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第五章 三角函数
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浙江月考）已知函数在上有定义，则的值不可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2．（2024秋 湖北期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 广州二模）已知，，则tanθ＝（　　）
A． B． C．2 D．3
4．（2025 金凤区校级一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（）上单调递增，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025 福建校级模拟）设函数f（x）＝cos（x+φ），其中|φ|．若 x∈R，都有f（x）＝f（x）．则y＝f（x）的图象与直线yx﹣1的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025 新高考Ⅱ）已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2025春 仁寿县校级期末）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移a（a＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于y轴对称，则a的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 碑林区校级模拟）如图，将绘有函数f（x）＝Msin（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为．则φ＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．（2025 广东模拟）为得到函数的图象，只需要将函数y＝2sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
10．（2024秋 仓山区校级期末）记函数f（x）＝sinxcos2xsin3x在区间的极值点分别为α1，α2（α1＜α2），函数g（x）＝x（2x﹣1）（4x﹣3）的极值点分别为β1，β2（β1＜β2），则（　　）
A． B．f（αi）＝g（βi）（i＝1，2）
C．f（α2）≤f（x）≤f（α1） D．
11．（2024秋 赤坎区校级期末）下列等式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2025春 广东期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）在上单调递增
C．是奇函数
D．将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
三．填空题（共4小题）
13．（2025秋 冀州区校级月考）函数恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在上单调递增，则ω＝ 　 　 ．
14．（2025春 兴义市校级期中）已知，，，，则cos（2α+β）＝　 　 ．
15．（2025春 石景山区校级期中）已知函数的最小正周期为π，则下列结论中正确的有 　 　 ．
①函数f（x）的图象关于直线对称；
②函数f（x）的对称中心是；
③函数f（x）在区间上单调递增；
④函数f（x）的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．
16．（2025春 成都校级期中）已知函数在y轴上的截距为，若函数f（x）在区间内有零点，无极值点，则ω的取值范围是 　 　 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2025秋 江西月考）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到g（x）的图象．若g（x）的图象关于直线对称，求φ的最小值．
18．（2025春 会泽县期末）已知函数．．
（1）求f（x）的对称中心的坐标；
（2）若对 x1，x2∈R成立，求n的取值范围；
（3）设函数，求g（x）的值域．
19．（2025春 凉州区校级期中）（1）已知函数，．
（i）h（x）＝g（x）+3cosx，先将h（x）的图像向右平移个单位长度，再将其横坐标变为原来的4倍，求得到函数的单调递减区间和最小正周期T；
（ii）若x是第一象限角，求的最小值．
（2）已知值不为0的函数f（x），其定义域为M，且0∈M．定义如下： x，y∈M，有f（x+y）＝sinxf（x）+cosyf（y），求在这样的f（x）的值域中，最多有几个元素．
20．（2024秋 盐津县期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中：
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过85m的时长；
（3）若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，（座舱编号沿顺时针依次编号）求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）
参考数据：，．
第五章 三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 浙江月考）已知函数在上有定义，则的值不可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】正切函数的单调性和周期性．
【专题】分类讨论；整体思想；转化法；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】通过分析正切函数定义域的限制，将区间对应到的范围，分“左侧避开”和“右侧避开”两种情况，结合正切函数单调性与取值范围，判断的可能值．
