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第一章 集合与常用逻辑用语
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广东模拟）用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}且A*B＝1，则实数a的所有取值为（　　）
A．0 B．0，
C．0，2 D．﹣2，0，2
2．（2025春 水城区校级期末）已知集合M＝{x|（x﹣2）2≤1}，非空集合N＝{x|1≤x≤a}，若N M，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[3，+∞） C．[0，3] D．[1，3]
3．（2025春 秦淮区校级月考）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，下列结论正确的是（　　）
A．﹣3∈[2]
B．Z＝[1]∪[2]∪[3]
C．整数a，b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]”
D．若a∈[3]，b∈[2]，则ab∈[2]
4．（2025春 兰山区校级月考）下列四个命题正确的个数是（　　）
①{0}是空集；
②若a∈N，则﹣a N；
③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；
④集合是有限集．
A．1 B．2 C．3 D．0
5．（2025 东城区一模）已知集合，B＝{（x，y）|y＝a|x+a|}．如果A∩B有且只有两个元素，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）
C．[0，1] D．[0，1）∪（1，+∞）
6．（2025春 湖北月考）若命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则（　　）
A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4
7．（2025春 张掖月考）已知集合A＝{﹣2，1，3，4}，B＝{x||x﹣2|＜m，x∈R}，若A∩ RB＝ ，则实数m取值范围为（　　）
A．m＞4 B．m≥4 C．m≤2 D．m＞2
8．（2024秋 石景山区期末）已知集合A＝{a1，a2，a3，a4} {1，2，3，4，5，6，7，8}，若存在ai，aj∈A，使得|ai﹣aj|＝1，则集合A的个数为（　　）
A．70 B．65 C．60 D．50
二．多选题（共4小题）
9．（2025 郫都区校级模拟）对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，…，Ak，k≥1满足A1 A2 … Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（　　）
A．集合S的最长“链”的长度为n+1
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合
D．集合S的最长“链”的总数为n!
10．（2025春 安徽月考）对任意集合A，B U，记A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}，并称A*B为集合A，B的相异集，则（　　）
A．A*B＝B*A
B．若A A*B，则A∩B≠
C．命题“若A*B＝A，则B＝ ”为假命题
D．若p：A*B A，q：B A，则p是q成立的充分必要条件
11．（2025春 莆田期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，U的4个不同三元子集（含有三个元素的子集）组成集合B，且B满足：
①{1，2，3}∈B；
②B中任意两个元素的并集是U的真子集，任意三个元素的并集是U．
任取一个集合B，记事件D1＝“{1，4，5}∈B”，事件D2＝“{2，4，6}∈B”，则（　　）
A．集合B中任意两个元素的交集非空
B．
C．取到的集合B的所有可能结果有4种
D．
12．（2025春 贵阳期末）一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，则下列结论中正确的是（　　）
A．n（AB）＝4 B．
C． D．A与B相互独立
三．填空题（共4小题）
13．（2025 浦东新区校级模拟）设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为　 　 ．
14．（2025 宝丰县三模）已知p： x∈R，mx2+2＞0；q： x∈R，x2﹣2mx+1≤0．若p，q都是真命题，则实数m的取值范围是　 　 ．
15．（2025春 沙坪坝区校级期中）已知A {1，2，…，2625}，且A中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则|A|的最大值为 　 　 ．
16．（2025春 南京月考）已知M＝{x|1≤x≤16，x∈N}，A＝{x1，x2，x3} M，且，则满足条件的集合A共有 　 　 个．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 北京期中）已知数集A＝{a1，a2，a3 ，an}（1＝a1＜a2＜a3＜ ＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n）， i，j（1≤i≤j≤n），使得ak＝ai+aj成立．
（1）分别判断数集{1，2，3，5}与{1，2，5，7}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求证：an﹣an﹣1﹣an﹣2﹣ ﹣a2≤2．
18．（2025春 广东月考）已知m，n∈N*，n≥2．设集合C＝{x|x＝3k﹣2或x＝3k﹣1，k∈N*，且k≤m}，集合A＝{α|α＝（x1，x2，…，xn），xi∈C，i＝1，2，3，…，n}．若集合A中的元素α＝（x1，x2，…，xn），β＝（y1，y2，…，yn）满足|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|xn﹣yn|＝1，则称β为α的“相邻元”．对于整数H，若集合A存在一个子集B满足：（i）集合B中的元素个数为H；（ii） α∈B，在集合B中都至少有n﹣1个“相邻元”，则称H是“好数”．
（1）当m＝2，n＝3时，直接写出α＝（1，4，1）的“相邻元”；
（2）当m＝2，n＝9时，求证：49﹣47是“好数”；
