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函数 的性质与
图象
6.1 探究 对 = 的图象的影响
6.2 探究 对 = ( + )的图象的影响
6.3 探究 对 = ( + )的图象的影响
第2课时 函数 的图象与性质的应用
探究点一 确定函数
0,的解析式
探究点二 的图象与性质的综合
应用
【学习目标】
1.能根据 的部分图象确定其解析式.
2.整体把握函数 的图象与性质,并能解决有关
问题.
知识点 函数 的性质
定义域 ___
值域 ________
最小正周 期 _______
奇偶性 当 时,该函数为________;当
时,该函数为________;当
时,该函数为______________
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
单调性 单调递增区间可由_________________________________
__得到;单调递减区间可由__________________________
__________得到
对称性 对称轴:______________________；
对称中心:_________________
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） 的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.
( )
√
（2）在 的图象中，相邻的两条对称轴间的距离为
1个周期.( )
×
[解析] 相邻的两条对称轴间的距离为半个周期.
（3）函数的图象的对称轴方程为 .
( )
√
（4）函数 的图象的对称中心是
.( )
×
[解析] 由，得，
故函数 的图象的对称中心是 .
探究点一 确定函数 0, 的解析式
例1（1） 已知函数
的部
分图象如图所示，则 ( )
A.4 B. C. D.2
√
[解析] 由题图可知，点在 的图象上，
所以，则 ，
又，在 的一个单调递增区间
内，所以 .
由五点作图法可知，，解得 ，
，
则 ，故选D.
（2）[2024·贵阳高一期末] 已知函数
的部分图象如图所示，则
___.
1
[解析] 设函数的最小正周期为 ，
则由题图可得，解得 ，
因为 ，所以 ，解得.
将 代入解析式得，即 ，
，即，所以，故 ，
解得，故 ，
则 .
变式 在函数 的图
象与轴的交点中，相邻两个交点间的距离为 ，且图象上的一个最
低点为，求 的解析式．
解：由最低点为，得 .
相邻两个交点间的距离为 ，
的最小正周期 ，得 .
由点在的图象上，得 ，
即，则 ， ，
，，又， ，
故 .
［素养小结］
求函数的解析式,就是求参数, , 的值. 由最值
确定, 由最小正周期确定,确定 时,常把图象上一个已知点的坐标
代入（此时, 已确定）求解.
探究点二 的图象与性质的综合应用
例2 [2024·辽宁朝阳高一期中] 已知函数
在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数 的解析式和最小正周期；
解：由函数的图象可知 ，
， ，
即，
将点 的坐标代入，得 ，
则 ，，即 ， ，
又 ，，
即，则 的最小正周期 .
（2）求函数在区间 上的最值及对应
的 的取值；
解：当时， ，
故当，
即 时， ，
当，即 时， .
（3）当时，写出函数 的单调递增区间.
解：当时， ，
故当，即时， 单调递减,
当，即时， 单调递增,
故当时，函数的单调递增区间为 .
变式1 （多选题）已知函数 ，则( )
A.函数 为奇函数
B.函数在 上单调递增
C.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 的
图象
D.函数在上的最小值为
√
√
[解析] 对于A选项， ,为奇函
数，故A正确；
对于B选项，因为，所以 ，
所以在上不单调，故B错误；
对于C选项，将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象,故C正确；
对于D选项，因为，所以 ，
所以，所以在上的最小值为 ，
故D错误．故选 .
变式2 已知函数的最小正周期为 .
（1）求函数 的单调递减区间;
解：, 函数 的最小正周期
,故, .
令 ,,得, ,
故的单调递减区间为, .
（2）若函数在区间上有两个零点,求实数 的
取值范围.
解：函数在区间上有两个零点,即关于 的方程
在区间 上有两个不同的实根,即函数
,的图象与直线 有两个不同的交点.
, ,结合正弦函数的单调性可知,要使函
数,的图象与直线 有两个不同的
交点,则,解得， 的取值范围
是 .
拓展（1） 若在区间 上单调递
增，则 的最大值为__．
[解析] 因为在区间 上单调递增，
所以,且,可得，故 的最大值为 .
（2）若函数在 内恰有3个
零点，则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 令，得 ，
当时,,又 ,所以 .
因为在上的零点为,,, ，
且在内恰有3个零点，
所以 或
解得或 ，故选C.
函数 的性质的综合应用
（1）函数 的性质的综合应用，往往
涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等，要充分结合函数的性质解
题，考查了综合应用数学知识的能力.