【解答】解：函数（ω＞0）在上有定义，
说明对任意，（k∈Z）．
计算，
记，
当时，的范围是，该区间需避开，k∈Z，
情况1：区间在左侧，
此时需满足，
即，
所以，
解得；
代入θ，得（当时，），
又因为正切函数在单调递增，
故，
计算得，，
因此，
又因为2∈（，2]，
所以2可能成立；
情况2：区间在右侧，
此时需满足且（避开），
即且，
解得．
此时，
又因为正切函数在内取负值，
故tanθ∈（﹣∞，0），
例如，当ω＝2时，，；
当ω增大时，θ可进入的左侧，tanθ可取更小负值（如﹣4、﹣2等），
又因为﹣4、﹣2在此范围内，
所以2、4可能成立，
分析，
若tanθ＝4，则θ＝arctan4+kπ，k∈Z，
因arctan4≈1.3258（弧度），
而（情况1中θ的最大值），
故，不满足情况1的θ范围，
若考虑情况2，时，tanθ＝4，
则需，
但此时会超出（违反定义域要求），
故不可能成立．
故选：D．
【点评】本题主要考查正切函数的定义域、单调性及取值范围，分类讨论思想的应用，属于中档题．
2．（2024秋 湖北期末）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】A
【分析】由函数解析式求出函数周期，由x的范围可得的范围，再由题意列关于ω的不等式组求解．
【解答】解：由，可得函数的周期为．
由，得．
由函数在区间上有且仅有一个零点，
得，且，即ω≤3，且，
当k＝0时，得，解得；
当k＝1时，得，解得；
当k＝2时，得，此不等式无解．
综上所述，实数ω的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查正弦型函数的图象与性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
3．（2025 广州二模）已知，，则tanθ＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用三角函数关系式的变换求出三角函数的值．
【解答】解：已知，，
解得（负值舍去），
故．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2025 金凤区校级一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（）上单调递增，则ω的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】根据平移规则可得g（x）的解析式，再由正弦函数的单调性得出对应不等式可得结果．
【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，
由题可得，
因为ω＞0，所以当时，，且，
因为g（x）在单调递增，所以，
又ω＞0，解得．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2025 福建校级模拟）设函数f（x）＝cos（x+φ），其中|φ|．若 x∈R，都有f（x）＝f（x）．则y＝f（x）的图象与直线yx﹣1的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】余弦函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】C
【分析】利用给定条件求出，再作出图像求解交点个数即可．
【解答】解：由题意，函数f（x）＝cos（x+φ），其中|φ|，对 x∈R，都有，
可得是y＝f（x）的一条对称轴，
可得，
又由于，
可得，
可得，
在平面直角坐标系中画出与的图象，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
如图所示，可知f（x）的图象与直线的交点个数为3，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
6．（2025 新高考Ⅱ）已知0＜α＜π，cos，则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知，利用平方关系求出sin，再求出sinα，cosα，然后将sin（）展开，将前面的值代入即可．
【解答】解：因为0＜α＜π，cos，
所以，所以sin，
所以，即，
所以sin，cosα，
则sin（α）cos．
故选：D．
【点评】本题考查平方关系，两角和与差的正弦公式等，属于中档题．
7．（2025春 仁寿县校级期末）将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向左平移a（a＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于y轴对称，则a的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】A
【分析】首先利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的g（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：f（x）＝sinx2sin（x），把函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，故得到y＝2sin（2x）的图象，再将所得曲线上所有的点向左平移a个单位长度，
得到函数g（x）＝2sin（2x+2a）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，故（k∈Z），整理得a（k∈Z），
当k＝0时，a的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2025 碑林区校级模拟）如图，将绘有函数f（x）＝Msin（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为．则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E，利用周期求AE，利用余弦定理求BE，然后由勾股定理求出M，根据图象过点即可得解．
