，等价于，即，
，
设，，，
设，，
所以在上单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，
在上，，，单调递减，
所以，即最大值为，
故选：．
9.【答案】
【解析】已知，，，所以A正确；
，B正确；
，C错误；
因为，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】等差数列的前项和为，公差，
由，可得，即，
由是与的等比中项，可得，
即，化为，
又，得，
由解得，故B正确；
则，
则，故A正确；
，，
则数列是递减数列，故C错误；
由，可得，即的最大值为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】当时，，，
则的最小正周期为，故 A正确；
，则是奇函数，故C正确；
，
若是偶函数，则对于任意都成立，
又，
则，
化简得，对于任意都成立，这是不可能的，故B错误；
，其中，
若的最大值为，则，此方程无实数根，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】由题意可知，，
则，
由于为递增数列，．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则，
由与的夹角为，且，
，，又，．
，
，
，
．
，
，，
解得，，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】设，
由余弦定理可得，
所以，
所以．
因为，
所以，
即，当且仅当时等号成立．
因为的外接圆半径为，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，当且仅当且时等号成立．
故答案为．
15.【解析】由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
由余弦定理得，得，
由解得，
所以的面积为．
16.【解析】由正弦定理得．
因为，
所以．
由于，，
所以．
又，故A．
Ⅰ是的中点，
．
Ⅱ，分别是，的中点，，，
所以与的夹角等于，
．
，
，
．
17.【解析】因为，所以，，
所以
，
又，，，
故由余弦定理可得，则，
又，所以，所以，
所以．
以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，
设，，则，，
所以，
因为，则，所以，
所以．

18.【解析】，
当时，．
，
因为，且，
所以．
令，，则，，
则，
所以，
因为，所以，
又为正整数，
所以．
因为
，
所以数列的前项和为
．
19.【解析】，，
在点处的切线方程为．
设与切于，，，
，解得；
，
，
当时，，，在上单调递增
当时，令，
从而当时，，单调递减，时，，单调递增，
当时，令，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减；
，即对恒成立，
令，
则，
令，
得，
，
若，存在使得在区间上，，
即函数在区间递增，
则，
则在区间上递增，
即，不合题意，
所以，
令，
恒成立，符合，
综上：的取值范围为．
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