（3）当n＝2025时，若整数d1，d2，d3满足0＜d1＜d2＜d3≤2022，且d3﹣d2≥3，d2﹣d1≥3，求证：是“好数”．
19．（2024秋 宜春期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．
（1）若a＝3，求A∪（ UB）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．
20．（2025春 埇桥区校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2﹣x+6≤0}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|m+1＜x＜2m}．
（Ⅰ）求（ UA）∩B；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求实数m的取值范围．
第一章 集合与常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广东模拟）用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}且A*B＝1，则实数a的所有取值为（　　）
A．0 B．0，
C．0，2 D．﹣2，0，2
【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．
【专题】计算题；集合．
【答案】D
【分析】根据A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，进而可得x2+ax＝0或x2+ax+2＝0，求解即可得a的所有可能值．
【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）＝0等价于x2+ax＝0①或x2+ax+2＝0②，
又由A＝{1，2}，且A*B＝1，
∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，
1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，
∴a＝0；
2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
即，
解得a＝±2，
综上所述a＝0或a＝±2，
故选：D．
【点评】此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．
2．（2025春 水城区校级期末）已知集合M＝{x|（x﹣2）2≤1}，非空集合N＝{x|1≤x≤a}，若N M，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，+∞） B．[3，+∞） C．[0，3] D．[1，3]
【考点】集合的包含关系的应用．
【答案】D
【分析】通过解不等式得到集合M，再依据集合包含关系（N中元素都在M中 ）和N非空的条件来限制a的取值．
【解答】解：集合M，由（x﹣2）2≤1，得﹣1≤x﹣2≤1．
即1≤x≤3，所以M＝{x|1≤x≤3}．
因为N是非空集合且N M，N＝{x|1≤x≤a}，
所以1≤a≤3．
故选：D．
【点评】解题关键在于先求解出集合M，再结合非空集合N以及N M的条件，确定实数a的取值范围．
3．（2025春 秦淮区校级月考）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，下列结论正确的是（　　）
A．﹣3∈[2]
B．Z＝[1]∪[2]∪[3]
C．整数a，b属于同一“类”的充分不必要条件是“a﹣b∈[0]”
D．若a∈[3]，b∈[2]，则ab∈[2]
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】D
【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C．
【解答】解：整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{4n+k|n∈Z}，
对于A，因为﹣3＝﹣1×4+1，所以﹣3∈[1]，A错误．
对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以Z [0]∪[1]∪[2]∪[3]，又[0]∪[1]∪[2]∪[3] Z，
所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，B错误．
对于C，若a，b∈[m]，m＝0，1，2，3，则a＝4n1+m，n1∈Z，b＝4n2+m，n2∈Z，
所以a﹣b＝4（n1﹣n2）∈[0]；
若a﹣b∈[0]，则a﹣b＝4p，p∈Z，不妨设a∈[t]，t＝0，1，2，3，
则a＝4n3+t，n3∈Z，所以b＝4（n3﹣p）+t，n3﹣p∈Z，
所以a，b除以4所得的余数相同，即a，b属于同一“类”．
故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”，C错误．
对于D，由题意可设a＝4k1+3，k1∈Z，b＝4k2+2，k2∈Z，
则ab＝16k1k2+8k1+12k2+6＝4（4k1k2+2k1+3k2+1）+2，
因为4k1k2+2k1+3k2+1∈Z，所以ab∈[2]，D正确．
故选：D．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合知识的应用，属于中档题．
4．（2025春 兰山区校级月考）下列四个命题正确的个数是（　　）
①{0}是空集；
②若a∈N，则﹣a N；
③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；
④集合是有限集．
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【答案】D
【分析】可根据空集定义、自然数集性质、集合中元素个数判断及有限集概念进行分析．
【解答】解：对于①，{0}不是空集，{0}含有一个元素0，而空集中无任何元素，故①错；对于②，若a∈N，当a＝0时，﹣a＝0，﹣a∈N，故②错；对于③，集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}，只有一个元素，故③错；
对于④，集合，是无限集，故④错；综上，正确的命题有0个．
故选：D．
【点评】这道题围绕集合的基本概念命题，是集合知识入门级考查，考点覆盖全面且基础：
1．概念辨析维度：聚焦空集定义、自然数集元素特性、集合中元素个数、有限集与无限集判断，从不同角度夯实集合核心概念；
