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第三章 圆锥曲线的方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 江西月考）已知点M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A（1，1）．若C的焦点为F，且|MA|+|MF|的最小值为2，则 p＝（　　）
A．2或 B． C． D．2
2．（2024秋 武汉月考）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线．已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P（x，y）满足|PF1| |PF2|＝4，设P的轨迹为曲线C，则下列结论不正确的是（　　）
A．C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．
C．△PF1F2的面积大于2
D．|y|≤1
3．（2025秋 武汉月考）实数a、b、c、d满足cd＝a2+b2＝2，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 合肥校级模拟）已知双曲线C，A为C的左顶点，抛物线y2＝16ax的准线与x轴交于B．若在C的渐近线上存在点P，使得∠APB＝90°，则C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为（　　）
A．6x+6y﹣7＝0 B．6x﹣6y﹣1＝0
C．2x﹣6y﹣5＝0 D．12x﹣6y﹣5＝0
6．（2025 陆丰市校级三模）在平面直角坐标系xOy中，曲线的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．20
7．（2024秋 衡水期末）已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是（　　）
A．9x+4y﹣13＝0 B．9x﹣4y+13＝0
C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0
8．（2025 固始县校级模拟）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆C：的焦点在x轴上，A、B为椭圆上任意两点，动点P在直线上．若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 辽宁月考）已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P是它们的一个公共点，且在圆x2+y2＝1上，椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．椭圆C1的方程为
C．△PF1F2的面积为
D．△PF1F2的周长为
10．（2025 五华区模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，动点P在抛物线C上，|PF|的最小值为4．若直线AB过点F交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点为G，现分别过点A，B作抛物线的两条切线，两条切线交于点M，下列说法正确的是（　　）
A．p＝4
B．若|AB|＝18，则点G的纵坐标为5
C．若线段MG的中点为H，则点H的轨迹是抛物线
D．△AMB底边AB上的高线恒过定点
11．（2024秋 昆明校级期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过点A作C的切线，交准线于点P，交x轴于点Q，下列说法正确的有（　　）
A．|QF|＝|AF| B．直线QB与C也相切
C．PA⊥PB D．若，则|AF|＝4
12．（2025 广州模拟）如图，半径为1的动圆C沿着圆O：x2+y2＝1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点P（a，b）形成的外旋轮线Γ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点P与点A（1，0）重合．以下说法正确的有（　　）
A．曲线Γ上存在到原点的距离超过的点
B．点（1，2）在曲线Γ上
C．曲线T与直线有两个交点
D．
三．填空题（共5小题）
13．（2025 榆次区校级学业考试）已知椭圆的两个焦点为F1，F2．点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，△PF2Q的面积，则C的离心率的取值范围为 　 　 ．
14．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线的焦点为F1，则抛物线C1的准线方程为 　 　 ；抛物线16x的焦点为F2，若直线y＝m（m≠0）分别与C1，C2交于P，Q两点，且|PF1|﹣|QF2|＝3，则m＝ 　 　 ．
15．（2024秋 江西校级期末）设F1，F2为双曲线的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为 　 　 ．
16．（2024秋 东胜区校级期末）已知点P（﹣2，1）是抛物线C：x2＝2py上的一点，点F是C的焦点，动点M，N在C上，且PM⊥PN，则|MF|+|NF|的最小值为 　 　 ．
17．（2025 浦东新区校级模拟）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 　 　 ．
四．解答题（共3小题）
18．（2025秋 江西月考）已知椭圆的离心率为，四边形ABCD的顶点都在E上，A（0，2）．直线AB，CD的斜率都是．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线AD，BC的斜率之积为定值．