【解答】解：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E，
连接AB，BE，则，
由余弦定理得，
由上可知，x轴垂直于BD，DE，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以x轴垂直于平面BDE，
又AE∥x轴，
所以AE⊥平面BDE，
因为BE 平面BDE，
所以AE⊥BE，
因为f（x）的周期，
所以AE＝CD＝3，
由勾股定理得3M2+9＝15，解得，
由图知，f（x）的图象过点，且在递减区间内，
所以，即，
因为0＜φ＜π，点在递减区间内，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦定理，线面垂直的判定和性质，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2025 广东模拟）为得到函数的图象，只需要将函数y＝2sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象变换的知识确定正确答案．
【解答】解：为得到函数的图象，只需要将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
或向右平移个单位，得到的图象．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：函数图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2024秋 仓山区校级期末）记函数f（x）＝sinxcos2xsin3x在区间的极值点分别为α1，α2（α1＜α2），函数g（x）＝x（2x﹣1）（4x﹣3）的极值点分别为β1，β2（β1＜β2），则（　　）
A． B．f（αi）＝g（βi）（i＝1，2）
C．f（α2）≤f（x）≤f（α1） D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】选项A：根据导数可得β1，β2为方程24x2﹣20x+3＝）的两个根，进而可得；
选项B：f（x）＝8sin6x﹣10sin4x+3sin2x，根据换元设t＝sin2x得h（t）＝8t3﹣10t2+3t，与g（x）＝8x3﹣10x2+3x解析式相同，进而可判断；
选项C：由可判断；
选项D：根据先求出，，根据不等式的性质进而可得．
【解答】解：选项A：g（x）＝x（2x﹣1）（4x﹣3）＝8x3﹣10x2+3x，g'（x）＝24x2﹣20x+3，
故由题意可知β1，β2为方程24x2﹣20x+3＝0的两个根，故，A正确；
选项B：f（x）＝sinxcos2xsin3x＝sinx（1﹣2sin2x）（3sinx﹣4sin3x）＝8sin6x﹣10sin4x+3sin2x，
设t＝sin2x，因，则t∈（0，1），
此时函数y＝f（x）可化为h（t）＝8t3﹣10t2+3t，
由题意此函数的极值点分别为β1，β2（β1＜β2），
当时，函数t＝sin2x单调递增，故，，
故f（α1）＝g（β1），f（α2）＝g（β2），故B正确；
选项C：由24x2﹣20x+3＝0，解得，，，
由题意函数f（x）在（0，α1）上单调递增，在（α1，α2）上单调递减，在上单调递增，
而，故 ，f（x0）＞f（α1），故C错误；
选项D：由A可知，，，
因，故，即，
故，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
11．（2024秋 赤坎区校级期末）下列等式成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．
【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用公式对每个选项进行三角恒等变换，计算结果，即可判断．
【解答】解：因为cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°，A项正确；
，B项正确；
，C项错误；
，D项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查三角恒等变换，属于中档题．
12．（2025春 广东期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）在上单调递增
C．是奇函数
D．将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ACD
【分析】利用三角函数图象求出函数f（x）的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项．
【解答】解：由图象可得，A＝2，函数f（x）的最小正周期为，
故，
则，可得，
因为，
则，
解得，
所以，
对于A选项，因为，
所以直线为函数f（x）的一条对称轴，故A正确；
对于B选项，当时，，
所以函数f（x）在上不单调，故B错误；
对于C选项，为奇函数，故C正确；
对于D选项，因为，
由题意，将f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
得到函数的图象，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025秋 冀州区校级月考）函数恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在上单调递增，则ω＝ 　　 ．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；分类法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】利用正弦函数最值得出，可得，由于f（x）在上单调递增，可得，解出0＜|ω|≤2，分0＜ω≤2和﹣2≤ω≤0，根据f（x）在上单调性进行讨论，得出ω值．
【解答】解：由已知恒有f（x）≤f（2π），可得f（2π）＝2，可得，
可得，可得，
已知f（x）在上单调递增，
可得，可得，解得0＜|ω|≤2，
当0＜ω≤2时，
由于，可得，
由题意得，
可得，所以，解得，可得，