2．能力考查角度：主要检验对基础概念的精准理解，需准确把握空集“无元素”、自然数集包含0、方程解的个数与集合元素的对应、有限集“元素可数”等细节，稍有概念模糊就易出错，是训练概念辨析能力的典型题；
3．教学价值方面：适合作为集合知识初次巩固练习，能暴露学生对空集、自然数集、集合元素互异性等概念的理解漏洞，助力教师针对性强化基础概念教学，帮学生构建清晰的集合知识框架．
5．（2025 东城区一模）已知集合，B＝{（x，y）|y＝a|x+a|}．如果A∩B有且只有两个元素，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）
C．[0，1] D．[0，1）∪（1，+∞）
【考点】集合交集关系的应用．
【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑思维．
【答案】D
【分析】先分析出曲线表示的是双曲线x2﹣y2＝在x轴上及上方的所有点，再分情况讨论当a取不同值时，y＝a|x+a|表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果．
【解答】解：因为A∩B有且只有两个元素，
所以曲线与y＝a|x+a|有且只有两个交点，
对于曲线变形可得x2﹣y2＝1（y≥0），
表示的是双曲线x2﹣y2＝在x轴上及上方的所有点，
对于曲线y＝a|x+a|，
（1）当a＝0时，如图所示，y＝a|x+a|表示的是一条直线y＝0，
与x2﹣y2＝1（y≥0）交于（1，0），（﹣1，0）两点，符合题意；
（2）当a＜0时，y＝a|x+a|≤0，与x2﹣y2＝1（y≥0）至多有一个交点，不符合题意；
（3）当a＞0时，y＝a|x+a|表示的是两条射线，
，
①当a＝1时，y＝a|x+a|表示的是y＝x+1（x≥﹣1）和y＝﹣（x+1）（x＜﹣1）两条射线，
与x2﹣y2＝1（y≥0）仅有（﹣1，0）一个交点，如下图所示，所以a＝1不符合题意；
②当0＜a＜1时，y＝a|x+a|与x轴的交点为（﹣a，0），﹣a∈（﹣1，0），
且y＝a（x+a）的斜率a∈（0，1），y＝﹣a（x+a）的斜率﹣a∈（﹣1，0），
而双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线为y＝±x，斜率分别为1和﹣1，
所以y＝a|x+a|与x2﹣y2＝1（y≥0）的左右两支各有一个交点，
如下图所示，所以0＜a＜1符合题意；
③当a＞1时，y＝a|x+a|与x轴的交点为（﹣a，0），﹣a＜﹣1，
且y＝a（x+a）的斜率a＞1，y＝﹣a（x+a）的斜率﹣a＜﹣1，
而双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线为y＝±x，斜率分别为1和﹣1，
所以y＝a|x+a|与x2﹣y2＝1（y≥0）的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示，所以a＞1符合题意．
综上，实数a的取值范围为[0，1）∪（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查集合的综合应用，属于难题．
6．（2025春 湖北月考）若命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则（　　）
A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4
【考点】存在量词命题真假的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据命题为真命题得出m≤（x2）max即可求解．
【解答】解：命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，
故x∈[0，2]时，m≤[x2]max＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：命题真假的判定，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（2025春 张掖月考）已知集合A＝{﹣2，1，3，4}，B＝{x||x﹣2|＜m，x∈R}，若A∩ RB＝ ，则实数m取值范围为（　　）
A．m＞4 B．m≥4 C．m≤2 D．m＞2
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据集合B计算 RB，利用A∩ RB＝ 求参数的取值范围．
【解答】解：由B＝{x‖x﹣2|＜m，x∈R}得，B＝{x|2﹣m＜x＜2+m}，
∴ RB＝{x|x≤2﹣m或x≥2+m}，
由A∩ RB＝ 得，B≠ ，m＞0．
集合A＝{﹣2，1，3，4}，
则，解得m＞4．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于中档题．
8．（2024秋 石景山区期末）已知集合A＝{a1，a2，a3，a4} {1，2，3，4，5，6，7，8}，若存在ai，aj∈A，使得|ai﹣aj|＝1，则集合A的个数为（　　）
A．70 B．65 C．60 D．50
【考点】集合的包含关系的应用．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意可知，集合A有4个元素且包含于集合{1，2，3，4，5，6，7，8}，求出没有特殊要求的集合A的个数，再求出不符合“存在ai，aj∈A，使得|ai﹣aj|＝1”条件的集合的个数，从而得到本题答案．
【解答】解：∵A＝{a1，a2，a3，a4} {1，2，3，4，5，6，7，8}，
即从集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中8个元素任选4个组成集合A，共有个，
设 ai，aj∈A，使得|ai﹣aj|≠1，
则这样的集合有{1，3，5，7}，{1，3，5，8}，{1，3，6，8}，{1，4，6，8}，{2，4，6，8}共计5个，
∴若集合A存在ai，aj∈A，使得|ai﹣aj|＝1时的个数有70﹣5＝65个．
故选：B．
【点评】本题考查集合与排列的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025 郫都区校级模拟）对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，…，Ak，k≥1满足A1 A2 … Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（　　）
A．集合S的最长“链”的长度为n+1
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合
D．集合S的最长“链”的总数为n!