19．（2024秋 武汉月考）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，当线段AB的长为6时，弦AB的中点到y轴的距离是2．
（1）求C的方程；
（2）已知D为C上一点，C的准线交x轴于点E．
①若D位于第一象限，且，求证：DE与C相切；
②若D异于坐标原点O，I是△DOF的内心，求△IOF面积的最大值．
20．（2024秋 环县校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
第三章 圆锥曲线的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 江西月考）已知点M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A（1，1）．若C的焦点为F，且|MA|+|MF|的最小值为2，则 p＝（　　）
A．2或 B． C． D．2
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】分别按照点A，F在C的同一侧和不同侧，结合抛物线定义求解即可．
【解答】解：若点A，F在C的同一侧，从点M向C的准线作垂线，垂足为N，
则|MA|+|MF|＝|MA|+|MN|≥|AN|（当M，N，A共线时取等号），
令，得p＝2，经检验满足题意；
若点A，F在C的两侧，则|MA|+|MF|（当M在线段AF上时取等号），
解得（负值舍去），
此时点A，F在C的同一侧，矛盾，
所以p＝2．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线方程与定义的应用，属于中档题．
2．（2024秋 武汉月考）天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线．已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），动点P（x，y）满足|PF1| |PF2|＝4，设P的轨迹为曲线C，则下列结论不正确的是（　　）
A．C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．
C．△PF1F2的面积大于2
D．|y|≤1
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】C
【分析】A项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；
B项结合曲线方程特征消元转化进行判断即可；
D项根据方程特征求得P纵坐标的范围，C项结合三角形面积公式及P的纵坐标的范围进行判断即可．
【解答】解：因为动点P（x，y）满足|PF1| |PF2|＝4，
所以P的轨迹方程为：，
对于选项A：P（x，y）关于x轴对称的点P1（x，﹣y）的横、纵坐标满足
，
同理P（x，y）关于y轴对称的点P2（﹣x，y），关于原点对称的点P3（﹣x，﹣y）均满足轨迹方程，
，
，
即P的轨迹关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称，故选项A正确；
对于选项B：将轨迹方程，
平方整理得，
解得，
所以，即，故选项B正确；
对于选项D：因为，故|y|≤1，故选项D正确；
对于选项C：因为，当且仅当x2＝3，y2＝1时取得最大值，故选项C错误．
故选：C．
【点评】本题考查曲线方程的应用，属于中档题．
3．（2025秋 武汉月考）实数a、b、c、d满足cd＝a2+b2＝2，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由条件可得点P（a，b）为圆x2+y2＝2上的一点，点Q（c，d）是曲线上的一点，|PQ|2＝（a﹣c）2+（b﹣d）2，结合关系|PQ|+|OP|≥|OQ|和基本不等式求|PQ|的最小值，由此可得结论．
【解答】解：已知a2+b2＝2，则点P（a，b）为圆x2+y2＝2上的一点，
又cd＝2，可知点Q（c，d）是曲线上的一点，
所以|PQ|2＝（a﹣c）2+（b﹣d）2，
如图：
因为|PQ|+|OP|≥|OQ|，O为原点，，
所以，当且仅当P为线段OQ与圆x2+y2＝2的交点时取等号，
又cd＝2，故，当且仅当或时等号成立，
所以，当且仅当或时等号成立，
所以，当且仅当，或时等号成立，
所以当，或时，|PQ|取最小值，最小值为，
则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
4．（2025 合肥校级模拟）已知双曲线C，A为C的左顶点，抛物线y2＝16ax的准线与x轴交于B．若在C的渐近线上存在点P，使得∠APB＝90°，则C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】根据圆和直线的位置关系列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：抛物线y2＝16ax的准线与x轴交于B，则B（﹣4a，0），
设AB的中点为D，A（﹣a，0），则，
在C的渐近线上存在点P，使得，
即以为圆心，半径为的圆与渐近线bx﹣ay＝0有公共点，
所以，5b≤3c，25b2≤9c2，
，
所以，
即C的离心率的取值范围是（1，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的离心率，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为（　　）
A．6x+6y﹣7＝0 B．6x﹣6y﹣1＝0
C．2x﹣6y﹣5＝0 D．12x﹣6y﹣5＝0
