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第三章 函数的概念与性质
一．选择题（共8小题）
1．（2025 5月份模拟）若函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“平凡区间”；若函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相反，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（　　）
A．
B．
C．
D．f（x）＝sin|x|
2．（2025春 桃城区校级期末）函数，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣4，﹣1] B．[﹣4，﹣2] C．（﹣5，﹣1] D．[﹣5，﹣4]
3．（2025 武强县校级模拟）设函数f（x），若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 天津校级模拟）若函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 广元模拟）已知a∈R，函数，则“0≤a≤4”是“f（x）存在最小值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（2025春 辽宁期末）已知函数则f（m）＝m是m＝1的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025春 集宁区校级期中）已知函数f（n）＝|n﹣1|+|n﹣2|+|n﹣3|+…+|n﹣20|，其中n是自然数，则f（n）的最小值为（　　）
A．50 B．100 C．110 D．190
8．（2025春 双鸭山期末）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）f（y）．且当x＞0时，0＜f（x）＜1．则下列结论不正确的是（　　）
A．f（0）＝1
B．对于任意的x∈R，有f（x）＞0
C．函数f（x）在R上单调递增
D．若，则不等式的解集为
二．多选题（共4小题）
9．（2025春 镇江校级月考）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣2，2]上的图象如图，则下列结论正确的是（　　）
A．方程f（g（x））＝0有且只有6个根
B．方程g（f（x））＝0有且只有3个根
C．方程f（f（x））＝0有且只有5个根
D．方程g（g（x））＝0有且只有4个根
10．（2025 南京校级一模）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）﹣f（x）＝f（1），则（　　）
A．f（1）＝0 B．f（1﹣x）+f（1+x）＝0
C．f（1+2x）＝f（1﹣2x） D．
11．（2024秋 常州校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　）
A．a＞1
B．b＞1
C．2b﹣a＜1
D．g（x）＝bx﹣a的图象不经过第四象限
12．（2025春 南安市校级期末）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是（　　）
A．函数D（x）是奇函数
B． x，y∈R，D（xy）＝D（x）+D（y）
C．函数D（D（x））是偶函数
D． x∈R， a∈Q，D（a+x）＝D（a﹣x）
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 沙坪坝区期末）函数，若f（a2）+f（b）＝0，则a2+3b的最小值为 　 　 ．
14．（2025春 宝山区校级期中）函数的最大值为 　 　 ．
15．（2024秋 文山市校级期末）已知函数y＝f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，若函数f（x）在区间[a，a+2]上具有单调性，则实数a的取值范围是 　 　 ．
16．（2025 辽宁模拟）设minP表示数集P中最小的数，若4b＞a＞b＞0，则的最大值为 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 常德校级期末）已知函数f（x）＝3x2+x﹣1，g（x）＝2x2﹣|x﹣a|+x．
（1）求关于x的不等式f（x）+3mx＜4x+3m﹣1解集；
（2）若a＝1，求g（x）在x∈[﹣2，2]上的值域；
（3）设φ（x）＝f（x）﹣g（x），记φ（x）的最小值为h（a），求h（a）的最小值．
18．（2024秋 信阳期末）已知幂函数满足f（2）＜f（3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝nf（2x﹣1）+2x﹣5，，是否存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，若存在，求出实数n的值．