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；集合思想；集合；运算求解．
【答案】AD
【分析】通过集合的子集链概念，去推断子集包含关系、链的长度及计数．
【解答】解：A选项，设S＝{a1，a2， ，an}，两两不同的子集A1，A2， ，Ak，k≥1，
满足A1 A2 Ak，故Ak+1中的元素要至少比Ak多一个元素，
要想集合S的一条“链”为最长“链”，需满足A1＝ ，
且Ak+1中元素比Ak中元素多1，所以A1＝ ，A2＝{ai}，A3＝{ai，aj}， ，Ak＝S，
故集合S的最长“链”的长度为n+1，A正确；
B选项，不妨设Am＝{1}，Aw＝{2}，
显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，B错误；
C选项，当|S|＝4时，不妨设{1} {1，2} {1，2，3} {1，2，3，4}，
{3} {1，3} {1，3，4}，
上面两个均为两条长为4的“链”，不具有相同集合，C错误；
D选项，由A选项，S的最长“链”的长度为n+1，其中A2＝{ai}有n种选择，
A3＝{ai，aj}有（n﹣1）种选择，以此类推，
Ar＝{ai，aj， ，an}中共有（r﹣1）个元素，有（n﹣r+2）种选择，
综上，S的最长“链”的总数为n!，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．
10．（2025春 安徽月考）对任意集合A，B U，记A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}，并称A*B为集合A，B的相异集，则（　　）
A．A*B＝B*A
B．若A A*B，则A∩B≠
C．命题“若A*B＝A，则B＝ ”为假命题
D．若p：A*B A，q：B A，则p是q成立的充分必要条件
【考点】子集与真子集；集合并集关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】AD
【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A，A*B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}＝B*A，故选项A正确；
对于选项B，若A A*B，当A＝ 时，B≠ ，A （A∪B），且A∩B＝ ，当A≠ 时，假设A∩B≠ ，
则A A*B，故A∩B＝ ，故选项B错误；
对于选项C，若A*B＝A，则B＝ ，故选项C错误；
对于选项D，由A*B A得B A，反之也成立，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了集合的运算，集合与集合的关系，是中档题．
11．（2025春 莆田期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，U的4个不同三元子集（含有三个元素的子集）组成集合B，且B满足：
①{1，2，3}∈B；
②B中任意两个元素的并集是U的真子集，任意三个元素的并集是U．
任取一个集合B，记事件D1＝“{1，4，5}∈B”，事件D2＝“{2，4，6}∈B”，则（　　）
A．集合B中任意两个元素的交集非空
B．
C．取到的集合B的所有可能结果有4种
D．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，写出满足题意的集合B所有可能情况，进而判断各选项即可．
【解答】解：设集合B＝{A1，A2，A3，A4}，其中A1＝{1，2，3}，且{4，5，6} B，
由题意，满足题意的集合B所有可能情况为：
{A1，{1，4，5}，{2，4，6}，{3，5，6}}，{A1，{1，4，5}，{2，5，6}，{3，4，6}}
{A1，{1，4，6}，{2，4，5}，{3，5，6}}，{A1，{1，4，6}，{2，5，6}，{3，4，5}}，
{A1，{1，5，6}，{2，4，6}，{3，4，5}}，{A1，{1，5，6}，{2，4，5}，{3，4，6}}，故C选项错误；
显然，集合B中任意两个元素的交集非空，故A选项正确；
对于B，，，
则，故B，D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查元素与集合的关系，古典概型、条件概率公式等，属于中档题．
12．（2025春 贵阳期末）一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B关系用图表示，如图所示，其中n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，则下列结论中正确的是（　　）
A．n（AB）＝4 B．
C． D．A与B相互独立
【考点】Venn图表集合的包含关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由图易求得n（AB）可判断A，求得，利用古典概型概率公式计算即可判断B；求得，利用古典概型概率公式计算即可判断C；分别求出事件求得P（A），P（B），P（AB），．进而计算判断即可．
【解答】解：对于选项A，由题意n（Ω）＝24，n（A）＝12，n（B）＝8，n（A∪B）＝16，
结合Venn图可知，n（AB）＝n（A）+n（B）﹣n（A∪B）＝12+8﹣16＝4，故选项A正确；