（2）与正弦函数比较可知，当
时，函数 取得最值，因此函数
的图象的对称轴方程可由
得到，对称中心的横坐标可由
得到.同理 的图
象的对称轴方程可由 得到，对称中心的横坐标
可由 得到.
1.已知图象求 的解析式的方法
方法一：若从图象上可确定振幅和最小正周期，则可直接确定函数
解析式中的参数和 ，再选取“第一个零点”
（即“五点法”作图中的第一个点）的横坐标代入
（要注意正确判断哪一个点是“第一个零点”）求得 .
方法二：通过若干特殊点的坐标，可以求得相关待定系数， ，
.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个关键点中的哪一
点，并能正确代入列式.
方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式
，根据图象的平移变换可以确定相关的参数.
例1 函数 的部分图象如
图所示，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图可知 ，
，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，
.
因为的图象过点 ，所以，
则 , ，即 ,，
又，所以，所以 ，故选B.
2.函数 的性质的应用
（1）①对称性：函数图象与 轴的交点是对称中心，即图象的对称
中心是 ，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数
的最值，即图象的对称轴是直线 .
②对于函数 的图象，相邻的两个对
称中心或两条对称轴相距半个最小正周期；相邻的一个对称中心和
一条对称轴相距四分之一个最小正周期.
③求函数 的性质，要善于采用整体
策略，即把 看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质来
解决.
（2）函数 的性质较为综合，在历年
高考题中围绕着函数的单调性、最值、奇偶性和图象的对称性等都
有所体现和考查.
例2 已知函数在区间 上单调递增,且在
区间上恰好取得一次最大值,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在区间上单调递增,且 在
区间上单调递增,,
解得,又,.
令 ,可得函数在处取得
最大值,又函数在区间 上恰好取得一次最大值,
且 , .综上可得， .故选B.第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
【课前预习】
知识点
R　[-A,A]　T=　奇函数　偶函数　非奇非偶函数
2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)　2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)　x=+-(k∈Z)
(k∈Z)
诊断分析
(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (2)相邻的两条对称轴间的距离为半个周期.
(4)由x+=kπ(k∈Z),得x=-+kπ(k∈Z),故函数f(x)的图象的对称中心是(k∈Z).
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)1　[解析] (1)由题图可知,点(0,2)在f(x)的图象上,所以f(0)=4cos φ=2,则cos φ=,又-<φ<,x=0在f(x)的一个单调递增区间内,所以φ=-.由五点作图法可知,ω-=,解得ω=3,所以f(x)=4cos,则f=4cos=4cos=2,故选D.
(2)设函数f(x)的最小正周期为T,则由题图可得=-=,解得T=π,因为ω>0,所以=π,解得ω=2.将代入解析式得2sin=2,即sin=1,因为|φ|<,即-<φ<,
所以-<+φ<,故+φ=,解得φ=,故f(x)=2sin,则f=2sin=2sin=2×=1.
变式　解:由最低点为M,得A=2.
∵相邻两个交点间的距离为,
∴f(x)的最小正周期T=π,得ω===2.
由点M在f(x)的图象上,得2sin=-2,即sin=-1,则+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,又φ∈,∴φ=,故f(x)=2sin.
探究点二
例2　解:(1)由函数f(x)的图象可知A=2,·=+=,∴ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),将点的坐标代入,得2sin=2,
则-+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<π,∴φ=,即f(x)=2sin,则f(x)的最小正周期T==π.
(2)当x∈时,2x+∈,
故当2x+=,即x=0时,f(x)max=2×=,
当2x+=,即x=时,f(x)min=2×(-1)=-2.
(3)当x∈时,2x+∈,故当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递减,当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递增,故当x∈时,函数f(x)的单调递增区间为.
变式1　AC　[解析] 对于A选项,f=sin=sin 2x,为奇函数,故A正确;对于B选项,因为≤x≤,所以≤2x-≤,所以f(x)在上不单调,故B错误;对于C选项,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin=sin=-cos 2x的图象,故C正确;对于D选项,因为≤x≤,所以≤2x-≤,所以-≤sin≤1,所以f(x)在上的最小值为-,故D错误.故选AC.
变式2　解:(1)∵f(x)=sin+(ω>0),∴函数f(x)的最小正周期T==,故ω=2,∴f(x)=sin+.令+2kπ≤4x+≤+2kπ,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)函数g(x)=f(x)+m在区间上有两个零点,即关于x的方程sin=在区间上有两个不同的实根,即函数y=sin,x∈的图象与直线y=有两个不同的交点.∵x∈,∴4x+∈,结合正弦函数的单调性可知,要使函数y=sin,x∈的图象与直线y=有两个不同的交点,则≤<1,解得--1拓展　(1)　(2)C　[解析] (1)因为f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上单调递增,
所以-·2ω≥-,且·2ω≤,可得ω≤,故ω的最大值为.