19．（2024秋 沈阳期末）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4k﹣2t2）＜0成立，求实数k的取值范围．
20．（2025秋 衡水校级月考）含有未知函数的等式称为函数方程．其实，函数方程我们并不陌生，在函数的奇偶性和周期性中，已经蕴含了函数方程的思想．
（1）已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）＝af（x）．
（i）求f（0）的值；
（ii）证明：，其中k和h均为常数；
（2）一般的，设f（x）是R上的连续（图象没有间断点）函数，且对一切的x，y∈R，均有f（x+y）＝f（x）+f（y），称该函数方程为柯西函数方程．柯西对这一类函数方程进行了深入研究，得到了该函数方程的解为f（x）＝mx（x∈R），其中m＝f（1）．利用上述知识，解决下面的问题：已知定义在R上的连续函数f（x）满足x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy恒成立，且f（1）＝2，求f（x）．
第三章 函数的概念与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 5月份模拟）若函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“平凡区间”；若函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）在区间[m，n]上的单调性相反，则把区间[m，n]叫做y＝f（x）的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（　　）
A．
B．
C．
D．f（x）＝sin|x|
【考点】函数的单调性；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】B
【分析】分析可知函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）定义域必存在交集区间，且存在区间[m，n]，函数y＝f（x）在区间[m，n]和[﹣n，﹣m]上单调性相同；存在区间[m，n]，函数y＝f（x）在区间[m，n]和[﹣n，﹣m]上单调性相反，利用数形结合及题中定义逐项判断即可．
【解答】解：若函数y＝f（x）既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”，
则函数y＝f（x）与y＝f（﹣x）定义域必存在交集区间．
若函数y＝f（x）存在“平凡区间”[m，n]，则函数y＝f（x）在区间[m，n]和[﹣n，﹣m]上单调性相同；
若函数y＝f（x）存在“非平凡区间”[m，n]，则函数y＝f（x）在区间[m，n]和[﹣n，﹣m]上单调性相反，
对于A，的定义域为[0，+∞），的定义域为（﹣∞，0]，
则y＝f（x）与y＝f（﹣x）定义域的交集为{0}，不符合题意，故A错误；
对于B，的图象如图①：
由图①可知，f（x）在[﹣2，﹣1]和[1，2]上单调性相同，存在“平凡区间”，
在和上单调性相反，存在“非平凡区间”，故B正确；
对于C，可化为，则f（x）的图象如图②：
由图②可知，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调性相同，则一定存在“平凡区间”，
但不存在“非平凡区间”，故C错误；
对于D，，则f（x）的图象为：
由图③可知，f（x）在和上单调性相反，存在“非平凡区间”，
根据偶函数的性质可知，不存在“平凡区间”，故D错误．
故选：B．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，属于中档题．
2．（2025春 桃城区校级期末）函数，若对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣4，﹣1] B．[﹣4，﹣2] C．（﹣5，﹣1] D．[﹣5，﹣4]
【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】确定函数f（x）在R上单调递减，根据单调性得到不等式，解得答案．
【解答】解：因为对任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，
所以f（x）是R上的减函数，
则，
解得﹣4≤a≤﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
3．（2025 武强县校级模拟）设函数f（x），若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分段函数的应用．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】作出f（x）图象，不妨设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，由数形结合及二次函数图象性质可得，x2+x3＝6，即可求x1+x2+x3范围．