对于选项B，因为n（A∪B）＝16，n（Ω）＝24，所以，
所以，故选项B不正确；
对于选项C，因为，所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，又，
，P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B相互独立，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了集合的运算，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 浦东新区校级模拟）设集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，则A的元素个数最多为　137　 ．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】137．
【分析】三位数中的5的倍数分个位是0和个位是5讨论即可．
【解答】解：由题意集合A中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5的倍数，
可得集合中且至多只有一个不是5的倍数，其余均是5的倍数．
首先讨论三位数中的5的倍数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位为5时，则百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法计数原理这样的5的倍数共有个，
最后再加上单独的不是5的倍数的数，所以集合中元素个数的最大值为72+64+1＝137个．
故答案为：137．
【点评】本题考查了集合元素个数问题，是中档题．
14．（2025 宝丰县三模）已知p： x∈R，mx2+2＞0；q： x∈R，x2﹣2mx+1≤0．若p，q都是真命题，则实数m的取值范围是　[1，+∞）　 ．
【考点】存在量词命题的真假判断；全称量词命题的真假判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维；运算求解．
【答案】[1，+∞）．
【分析】根据特称量词与全称量词命题，进一步利用一元二次不等式的计算求出结果即可．
【解答】解：对应q为真命题，则Δ＝4m2﹣4≥0，整理得m≥1或m≤﹣1，
对于p为真命题，则m≥0，
能满足两个命题m的取值范围是m≥1．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查的知识点：命题真假的判定，恒成立和存在性问题，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2025春 沙坪坝区校级期中）已知A {1，2，…，2625}，且A中任意两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，则|A|的最大值为 　1212　 ．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】1212．
【分析】根据2625＝13×201+12，取A＝{x|x＝13t+k，0≤t≤201，t∈Z，k＝1，4，6，9，11，12}，即可满足A中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，然后证明在1，2，…13中，最多有6个数作为余数k入选A，故|A|≤6×202＝1212．
【解答】解：因为2625＝13×201+12，取A＝{x|x＝13t+k，0≤t≤201，t∈Z，k＝1，4，6，9，11，12}，
即可满足A中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9．
下面证明以上满足题设条件．
若|13（t﹣r）+（b﹣a）|＝4或9，a，b∈{1，4，6，9，11，12}，并且0≤r≤t≤201，
（1）当t﹣r＝0时，为使|13（t﹣r）+（b﹣a）|＝4或9，应使得|b﹣a|＝4或9，
进而使得b﹣a＝±4或±9，但a，b∈{1，4，6，9，11，12}，故满足不了，
因此|13（t﹣r）+（b﹣a）|≠4，9；
（2）当t﹣r＝1时，为使|13（t﹣r）+（b﹣a）|＝4或9，应使得|13+（b﹣a）|＝4或9，
进而使得b﹣a＝﹣4或﹣9，但a，b∈{1，4，6，9，11，12}，故满足不了，
因此|13（t﹣r）+（b﹣a）|≠4，9；
（3）当t﹣r≥2时，有13（t﹣r）≥26，而﹣11≤b﹣a≤11，
因此|13（t﹣r）+（b﹣a）|≠4，9；
综上所述，|13（t﹣r）+（b﹣a）|≠4，9，这里a，b∈{1，4，6，9，11，12}，并且0≤r≤t≤201．
故A中任何两个数的差的绝对值不等于4，也不等于9，此时|A|＝6×202＝1212．
另一方面，在模13下考虑，将1，5，9，0，4，8，12，3，7，11，2，6，10排成一个首尾相连的圆圈（这里1和10首尾相连），
任意两个相邻的数的差的绝对值均为4或9，
那么从中任取7个数，其中必定会有两个数的差的绝对值均为4或9．
因此在1，2，…，13中，不可能同时有7个数作为余数k入选A，
则|A|≤6×202＝1212．
所以|A|的最大值为1212．
故答案为：1212．