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的中点弦．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝2x，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，
显然直线l不垂直于y，设直线l的方程为，
由，
消去x得，
由弦AB的中点为，
得，
此时方程有两个不等实根，
所以直线l的方程为，
即直线l的方程为12x﹣6y﹣5＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
6．（2025 陆丰市校级三模）在平面直角坐标系xOy中，曲线的周长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．20
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维．
【答案】D
【分析】曲线的图形关于x轴、y轴对称，我们可以先分析第一象限的情况，然后根据对称性求出整个曲线的周长．
【解答】解：在第一象限中，x＞0，y＞0，曲线方程可化为，即y＝3．
它与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，3）．
根据两点间距离公式d，
在第一象限中，该直线段的两个端点为（4，0）和（0，3），
则此线段的长度为，
因为曲线关于x轴、y轴对称，所以整个曲线是由四个这样长度为5的线段组成．
那么曲线的周长为4×5＝20．
故选：D．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
7．（2024秋 衡水期末）已知椭圆与直线l交于A，B两点，若点P（﹣1，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是（　　）
A．9x+4y﹣13＝0 B．9x﹣4y+13＝0
C．4x﹣9y+13＝0 D．4x﹣9y+3＝0
【考点】椭圆的中点弦．
【专题】综合题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】设点A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程相减整理后得：4（y1+y2）（y1﹣y2）+9（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，利用P为AB中点，结合斜率公式，整理得直线l的斜率，即可求出直线l的方程．
【解答】解：设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则由点P（﹣1，1）为线段AB的中点，得x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2①，
又 ②， ③，
由②﹣③，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）+9（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，
将①代入上式，化简得kl，
所以直线l的方程为：，
即9x﹣4y+13＝0．
故选：B．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，点差法的应用，属于中档题．
8．（2025 固始县校级模拟）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆C：的焦点在x轴上，A、B为椭圆上任意两点，动点P在直线上．若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与椭圆的综合；求椭圆的离心率．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】由题意，可得直线，所围成矩形的外接圆x2+y2＝3+m即为椭圆的蒙日圆，结合∠APB恒为锐角，推出直线与圆x2+y2＝3+m相离，代入公式再求解即可．
【解答】解：易知m＞3，
因为直线，都与椭圆相切，
所以直线，所围成矩形的外接圆x2+y2＝3+m即为椭圆的蒙日圆，
因为A，B两点均在椭圆上，
若∠APB恒为锐角，
此时点P在圆x2+y2＝3+m外，
因为点P在直线上，
所以直线与圆x2+y2＝3+m相离，
即，
解得m＜9，
则，
解得，
所以椭圆C的离心率的取值范围为．
故选：B．
【点评】本题考查求椭圆的离心率，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．（2024秋 辽宁月考）已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），点P是它们的一个公共点，且在圆x2+y2＝1上，椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．椭圆C1的方程为
C．△PF1F2的面积为
D．△PF1F2的周长为
【考点】椭圆的焦点三角形；双曲线的几何特征；椭圆的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对A，设椭圆与双曲线的交点P在第一象限，根据椭圆与双曲线的定义化简可得，结合可判断；对B，由A项可知，再根据椭圆的基本量关系求解即可；对C，根据椭圆与双曲线的定义，结合求解即可；对D，根据椭圆的基本量关系判断即可．
【解答】解：A项，由题意知，设焦距为2c，则c＝1．
设椭圆C1的长轴长为2a1，短轴长为2b1，双曲线C2的实轴长为2a2，虚轴长为2b2，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第一象限，
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|＝2a1，