【解答】解：不妨设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，f（x）的图象如图所示，
f（3）＝﹣3，由，
故，x2+x3＝6，故．
故选：D．
【点评】本题主要考查分段函数及其应用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
4．（2025 天津校级模拟）若函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由函数图象求解函数或参数．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】D
【分析】结合函数的图象及函数奇偶性检验各选项即可判断．
【解答】解：由函数图象可得，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，
因为f（0）＜0，排除选项B；
对于C，当x≥0时，f（x）x﹣1，图象为一条射线，不符合题意；
对于D，函数定义域为R，f（﹣x）f（x），即f（x）为偶函数，
又f（0）＝﹣3＜0，符合题意，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数图象判断中的应用，属于中档题．
5．（2025 广元模拟）已知a∈R，函数，则“0≤a≤4”是“f（x）存在最小值”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】分段函数的应用；充分条件必要条件的判断．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】先研究充分性：分三种情况，根据导数与函数单调性的关系、二次函数的性质加以计算，判断出当0≤a≤4时，f（x）存在最小值，可知充分性成立．然后研究必要性：根据f（x）在（1，+∞）上的单调性判断出a必须大于等于0，然后分别讨论0≤a≤4与a＞4时，f（x）存在最小值的等价条件，推算出必要性成立，进而可得所求结论．
【解答】解：对于充分性，有如下3种情况：
①当a＝0时，，
可知f（x）在（﹣∞，1]上的最小值为f（0）＝﹣2，在（1，+∞）上的最小值大于2．
此时f（x）min＝f（0）＝﹣2，即f（x）存在最小值；
②当0＜a≤1时，，
可知f（x）在（﹣∞，1]上的最小值为f（a）＝﹣2，当x＞1时，恒成立．
此时f（x）min＝f（a）＝﹣2，即f（x）存在最小值；
③当1＜a≤4时，，
可知f（x）在区间（﹣∞，1]上单调递减，最小值为f（1）＝a2﹣2a﹣1．
当x＞1时，，由于f'（x）＝aa﹣1＞0恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，此时f（x）min＞a+3．
若要使函数f（x）存在最小值，则须满足a2﹣2a﹣1≤a+3，解得﹣1≤a≤4．
由（1，4] [﹣1，4]，可知1＜a≤4时，函数f（x）存在最小值．
综上所述，当0≤a≤4时，函数f（x）存在最小值，充分性成立．
对于必要性，根据，
可知当a＜0时，f（x）＝ax2在（1，+∞）上单调递减，不存在最小值，
因此若f（x）存在最小值，则必须a≥0．
根据前面对充分性的分析，可知当0≤a≤4时，函数f（x）存在最小值．
再研究当a＞4时的情况：
当a＞4时，函数f（x）＝（x﹣a）2﹣2在（﹣∞，1]上单调递减，f（x）min＝f（1）＝a2﹣2a﹣1．
当x∈（1，+∞），f（x）＝ax2，f'（x）＝aa﹣1＞0恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．
根据函数f（x）存在最小值，可知该最小值在x＝1处取得，须满足a2﹣2a﹣1≤a+3，
即a2﹣3a﹣4≤0，解得﹣1≤a≤4，与a＞4矛盾，因此当a＞4时，函数f（x）不存在最小值．
综上所述，当f（x）存在最小值时，0≤a≤4，必要性成立．
因此，“0≤a≤4”是“函数f（x）存在最小值”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性与最值、充要条件判断等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题．
6．（2025春 辽宁期末）已知函数则f（m）＝m是m＝1的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】分段函数的应用；充要条件的判断．
【专题】计算题；整体思想；分析法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，分情况讨论函数定义，分别求解m＞0和m≤0时的方程f（m）＝m，再根据解的个数判断m＝1是否是成立的充分、必要条件．
【解答】解：当m＞0时，由f（m）＝m，解得m＝1或m＝﹣1（舍去）；