【点评】本题主要考查集合之间的关系，元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025春 南京月考）已知M＝{x|1≤x≤16，x∈N}，A＝{x1，x2，x3} M，且，则满足条件的集合A共有 　410　 个．
【考点】集合的包含关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】410．
【分析】由题意x1，x2除以3的余数相同，按照x1，x2除以3的余数相同，x1，x2被3除余1，x1，x2被3除余2分类讨论，结合组合数的运算求解即可．
【解答】解：M＝{x|1≤x≤16，x∈N}，A＝{x1，x2，x3} M，且，
∵，∴x1+2x2能被3整除，
∴x1，x2除以3的余数相同，
M＝{x|1≤x≤16，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，
集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}的元素中，
能被3整除的整数有3，6，9，12，15，
被3除余1的整数有1，4，7，10，13，16，
被3除余2的整数有2，5，8，11，14，
当x1，x2都被3整除时，则x1，x2，x3从被3整除的5个数中选取3个，
或x1，x2可从被3整除的5个数中选取2个，x3从其余11个数中选择，
∴A的个数为，
当x1，x2被3除余1时，则x1，x2，x3从被3除余1的6个数中选取3个，
或x1，x2可从被3除余1的6个数中选取2个，x3从其余10个数中选择，
∴A的个数为，
当x1，x2被3除余2时，则x1，x2，x3从被3除余2的5个数中选取3个，
或x1，x2可从被3除余2的5个数中选取2个，x3从其余11个数中选择，
∴A的个数为120，
∴满足条件的集合A共有120+170+120＝410个．
故答案为：410．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 北京期中）已知数集A＝{a1，a2，a3 ，an}（1＝a1＜a2＜a3＜ ＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n）， i，j（1≤i≤j≤n），使得ak＝ai+aj成立．
（1）分别判断数集{1，2，3，5}与{1，2，5，7}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求证：an﹣an﹣1﹣an﹣2﹣ ﹣a2≤2．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】转化思想；集合思想；综合法；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）若数集{1，2，3，5}具有性质P，则2≤k≤4，1≤i≤j≤4，
∵2＝1+1，即a2＝a1+a1，
3＝1+2，即a3＝a1+a2，
5＝2+3，即a4＝a2+a3，
∴{1，2，3，5}具有性质P；
若数集{1，2，5，7}具有性质P，则2≤k≤4，1≤i≤j≤4，
∵5≠1+1，即a3≠a1+a1，5≠1+2，即a3≠a1+a2，
5≠2+2，即a3≠a2+a2，5≠1+7，即a3≠a1+a4，
5≠1+5，即a3≠a1+a3，5≠2+5，即a3≠a2+a3，
5≠2+7，即a3≠a2+a4，5≠5+5，即a3≠a3+a3，
5≠5+7，即a3≠a3+a4，5≠7+7，即a3≠a4+a4，
∴{1，2，5，7}不具有性质P．
（2）∵集合A＝{a1，a2，…，an}具有性质P：
即对任意的k（2≤k≤n）， i，j（1≤i≤j≤n）使得ak＝ai+aj成立，
∵1＝a1＜a2＜…＜an，n≥2，∴ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，
∴ak＝ai+aj≤2ak﹣1，
即an≤2an﹣1，an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3， ，a3≤2a2，a2≤2a1，
将上述不等式相加得：an+an﹣1+ +a2≤2an﹣1+2an﹣2+ +2a2+2a1，
∴an≤an﹣1+an﹣2+ +a2+2a1，
∵a1＝1，∴an≤an﹣1+an﹣2+ +a2+2，
∴an﹣an﹣1﹣an﹣2﹣ ﹣a2≤2．
【分析】（1）明确每个数集对应的k，i，j的范围，用列举法验证对任意的k，是否存在i，j，使得ak＝ai+aj成立；
（2）根据题意得到ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，进而得到关于a1，a2，a3 ，an的不等关系，对不等式累加即可求证．
【解答】解：（1）数集A＝{a1，a2，a3 ，an}（1＝a1＜a2＜a3＜ ＜an，n≥2）具有性质P：
对任意的k（2≤k≤n）， i，j（1≤i≤j≤n），使得ak＝ai+aj成立．对于数集{1，2，3，5}，
若数集{1，2，3，5}具有性质P，则2≤k≤4，1≤i≤j≤4，
∵2＝1+1，即a2＝a1+a1，
3＝1+2，即a3＝a1+a2，
5＝2+3，即a4＝a2+a3，
∴{1，2，3，5}具有性质P；
若数集{1，2，5，7}具有性质P，则2≤k≤4，1≤i≤j≤4，
∵5≠1+1，即a3≠a1+a1，5≠1+2，即a3≠a1+a2，
5≠2+2，即a3≠a2+a2，5≠1+7，即a3≠a1+a4，