当﹣2≤ω≤0时，因为，所以，
取，
可得，
由于，可得，故f（x）在上单调递减，不满足题意，
同理可得不满足题意．
综上可得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
14．（2025春 兴义市校级期中）已知，，，，则cos（2α+β）＝　　 ．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】根据同角三角函数基本关系求得sin2α、cosβ的值，再利用余弦和角公式可计算cos（2α+β）的值．
【解答】解：已知，，，，
得，所以，
由，，得，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的值的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15．（2025春 石景山区校级期中）已知函数的最小正周期为π，则下列结论中正确的有 　①④　 ．
①函数f（x）的图象关于直线对称；
②函数f（x）的对称中心是；
③函数f（x）在区间上单调递增；
④函数f（x）的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到．
【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；复合三角函数的单调性；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】①④．
【分析】根据二倍角公式、辅助角公式和求得ω＝1，进而，利用正弦函数的图象与性质，结合命题依次判断即可．
【解答】解：，
又f（x）的最小正周期为π，所以，由ω＞0解得ω＝1，
所以．
对于①：，
所以是f（x）图象的一条对称轴，故①正确；
对于②：由，解得，
所以函数f（x）的对称中心是，故②错误；
对于③：由，得，
所以f（x）图象在上先增后减，故③错误；
对于④：图象向右平移个单位长度，
得，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质，是中档题．
16．（2025春 成都校级期中）已知函数在y轴上的截距为，若函数f（x）在区间内有零点，无极值点，则ω的取值范围是 　　 ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】．
【分析】先根据在y轴上的截距得到方程，求出，进而由得到，根据有零点，无极值点，得到不等式，求出答案．
【解答】解：由题意知，则，结合，得，
所以．
当时，，
因为函数f（x）在区间内有零点，无极值点，
所以，
解得，
当k＝0时，；
当k≤﹣1时，，所以，此时k不存在，
当k≥1时，，所以，此时k不存在，
所以ω的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题综合考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025秋 江西月考）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到g（x）的图象．若g（x）的图象关于直线对称，求φ的最小值．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1），k∈Z；
（2）．
【分析】（1）由已知可得：f（x），令，k∈Z，然后求解即可；
（2）由已知可得：g（x），结合题意有，k∈Z，然后求解即可．
【解答】解：（1）已知函数，
则f（x）＝cos2x+sinxcosx
，
令，k∈Z，
则，k∈Z，
即f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
（2）把f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到g（x）的图象，
则，
又g（x）的图象关于直线对称，
则，k∈Z，
即，k∈Z，
又φ＞0，
则φ的最小值为．
【点评】本题考查了诱导公式及三角函数的性质，重点考查了三角函数图象的变换，属中档题．
18．（2025春 会泽县期末）已知函数．．
（1）求f（x）的对称中心的坐标；
（2）若对 x1，x2∈R成立，求n的取值范围；
（3）设函数，求g（x）的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的奇偶性和对称性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）；
（3）当m≤﹣4时，g（x）的值域为：[3m+3，m﹣1]；
当﹣4＜m＜﹣2时，g（x）的值域为：；
当﹣2≤m＜0时，g（x）的值域为：；
当m≥0时，g（x）的值域为：[m﹣1，3m+3]．
【分析】（1）由，利用进行求解；
（2）转化为进行求解；
（3），令，则g（x）＝4sin2t+2msint+m﹣1，由，可得，令μ＝sint∈[0，1]，得h（μ）＝4μ2+2mμ+m﹣1，对称轴方程为：，进行分类讨论求解函数的单调性进行求解．
【解答】解：（1）因为函数，
所以，
令，得，
所以f（x）的对称中心的坐标为：；
（2）因为，x∈R，
而，
所以
即﹣1≤f（x）≤3，
若对 x1，x2∈R成立，
则，可得|3﹣（﹣1）|≤2n2﹣6n﹣4，
即n2﹣3n﹣4≥0，
得n≥4，或n≤﹣1，
故n的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）；
（3）因为
，
令，得，
则
＝1﹣2cos2t+2msint+m
＝1﹣2（1﹣2sin2t）+2msint+m
＝4sin2t+2msint+m﹣1，
因为，所以，
得sint∈[0，1]，
令μ＝sint∈[0，1]，
得h（μ）＝4μ2+2mμ+m﹣1，
对称轴方程为：，
当，即m≥0，得函数h（μ）在[0，1]上单调递增，
而h（0）＝m﹣1，h（1）＝3m+3，
得h（μ）∈[m﹣1，3m+3]，
当，即﹣2≤m＜0，得函数h（μ）在上单调递减，在上单调递增，
且h（1）＞h（0）
而，
得．
当，即﹣4＜m＜﹣2，得函数h（μ）在上单调递减，在上单调递增，
且h（0）＞h（1），