当m≤0时，由f（m）＝m，解得m＝1（，舍去），
因此由f（m）＝m，当m＝1时，有f（1）＝1，
综上所述，f（m）＝m是m＝1的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，属于中档题．
7．（2025春 集宁区校级期中）已知函数f（n）＝|n﹣1|+|n﹣2|+|n﹣3|+…+|n﹣20|，其中n是自然数，则f（n）的最小值为（　　）
A．50 B．100 C．110 D．190
【考点】求函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】去掉绝对值，由等差数列求和公式化简求解即可．
【解答】解：假设n＝i时，f（n）取得最小值，则正整数i必然在区间[1，20]上，即1≤i≤20，
f（n）的最小值等价于求数列am＝|i﹣m|的前20项和的最小值，
设bm＝i﹣m，1≤m≤20，记bm前m项和为Sm，
则f（n）＝Si﹣（S20﹣Si）＝2
＝i2﹣21i+210，
因为i∈N+，所以当i＝10或i＝11时，f（n）有最小值100．
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列求和，属于中档题．
8．（2025春 双鸭山期末）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）f（y）．且当x＞0时，0＜f（x）＜1．则下列结论不正确的是（　　）
A．f（0）＝1
B．对于任意的x∈R，有f（x）＞0
C．函数f（x）在R上单调递增
D．若，则不等式的解集为
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】令x＝1，y＝0，结合0＜f（1）＜1可求得f（0），知A正确；令y＝﹣x，由f（x）f（﹣x）＝1可推导证得B正确；令x2＞x1，由f（x2）﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0可知C错误；将所求不等式转化为f（3x﹣2x2）≤f（1），结合单调性可得自变量大小关系，解一元二次不等式可知D正确．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于任意的实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）f（y），
令y＝0，有f（x）＝f（0）f（x）；
当x＞0时，0＜f（x）＜1，即f（x）＝0不恒成立，必有f（0）＝1，A正确；
对于B，令y＝﹣x，则f（x）f（﹣x）＝f（x﹣x）＝f（0）＝1；
当x＜0时，﹣x＞0，∴0＜f（﹣x）＜1，∴，
∴对于任意x∈R，f（x）＞0，B正确；
对于C，设x2＞x1，
∴f（x2）﹣f（x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）＝f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]；
∵x2﹣x1＞0，∴0＜f（x2﹣x1）＜1，即f（x2﹣x1）﹣1＜0，又f（x1）＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x）在R上单调递减，C错误；
对于D，∵，∴，
则可化为：f（3x﹣2x2）≤f（1），
又f（x）在R上单调递减，∴3x﹣2x2≥1，即2x2﹣3x+1＝（2x﹣1）（x﹣1）≤0，
解得：，即不等式的解集为，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的应用，注意赋值法的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025春 镇江校级月考）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）在[﹣2，2]上的图象如图，则下列结论正确的是（　　）
A．方程f（g（x））＝0有且只有6个根
B．方程g（f（x））＝0有且只有3个根
C．方程f（f（x））＝0有且只有5个根
D．方程g（g（x））＝0有且只有4个根
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数据分析．
【答案】ACD
【分析】先分别判断满足f（x）＝0，g（x）＝0的x值在区间[﹣2，2]上有几个，然后再判断f[g（x）]＝0，g[f（x）]＝0，f[f（x）]＝0的根的情况，同理判断方程g[g（x）]＝0即可．
【解答】解：A中满足f（x）＝0的x值在区间[﹣2，2]上有三个，把这三个看作g（x）对应的y值，
则当g（x）等于这三个值中的每个值，都有两个值与之对应，
故方程f[g（x）]＝0有且仅有6个根，故选项A正确；
B中满足g（x）＝0的x值在区间[﹣2，2]上有两个，
一个在区间（﹣2，﹣1）上，一个在区间（0，1）上，把这两个看作f（x）对应的y值，