5≠1+5，即a3≠a1+a3，5≠2+5，即a3≠a2+a3，
5≠2+7，即a3≠a2+a4，5≠5+5，即a3≠a3+a3，
5≠5+7，即a3≠a3+a4，5≠7+7，即a3≠a4+a4，
∴{1，2，5，7}不具有性质P．
（2）证明：∵集合A＝{a1，a2，…，an}具有性质P：
即对任意的k（2≤k≤n）， i，j（1≤i≤j≤n）使得ak＝ai+aj成立，
∵1＝a1＜a2＜…＜an，n≥2，∴ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，
∴ak＝ai+aj≤2ak﹣1，
即an≤2an﹣1，an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3， ，a3≤2a2，a2≤2a1，
将上述不等式相加得：an+an﹣1+ +a2≤2an﹣1+2an﹣2+ +2a2+2a1，
∴an≤an﹣1+an﹣2+ +a2+2a1，
∵a1＝1，∴an≤an﹣1+an﹣2+ +a2+2，
∴an﹣an﹣1﹣an﹣2﹣ ﹣a2≤2．
【点评】本题考查新定义、集合、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
18．（2025春 广东月考）已知m，n∈N*，n≥2．设集合C＝{x|x＝3k﹣2或x＝3k﹣1，k∈N*，且k≤m}，集合A＝{α|α＝（x1，x2，…，xn），xi∈C，i＝1，2，3，…，n}．若集合A中的元素α＝（x1，x2，…，xn），β＝（y1，y2，…，yn）满足|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|xn﹣yn|＝1，则称β为α的“相邻元”．对于整数H，若集合A存在一个子集B满足：（i）集合B中的元素个数为H；（ii） α∈B，在集合B中都至少有n﹣1个“相邻元”，则称H是“好数”．
（1）当m＝2，n＝3时，直接写出α＝（1，4，1）的“相邻元”；
（2）当m＝2，n＝9时，求证：49﹣47是“好数”；
（3）当n＝2025时，若整数d1，d2，d3满足0＜d1＜d2＜d3≤2022，且d3﹣d2≥3，d2﹣d1≥3，求证：是“好数”．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】（1）（2，4，1），（1，5，1），（1，4，2）；
（2）证明：因为m＝2，所以C＝{1，2，4，5}．
设A＝{α|α＝（x1，x2， ，x9），xi∈{1，2，4，5}}，显然A中每一个元素恰有9个“相邻元”．
设U＝{u|u＝（1，1，u3， ，u9），ui∈{1，2，4，5}}，构造B＝ AU，
则集合B中的元素个数为49﹣47．
对集合B中的任意元素b＝（b1，b2， ，b9），在集合U中至多存在一个u＝（1，1，u3， ，u9），
满足|b1﹣1|+|b2﹣1|+|b3﹣u3|+ +|b9﹣u9|＝1，
从而b＝（b1，b2， ，bn）在集合B中至少有8个“相邻元”，所以49﹣47是“好数”．
（3）证明：当n＝2025时，若整数d1，d2，d3满足0＜d1＜d2＜d3≤2022，且d3﹣d2≥3，d2﹣d1≥3，可设，且，且k≤m}．
①当n＝2025时，
集合A＝{α|α＝（x1，x2， ，xn），xi∈C，i＝1，2，3， ，2025}中的每一个元素均有2025个“相邻元”．
设，则中含有个元素．
设．
则中含有个元素，i＝1，2．并且两两交集为空集，
设，则Q共有：
．
②对于c＝（c1，c2，c3， ，c2025）∈Q，有c在每一个中，至多有一个“相邻元”．
下面证明该结论：设，且均是C的“相邻元”．
由于，则c与b1，b2不同元素在前2025﹣di位，且后di位相同，即b1，b2，后di位相同．
设c与b1不同位置为m，即sm≠cm；c与b2不同位置为t，即pt≠ct．
当m＝t相同时，又C中与cm差为1的只有一个数，则b1＝b2．
当m≠t时，|c1﹣s1|+|c2﹣s2|+ +|c2025﹣s2025|＝|cm﹣sm|＝1，
|c1﹣p1|+|c2﹣p2|+ +|c2025﹣p2025|＝0或≥2．
所以c在每一个中，至多有一个“相邻元”．
③c不能在中均有“相邻元”，1≤i＜j≤3．下面证明该结论：
元素中第2025﹣di+1+1，2025﹣di+1+2， ，2025﹣di都是C2中元素．
中第2025﹣dj+1+1， ，2025﹣dj都是C1中元素．
故中至少有3个元素属于不同的C1和C2．
所以不存在，均是c的“相邻元”．
由①②③知c在Q中至少有2024个“相邻元”，
故：
是“好数”．
【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果．
（2）利用定义证明集合B中至少有8个“相邻元”，即可证明结论．
（3）先求出当n＝2025时，Q共有：，其次证明对于c＝（c1，c2，c3， ，c2025）∈Q，有c在每一个中，至多有一个“相邻元”，最后证明c不能在中均有“相邻元”，1≤i＜j≤3．即可证明结论．
【解答】解：（1）由题意集合A＝{α|α＝（x1，x2，…，xn），xi∈C，i＝1，2，3，…，n}．
若集合A中的元素α＝（x1，x2，…，xn），β＝（y1，y2，…，yn）满足|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|xn﹣yn|＝1，则称β为α的“相邻元”．