而，
得．
当，即m≤﹣4，得函数h（μ）在[0，1]上单调递减，
而h（0）＝m﹣1，h（1）＝3m+3，得h（μ）∈[3m+3，m﹣1]，
综上知：
当m≤﹣4时，g（x）的值域为：[3m+3，m﹣1]；
当﹣4＜m＜﹣2时，g（x）的值域为：；
当﹣2≤m＜0时，g（x）的值域为：；
当m≥0时，g（x）的值域为：[m﹣1，3m+3]．
【点评】本题考查三角函数图象与性质的应用，属于中档题．
19．（2025春 凉州区校级期中）（1）已知函数，．
（i）h（x）＝g（x）+3cosx，先将h（x）的图像向右平移个单位长度，再将其横坐标变为原来的4倍，求得到函数的单调递减区间和最小正周期T；
（ii）若x是第一象限角，求的最小值．
（2）已知值不为0的函数f（x），其定义域为M，且0∈M．定义如下： x，y∈M，有f（x+y）＝sinxf（x）+cosyf（y），求在这样的f（x）的值域中，最多有几个元素．
【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；不等式的解法及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）（i）答案见解析；（ii）；
（2）1．
【分析】（1）先化简f（x），g（x）解析式，（i）由图象平移求新函数解析式，并求单调区间与周期，注意定义域；（ii）结合整体换元与几何意义，转化为求x轴上点P（t，0）到两点，距离之和的最小值，利用对称可解；
（2）分别赋值x＝0，y＝0，结合f（x）≠0，分析f（x）解析式与定义域，再代值可得．
【解答】解：（1）已知函数，
所以：；
；
（i）由于，
所以，
则h（x）的图像向右平移个单位长度得函数
；
再横坐标变为原来的4倍得函数
，，
由解得，k∈Z，
又，则，
故所得函数的单调递减区间，k∈Z；
且最小正周期为4π．
（ii）．
若x是第一象限角，令t＝cosx，则0＜t＜1，
则转化为求函数的最小值．
则．
则根据几何意义，φ（t）表示P（t，0）到与两点的距离之和的倍，
如图，可先求x轴上点P（t，0）到两点，距离之和的最小值，
作点B关于x轴的对称点，
则
（当A，P，B1三点共线时等号成立，此时满足0＜t＜1）；
故．
即的最小值为．
（2） x，y∈M，有f（x+y）＝sinxf（x）+cosyf（y），
由0∈M，则可令y＝0，可得f（x）＝sinxf（x）+f（0），
则（1﹣sinx）f（x）＝f（0），
若sinx＝1，则f（0）＝0，这与已知矛盾，故sinx≠1，
即，设f（0）＝a（a≠0），
则，；
再令x＝0，任意y∈M，都有f（y）＝f（y）cosy恒成立，
由f（y）≠0，故cosy＝1，解得y＝2kπ．
即定义域M必为{x|x＝2kπ，k∈Z}或其子集．
由，
故值域中仅含1个元素a（a≠0），即最多1个元素．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，函数的性质，不等式的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 盐津县期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为10m，转盘半径为50m，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．在运行一周的过程中：
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过85m的时长；
（3）若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，（座舱编号沿顺时针依次编号）求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）
参考数据：，．
【考点】三角函数应用．
【专题】应用题；转化思想；分析法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1），0≤t≤30；
（2）10min；
（3）26m．
【分析】（1）根据题意得旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出H与t的函数关系；
（2）令H（t）＞85，得，求解三角不等式可得；
（3）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算H1和H2，化简高度差函数h（t），根据t的取值范围，结合三角恒等变换化简得，利用三角函数性质即可求最值．
【解答】解：（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
设t＝0min时，游客甲位于点P（0，﹣50），以OP为终边的角为，
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，
由题意可得，0≤t≤30．
（2）在运行一周的过程中，由0≤t≤30，则，
令，可得，
则，解得10＜t＜20．
所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过85m的时长为10min．
（3）由甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，
如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，
不妨设点B相对于A始终落后，
则，
经过tmin后，甲距离地面的高度为，
点B相对于A始终落后，
此时乙距离地面的高度，
则甲、乙高度差，
利用，
可得，0≤t≤30，
当或，即或，
所以，
则将参考数据，代入，
得hmax≈25×1.41×0.73＝25.7352≈26m，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为26m．
【点评】本题考查三角函数的实际应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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