则当f（x）等于这两个值时，在区间（﹣2，﹣1）上只有一个x值与之对应，
在区间（0，1）上有三个x值与之对应，
故方程g[f（x）]＝0有且只有4个根，故选项B错误；
C中满足f（x）＝0的x值在区间[﹣2，2]上有三个，把这三个再看作f（x）对应的y值，
在区间（﹣2，﹣1）上只有一个x值与之对应，在区间（1，2）上也只有一个x值与之对应，
而f（x）＝0所对应的x值有三个，
故方程f[f（x）]＝0有且仅有5个根，故选项C正确；
D中同样的方法可知方程g[g（x）]＝0有且仅有4个根，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．
10．（2025 南京校级一模）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）﹣f（x）＝f（1），则（　　）
A．f（1）＝0 B．f（1﹣x）+f（1+x）＝0
C．f（1+2x）＝f（1﹣2x） D．
【考点】奇函数偶函数的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】依题意，可求得f（x）是以2为周期的周期函数，且关于直线x＝0，x＝1对称，依次逐项分析可得答案．
【解答】解：∵f（x）为定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
又f（x+2）﹣f（x）＝f（1），
∴当x＝﹣1时，有f（1）﹣f（﹣1）＝f（1），即f（﹣1）＝f（1）＝0，A正确；
∴原条件化为f（x+2）﹣f（x）＝0，即f（x+2）＝f（x），①
∴f（x）是以2为周期的周期函数．
在①中，令x＝0，得f（2）＝f（0），但不能确定f（0）是否为0，
∴f[1﹣（﹣1）]+f[（1+（﹣1）]不一定为0，
即f（1﹣x）+f（1+x）＝0不一定成立，B错误；
在①中，用﹣x替换x，得f（2﹣x）＝f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∴f（1+2x）＝f（1﹣2x），C正确；
∵f（1）＝f（3）＝f（5）＝....＝f（19）＝0，
f（0）＝f（2）＝f（4）＝....＝f（20），但f（2）的值无法确定，
∴f（i）的值不确定，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
11．（2024秋 常州校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　）
A．a＞1
B．b＞1
C．2b﹣a＜1
D．g（x）＝bx﹣a的图象不经过第四象限
【考点】由函数图象求解函数或参数；由指数函数的单调性求解参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案．
【解答】解：对于选项A，由图象可知函数单调递减，则0＜a＜1，故A选项错误；
对于选项B，当x＝0时，f（0）＝a0﹣b＝1﹣b，由图象可得1﹣b＜0，解得b＞1，故B选项正确；
对于选项C，由﹣1＜﹣a＜0，则b﹣a＞0，由y＝2x是增函数，则2b﹣a＞20＝1，故C选项错误；
对于选项D，由b＞1，0＜a＜1，则函数g（x）是增函数，
当x＝0时，g（0）＝b0﹣a＝1﹣a＞0，故D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查函数的图象的判断，是基础题．
12．（2025春 南安市校级期末）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数，有以下四个命题，其中真命题是（　　）
A．函数D（x）是奇函数
B． x，y∈R，D（xy）＝D（x）+D（y）
C．函数D（D（x））是偶函数
D． x∈R， a∈Q，D（a+x）＝D（a﹣x）
【考点】分段函数的应用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解；新文化类．
【答案】BCD
【分析】取x为有理数计算判断A；取计算判断B；求出D（D（x）），再利用奇偶性定义判断C；按x是有理数、无理数计算判断D．
【解答】解：对于A选项，若x是有理数，则﹣x也是有理数，则D（x）+D（﹣x）＝1+1＝2≠0，
所以D（x）不是奇函数，所以A选项错误；
对于B选项，当时，
，
，此时D（xy）＝D（x）+D（y），所以B选项正确；
对于C选项，若x是有理数，则D（x）＝1，D（D（x））＝D（1）＝1；
若x是无理数，D（x）＝0，D（D（x））＝D（0）＝1，
于是 x∈R，D（D（x））＝1，又﹣x∈R，则D（D（﹣x））＝1，
所以D（D（﹣x））＝D（D（x）），
所以函数D（D（x））是偶函数，所以C选项正确；
对于D选项，若x是有理数，a∈Q，则a+x，a﹣x均是有理数，则D（a+x）＝D（a﹣x）＝1；
若x是无理数，a∈Q，则a+x，a﹣x均是无理数，则D（a+x）＝D（a﹣x）＝0，