可得α＝（1，4，1）的“相邻元”为：（2，4，1），（1，5，1），（1，4，2）．
（2）证明：因为m＝2，所以C＝{1，2，4，5}．
设A＝{α|α＝（x1，x2， ，x9），xi∈{1，2，4，5}}，显然A中每一个元素恰有9个“相邻元”．
设U＝{u|u＝（1，1，u3， ，u9），ui∈{1，2，4，5}}，构造B＝ AU，
则集合B中的元素个数为49﹣47．
对集合B中的任意元素b＝（b1，b2， ，b9），在集合U中至多存在一个u＝（1，1，u3， ，u9），
满足|b1﹣1|+|b2﹣1|+|b3﹣u3|+ +|b9﹣u9|＝1，
从而b＝（b1，b2， ，bn）在集合B中至少有8个“相邻元”，所以49﹣47是“好数”．
（3）证明：由题意当n＝2025时，若整数d1，d2，d3满足0＜d1＜d2＜d3≤2022，且d3﹣d2≥3，d2﹣d1≥3，
可设，且，且k≤m}．
①当n＝2025时，
集合A＝{α|α＝（x1，x2， ，xn），xi∈C，i＝1，2，3， ，2025}中的每一个元素均有2025个“相邻元”．
设，则中含有个元素．
设．
则中含有个元素，i＝1，2．并且两两交集为空集，
设，则Q共有：
．
②对于c＝（c1，c2，c3， ，c2025）∈Q，有c在每一个中，至多有一个“相邻元”．
下面证明该结论：设，且均是C的“相邻元”．
由于，则c与b1，b2不同元素在前2025﹣di位，且后di位相同，即b1，b2，后di位相同．
设c与b1不同位置为m，即sm≠cm；c与b2不同位置为t，即pt≠ct．
当m＝t相同时，又C中与cm差为1的只有一个数，则b1＝b2．
当m≠t时，|c1﹣s1|+|c2﹣s2|+ +|c2025﹣s2025|＝|cm﹣sm|＝1，
|c1﹣p1|+|c2﹣p2|+ +|c2025﹣p2025|＝0或≥2．
所以c在每一个中，至多有一个“相邻元”．
③c不能在中均有“相邻元”，1≤i＜j≤3．下面证明该结论：
元素中第2025﹣di+1+1，2025﹣di+1+2， ，2025﹣di都是C2中元素．
中第2025﹣dj+1+1， ，2025﹣dj都是C1中元素．
故中至少有3个元素属于不同的C1和C2．
所以不存在，均是c的“相邻元”．
由①②③知c在Q中至少有2024个“相邻元”，故：
是“好数”．
【点评】本题考查了集合新定义问题，是难题．
19．（2024秋 宜春期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．
（1）若a＝3，求A∪（ UB）；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．
【考点】充分不必要条件的应用；解一元二次不等式；集合的交并补混合运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；简易逻辑；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）解二次与一次不等式化简集合A，B，代入a＝3再次化简集合B，进而利用集合的交并补运算即可得解；
（2）根据题意得到B是A的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：（1）由题意知A＝{x|x2+2x＜3}＝（﹣3，1），
若a＝3，B＝{x|﹣3＜3x﹣3＜6}＝{x|0＜x＜3}，
所以 UB＝（﹣∞，0]∪[3，+∞），
所以A∪（ UB）＝（﹣∞，1）∪[3，+∞）．
（2）因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B A，
因为，所以，
所以且等号不同时成立，解得﹣6≤a≤﹣3，
则a的取值范围是[﹣6，﹣3]．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，属于中档题．
20．（2025春 埇桥区校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣x2﹣x+6≤0}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|m+1＜x＜2m}．
（Ⅰ）求（ UA）∩B；
（Ⅱ）若B∪C＝B，求实数m的取值范围．
【考点】集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算．
【专题】计算题；运算求解．
【答案】（Ⅰ）（ UA）∩B＝{x|1＜x＜2}；（Ⅱ）{m|m≤3}
【分析】（Ⅰ）解一元二次不等式得A，再由补集与交集的概念求解，
（Ⅱ）转化为集合间的关系，分类讨论求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵A＝{x|﹣x2﹣x+6≤0}＝{x|x2+x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥2}，
∴ UA＝{x|﹣3＜x＜2}，
∴（ UA）∩B＝{x|1＜x＜2}．
（Ⅱ）∵B∪C＝B，
∴C B，
①当C＝ 时，则m+1≥2m，得m≤1．
②当C≠ 时，可得
，即1＜m≤3，
综上，实数m的取值范围为{m|m≤3}．
【点评】本题考查集合的交并补运算和利用集合间的关系求解参数范围．
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