(2)令f(x)=sin(x+φ)- =0,得sin(x+φ)=,当x∈时,x+φ∈,又0≤φ≤,所以≤φ+≤3π.因为y=sin x-在[0,3π]上的零点为,,,,且f(x)在内恰有3个零点,所以或解得0≤φ<或<φ≤,故选C.第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
1.C　[解析] 当x∈时,x-∈,函数f(x)=2sin单调递增;当x∈时,x-∈,函数f(x)=2sin不单调;当x∈时,x-∈,函数f(x)=2sin单调递减;当x∈时,x-∈,函数f(x)=2sin不单调.故选C.
2.A　[解析] 由题图可得=-=3π,所以T==4π,所以ω=.因为sin=sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,所以φ=.故选A.
3.D　[解析] 由题得ω===2,所以f(x)=sin,令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+kπ(k∈Z),所以f(x)图象的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z).当k=0时,x=,所以函数f(x)图象的一条对称轴的方程为x=.故选D.
4.D　[解析] ∵对任意实数x都有f=f,∴直线x=是f(x)图象的一条对称轴,∴当x=时,f(x)取得最大值3或最小值-3.故选D.
5.A　[解析] 由已知得f(x)=sin 2=sin,∵x∈,∴2x+∈,则f(x)=sin∈,故选A.
6.A　[解析] 由图可得A=1,设f(x)的最小正周期为T,则==-,可得ω=2.再由“五点法”作图可得2×+φ=,解得φ=-,故f(x)=cos.因为f(x)=cos=sin=
sin 2,所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到g(x)=sin 2x的图象.故选A.
7.D　[解析] 将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=sin,因为函数y=sin为奇函数,所以3φ+=kπ,k∈Z,则φ=-,k∈Z,因为φ>0,所以当k=1时,φ取得最小值.故选D.
8.BD　[解析] 由函数f(x)=sin,得函数f(x)的最小正周期T==π,故A错误;当x∈时,2x+∈,所以函数f(x)在上单调递减,故B正确;当sin=-1时,函数f(x)取得最小值-,故C错误;f=sin=为函数f(x)的最大值,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.故选BD.
9.AC　[解析] ∵f(x)=sin(3x+φ)的图象关于直线x=对称,∴3×+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z),∵-<φ<,∴k=0,φ=,∴f(x)=sin.对于A,f=sin=sin 3x,为奇函数,故A正确;对于B,当x∈时,3x+∈,∴函数f(x)在上不单调,故B错误;对于C,∵f(x)max=1,f(x)min=-1,且|f(x1)-f(x2)|=2,∴|x1-x2|的最小值为半个最小正周期,即×=,故C正确;对于D,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin=sin(3x-π)=-sin 3x的图象,故D错误.故选AC.
10.　[解析] 由4x+=kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,当k=1时,x=-=,因为>,所以离原点最近的对称中心的坐标是.
11.-1　[解析] 由题图及题设知A=2,把点(0,)的坐标代入解析式,得2sin φ=,又|φ|<,所以φ=.由五点画图法可得ω·+=π,所以ω=4,故f(x)=2sin,所以f=2sin=-1.
12.3π(答案不唯一)　[解析] ∵x∈[0,2],∴ωx∈[0,2ω],∵函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,2]上恰好取到3次最小值,∴≤2ω<,∴≤ω<,∴一个符合题意的ω的值可以为3π.
13.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期为=π,所以ω=2.
(2)由(1)知f(x)=2sin.
令t=2x-,y=2sin t,
当x∈时,易得t∈.
因为y=2sin t在上单调递增,在上单调递减,
所以当t=时,y取得最大值,最大值为2.
因为当t=-时,y=-2,
当t=时,y=2,所以y的最小值为-2.所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.
14.解:(1)由题图可知,A=2,T=×=π,
∴ω==2,∴f(x)=2sin(2x+φ).
将代入上式得sin=1,
∵|φ|<π,∴+φ=,∴φ=-,
∴f(x)=2sin.
(2)将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=2sin,
令-+2kπ≤4x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+≤x≤+,k∈Z,∴函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
①当k=0时,∩=;
②当k=1时,∩=.∴g(x)在上的单调递增区间为和.