所以 x∈R，a∈Q，D（a+x）＝D（a﹣x），所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查分段函数的应用，新定义的应用，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 沙坪坝区期末）函数，若f（a2）+f（b）＝0，则a2+3b的最小值为 　2　 ．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据题意，分析函数的单调性，结合函数的解析式可得f（x）+f（）＝0，由此可得a2，即a2b＝1，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为（0，+∞），
则f（x）＝12lnx，易得f（x）在（0，+∞）上递增，
f（）2ln2lnx，
则有f（x）+f（）＝0，
若f（a2）+f（b）＝0，必有a2，即a2b＝1，
故a2+3b≥22，当且仅当a2＝b＝1时，等号成立，
故a2+3b的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及基本不等式的性质和应用，属于基础题．
14．（2025春 宝山区校级期中）函数的最大值为 　　 ．
【考点】函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】先确定函数的定义域，进一步利用基本不等式求最大值．
【解答】解：根据函数定义域满足的条件：x（1﹣x）≥0，解得0≤x≤1，故x∈[0，1]．
当0≤x≤1时，有，
当且仅当x＝1﹣x，即时，等号成立．
综上所述，当时，f（x）取得最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：函数的定义域和值域，函数的最值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2024秋 文山市校级期末）已知函数y＝f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，若函数f（x）在区间[a，a+2]上具有单调性，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）　 ．
【考点】函数的奇偶性．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
【分析】由f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，可求解x＜0时的解析式，根据函数f（x）在区间[a，a+2]上具有单调性，可得[a，a+2] （﹣∞，﹣1]或[a，a+2] [1，+∞），列式解之可得答案．
【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，
∵f（x）为偶函数，
∴f（x）＝f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，
∴f（x）．
由题意可知：函数f（x）的单调增区间是[﹣1，0]，[1，+∞），单调减区间是（﹣∞，﹣1]，[0，1]，
又函数f（x）在区间[a，a+2]上具有单调性，
∴[a，a+2] （﹣∞，﹣1]或[a，a+2] [1，+∞），
即a+2≤﹣1或a≥1，
解得：a≤﹣3或a≥1．
故得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（2025 辽宁模拟）设minP表示数集P中最小的数，若4b＞a＞b＞0，则的最大值为 　1　 ．
【考点】求函数的最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】1．
【分析】由基本不等式可得a（4b﹣a）≤4b2，4b（a﹣b）≤a2，故，再结合基本不等式可得t≤1，进而可得．
【解答】解：设，
则，，a（4b﹣a）≥t，4b（a﹣b）≥t，
因为4a＞a＞b＞0，所以，，
当且仅当a＝2b时两个不等式同时取等号，
所以，
又，
当且仅当a＝1，时取等号，所以4t≤4，则t≤1，当且仅当a＝1，时取等号，
故的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查基本不等式，解答本题关键是能够通过观察4个元素，从最值角度出发，考虑基本不等式，，，进而，再利用基本不等式可得，因多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性．
四．解答题（共4小题）
17．（2025春 常德校级期末）已知函数f（x）＝3x2+x﹣1，g（x）＝2x2﹣|x﹣a|+x．
（1）求关于x的不等式f（x）+3mx＜4x+3m﹣1解集；
（2）若a＝1，求g（x）在x∈[﹣2，2]上的值域；
（3）设φ（x）＝f（x）﹣g（x），记φ（x）的最小值为h（a），求h（a）的最小值．
【考点】分段函数的应用；二次函数的值域；求函数的最值．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）当m＜﹣1时，解集为{x|1＜x＜﹣m}；当m＞﹣1时，解集为{x|﹣m＜x＜1}；当m＝﹣1时，解集为 ；
（2）；
（3）﹣1．
【分析】（1）将不等式转化为x2+（m﹣1）x﹣m＜0，分m＜﹣1，m＞﹣1和m＝﹣1三种情况求出解集；
（2）求出g（x）的分段函数，求出g（x）的单调区间，求出g（x）在x∈[﹣2，2]上的值域；
（3）求出φ（x），分、和三种情况求出h（a），求出h（a）的最小值．
【解答】解：（1）不等式可化为x2+（m﹣1）x﹣m＜0，
即（x+m）（x﹣1）＜0，
当m＜﹣1时，解得1＜x＜﹣m，
当m＞﹣1时，解得﹣m＜x＜1，
当m＝﹣1时，无解，
综上所述，当m＜﹣1时，解集为{x|1＜x＜﹣m}；
当m＞﹣1时，解集为{x|﹣m＜x＜1}；
当m＝﹣1时，解集为 ；
（2），
当x∈[﹣2，1），g（x）＝2x2+2x﹣1，
因为g（x）在单调递减，在单调递增，且，
所以函数g（x）在x∈[﹣2，1）上值域为，
当x∈[1，2]，g（x）＝2x2+1，g（x）在[1，2]单调递增，
又因为g（1）＝3，g（2）＝9，
所以函数g（x）在x∈[1，2]上值域为[3，9]，
综上所述，函数g（x）在x∈[﹣2，2]上值域为；
（3）由题意可知，，
①当时，函数φ（x）在单调递减，在上单调递增，
函数φ（x）的最小值为；
②当时，函数φ（x）在（﹣∞，a]单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以函数φ（x）的最小值为φ（a）＝a2﹣1；
③当时，函数φ（x）在单调递减，在上单调递增，
故函数φ（x）的最小值为，
综上所述，，
当时，函数φ（x）的最小值为，此时；
当时，函数φ（x）的最小值为a2﹣1，此时h（a）≥﹣1；
当时，函数φ（x）的最小值为，此时，
综上所述，h（a）的最小值为﹣1．
【点评】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分段函数的性质，属于中档题．
18．（2024秋 信阳期末）已知幂函数满足f（2）＜f（3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝nf（2x﹣1）+2x﹣5，，是否存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，若存在，求出实数n的值．
【考点】求函数的最值；求幂函数的解析式．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）（x≥0），
（2）存在n＝﹣6使得g（x）的最小值为﹣13．
【分析】（1）由幂函数的定义可求解m的值，再结合已知f（2）＜f（3）确定函数解析式即可；
（2）假设存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，即g（x）min＝﹣13，求出g（x）的解析式，利用换元法将g（x）＝n2x﹣5转化为h（t）＝t2+nt﹣4，结合二次函数的图象，对n分类讨论，求出函数的最小值，从而可求解n的值．
【解答】解：（1）因为f（x）＝（m2﹣m+1）是幂函数，
所以有m2﹣m+1＝1，解得m＝0或m＝1，
当m＝0时，函数在区间（0，+∞）上是单调递减，不满足f（2）＜f（3），不符合题意；
当m＝1时，在区间（0，+∞）上是单调递增，满足f（2）＜f（3），符合题意，
所以（x≥0），
（2）假设存在实数n使得g（x）的最小值为﹣13，即g（x）min＝﹣13，
由（1）得g（x）＝nf（2x﹣1）+2x﹣5＝n2x﹣5，
令，因为，所以4≤2x﹣1≤25，则，即2≤t≤5，此时2x＝t2+1，
所以g（x）＝n2x﹣5可化为h（t）＝nt+t2+1﹣5＝t2+nt﹣4，此时g（x）min＝h（t）min，即h（t）min＝﹣13，
则h（t）的图象开口向上，对称轴为t，
当2，即n≥﹣4时，h（t）在[2，5]上单调递增，故h（t）min＝h（2）＝2n，
所以由h（x）min＝﹣13，得2n＝﹣13，即n4，不满足题意，舍去；
当，即﹣10＜n＜﹣4时，易知，
由，得n＝﹣6或n＝6（舍去），故n＝﹣6；
当，即n≤﹣10时，h（t）在[2，5]上单调递减，故h（t）min＝h（5）＝5n+21，
由5n+21＝﹣13，得，不满足题意，舍去；
综上：存在n＝﹣6使得g（x）的最小值为﹣13，故n＝﹣6．
【点评】本题主要考查幂函数的性质，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（2024秋 沈阳期末）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4k﹣2t2）＜0成立，求实数k的取值范围．
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇函数偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝b＝1；