15.B　[解析] 因为π0,所以ωπ-<ωx-≤2ωπ-.因为f(x)在区间(π,2π]内没有零点,所以k∈Z,解得k+≤ω<+,k∈Z.由得-16.解:(1)f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为,
则=,得T=,故ω==4.
因为f(x)的图象过点,所以4×+φ=-+2kπ,k∈Z,得φ=-+2kπ,k∈Z,
又因为-π<φ<π,所以φ=-,故f(x)=2sin.
当x∈时,-≤4x-≤,所以-1≤sin≤,故函数f(x)的取值范围为[-2,].
(2)y=f(x)在上的图象如图所示,作出直线y=,
由图可知,直线y=与y=f(x)的图象在上共有5不同的交点,这些交点的横坐标从小到大依次为x1,x2,…,x5,故n=5.第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
【学习目标】
　　1.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
　　2.整体把握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,并能解决有关问题.
◆ 知识点　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
定义域 　　　
值域 　　　
最小正周期 　　　
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时,该函数为　　　;当φ=kπ+(k∈Z)时,该函数为　　　　;当φ≠(k∈Z)时,该函数为　　　　　　
单调性 单调递增区间可由　　　　　　　　　　　　　得到;单调递减区间可由　　　　　　　　　　得到
对称性 对称轴:　　　　　　　　　　　; 对称中心:　　　　　　　　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=Asin(ωx+φ)的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形. (　 )
(2)在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴间的距离为1个周期. (　 )
(3)函数y=sin的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z). (　 )
(4)函数f(x)=sin的图象的对称中心是(k∈Z). (　 )
◆ 探究点一　确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式
例1 (1)已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f= (　 )
A.4 B.2
C.2 D.2
(2)[2024·贵阳高一期末] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.
变式 在函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点间的距离为,且图象上的一个最低点为M,求f(x)的解析式.
[素养小结]
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,就是求参数A,ω,φ的值.A由最值确定,ω由最小正周期确定,确定φ时,常把图象上一个已知点的坐标代入(此时A,ω已确定)求解.
◆ 探究点二　y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
例2 [2024·辽宁朝阳高一期中] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式和最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最值及对应的x的取值;
(3)当x∈时,写出函数f(x)的单调递增区间.
变式1 (多选题)已知函数f(x)=sin,则 (　 )
A.函数f为奇函数
B.函数f(x)在上单调递增
C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos 2x的图象
D.函数f(x)在上的最小值为-1
变式2 已知函数f(x)=sin+(ω>0)的最小正周期为.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若函数g(x)=f(x)+m在区间上有两个零点,求实数m的取值范围.
拓展 (1)若f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上单调递增,则ω的最大值为　　　　.
(2)若函数f(x)=sin(x+φ)-在内恰有3个零点,则φ的取值范围是(　 )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪第2课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
一、选择题
1.在下列区间中,函数f(x)=2sin单调递减的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则 (　 )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=-
C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=-
3.函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)图象的一条对称轴的方程是 (　 )
A.x=- B.x=
C.x=- D.x=
4.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的实数x都有f=f,则f等于 (　 )
A.3或0 B.-3或0
C.0 D.-3或3
5.将函数y=sin的图象上所有点的纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的后,再将图象向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象,则f(x)在上的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)=Acos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则为了得到g(x)=sin ωx的图象,只需将f(x)的图象 (　 )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
7.已知函数f(x)=sin,若f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为 (　 )
A. B. C. D.
8.(多选题)已知函数f(x)=sin,则下列关于函数f(x)的结论中正确的是 (　 )
A.最小正周期为2π
B.在上单调递减
C.最小值为-1
D.图象关于直线x=对称
9.(多选题)已知函数f(x)=sin(3x+φ)的图象关于直线x=对称,那么 (　 )
A.函数f为奇函数
B.函数f(x)在上单调递增
C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos 3x的图象
二、填空题
10.在函数y=2sin的图象的对称中心中,离原点最近的对称中心的坐标是　　　　.
11.[2024·福建师大附中高一期末] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　.
12.若函数y=sin ωx(ω>0)在区间[0,2]上恰好取到3次最小值,请写出一个符合题意的ω的值:　　　　.
三、解答题
13.已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求ω;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的单调递增区间.
15.已知函数f(x)=sin(ω>0),若f(x)在区间(π,2π]内没有零点,则ω的取值范围是 (　 )
A. B.∪
C.∪ D.
16.[2024·江西景德镇乐平中学高一月考] 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π),f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为,且f(x)的图象过点.
(1)当x∈时,求函数f(x)的取值范围;
(2)记方程f(x)=在上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值.

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