（2）减函数，证明见解析；
（3）（0，+∞）．
【分析】（1）由f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）可求出实数a、b的值，然后验证函数f（x）为奇函数即可；
（2）判断出函数f（x）为R上的减函数，然后任取x1、x2∈R，且x1＞x2，作差f（x1）﹣f（x2），变形后判断f（x1）﹣f（x2）的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）由奇函数的性质以及函数f（x）的单调性可得出，求出在[0，4]上的最小值，即可得出实数k的取值范围．
【解答】（1）根据题意，若是定义域为R的奇函数，
则，解可得a＝1，
所以，，
因为，，
由于f（﹣1）＝﹣f（1），即，解得b＝1，
故a＝b＝1，则，
当a＝b＝1时，函数，
因为函数的定义域为R，
则，
即函数为奇函数，
因此，a＝b＝1满足题意．
（2）函数f（x）为R上的减函数，
理由如下：，
任取x1、x2∈R，且x1＞x2，则，
所以，
，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在R上为减函数．
（3）存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4k﹣2t2）＜0，
则f（k+t2）＜﹣f（4k﹣2t2）＝f（2t2﹣4k），所以，k+t2＞2t2﹣4k，则，
又由（）≥0，即（）min＝0，
由题意可得，因此，实数k的取值范围是（0，+∞）．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及函数的最值，属于中档题．
20．（2025秋 衡水校级月考）含有未知函数的等式称为函数方程．其实，函数方程我们并不陌生，在函数的奇偶性和周期性中，已经蕴含了函数方程的思想．
（1）已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）＝af（x）．
（i）求f（0）的值；
（ii）证明：，其中k和h均为常数；
（2）一般的，设f（x）是R上的连续（图象没有间断点）函数，且对一切的x，y∈R，均有f（x+y）＝f（x）+f（y），称该函数方程为柯西函数方程．柯西对这一类函数方程进行了深入研究，得到了该函数方程的解为f（x）＝mx（x∈R），其中m＝f（1）．利用上述知识，解决下面的问题：已知定义在R上的连续函数f（x）满足x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy恒成立，且f（1）＝2，求f（x）．
【考点】分段函数的应用．
【专题】应用题；整体思想；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．
【答案】（1）（i）0；（ii）证明见解析；
（2）f（x）＝x2+x．
【分析】（1）（i）令x＝0，代入数值计算即可；
（ii）结合题设，分别证明当x≥0和x＜0时成立即可；
（2）设g（x）＝f（x）﹣x2，结合题设可得g（x+y）＝g（x）+g（y），满足柯西函数方程，进而得到g（x）＝mx，其中m＝g（1），可得f（x）＝x2+mx，再结合f（1）＝2即可求得m＝1，进而得到答案．
【解答】解：（1）（i）由题意，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）＝af（x），
令x＝0，得f（0）＝af（0），
由于a＞0，因此f（0）＝0．
（ii）证明：令a＝x，因为a＞0，因此x＞0，因此f（x2）＝xf（x），
假设当x≥0时，f（x）＝kx（k∈R），因此f（x2）＝kx2，
而xf（x）＝x kx＝kx2，因此f（x2）＝xf（x），因此f（x）＝kx成立；
令a＝﹣x，因为a＞0，因此x＜0，f（﹣x2）＝﹣xf（x），
假设当x＜0时，f（x）＝hx（h∈R），因此f（﹣x2）＝﹣hx2，
而﹣xf（x）＝﹣x hx＝﹣hx2，因此f（﹣x2）＝﹣xf（x），因此f（x）＝hx成立；
由（i）知，f（0）＝0，
成立．
（2）由f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，设g（x）＝f（x）﹣x2，
因此g（x+y）＝f（x+y）﹣（x+y）2＝f（x）+f（y）+2xy﹣x2﹣2xy﹣y2
＝f（x）﹣x2+f（y）﹣y2＝g（x）+g（y），
即g（x+y）＝g（x）+g（y），
满足柯西函数方程，因此g（x）＝mx，其中m＝g（1），
因此f（x）＝x2+mx，
因为f（1）＝2，因此1+m＝2，因此m＝1，
因此f（x）＝x2+x．
【点评】本题考查分段函数的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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