则，
由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
则，
由两式相加化简得，
因为点P在圆x2+y2＝1上，
所以PF1⊥PF2，
所以，
则，
则，
又，
解得，，
故A项正确；
B项，由A项可知，
解得，
则，
所以椭圆C1的方程为，
故B项正确；
C项，由|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
则，
则4|PF1||PF2|，
所以△PF1F2的面积S，
故C项正确；
D项，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a1+2c＝2，
故D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
10．（2025 五华区模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，动点P在抛物线C上，|PF|的最小值为4．若直线AB过点F交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点为G，现分别过点A，B作抛物线的两条切线，两条切线交于点M，下列说法正确的是（　　）
A．p＝4
B．若|AB|＝18，则点G的纵坐标为5
C．若线段MG的中点为H，则点H的轨迹是抛物线
D．△AMB底边AB上的高线恒过定点
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由题意，列出等式求出p的值，进而可判断选项A；利用抛物线的定义以及中点坐标公式即可判断选项B；得到两条切线方程，求出点M的坐标，结合点G的坐标求出点H的坐标，进而可判断选项C；根据直线AB的斜率求出底边AB上的高所在直线斜率，得到直线方程，进而可判断选项D．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
对于选项A：因为|PF|的最小值为4，
所以，
解得p＝8，
则抛物线C的标准方程为x2＝16y，故选项A错误；
对于选项B：因为|AB|＝y1+y2+8＝18，
所以y1+y2＝10＝2yG，
所以yG＝5，故选项B正确；
对于选项C：因为切线，，
所以，
即2p（x1﹣x2）y＝x1x2（x1﹣x2），
解得，
因为弦AB的中点为G，
所以，
即，
因为，，
所以，
因为点H在抛物线x2＝16y上，
所以点H的轨迹是抛物线，故选项C正确；
对于选项D：因为，
所以底边AB上的高所在直线斜率，
所以高线所在直线方程为，
即，
此时直线恒过定点（0，4），故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
11．（2024秋 昆明校级期末）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，过点A作C的切线，交准线于点P，交x轴于点Q，下列说法正确的有（　　）
A．|QF|＝|AF| B．直线QB与C也相切
C．PA⊥PB D．若，则|AF|＝4
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据过A点切线与x轴交点坐标判断A，根据过B点切线与x轴交点坐标判断B，根据斜率之积判断C，在等腰三角形中得出，解出A点坐标判断D．
【解答】解：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，
则F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
不妨设点A在第一象限，且A（x1，y1），B（x2，y2），
因为，
所以，
则有点A处的切线方程为：，
即y1y＝2（x+x1），
又过点A作C的切线，交准线于点P，交x轴于点Q，
令y＝0，
于是Q（﹣x1，0），
则|QF|＝x1+1＝|AF|，
选项A正确；
同理：点B处的切线方程为：y2y＝2（x+x2），交x轴于（﹣x2，0），
当x1＝x2时直线QB才是抛物线C的切线，否则直线QB不是抛物线C的切线，
故B错误；
设直线AB的方程为：x＝ty+1（t≠0），
由，
可得y2﹣4ty﹣4＝0，
又A（x1，y1），B（x2，y2），
所以y1y2＝﹣4，
则，
所以PA⊥PB，
故C正确；
由A可知，△FAQ为等腰三角形，且，
于是，
则，
又，
解得x1＝3，
则|AF|＝3+1＝4，
选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．
12．（2025 广州模拟）如图，半径为1的动圆C沿着圆O：x2+y2＝1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点P（a，b）形成的外旋轮线Γ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点P与点A（1，0）重合．以下说法正确的有（　　）
A．曲线Γ上存在到原点的距离超过的点
B．点（1，2）在曲线Γ上
C．曲线T与直线有两个交点
D．
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】先根据几何性质求解动点P的轨迹方程，
A项，由两点间距离公式及三角函数有界性可得；
B项，由点（1，2），利用参数方程解方程组可得；
C项，联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数；
D项，由b2＝4（1+cosθ）（1﹣cosθ）3，利用均值不等式可得．
【解答】解：设⊙O与⊙C切于M点，则O，C始终关于点M对称，
所以当切点M绕O逆时针转动θ弧度时，致使点P绕圆心C也转了θ弧度，θ∈[0，2π），
如图，连接OC，所以∠AOM＝∠MCP＝θ，延长CP与x轴交于R点，过C作CD⊥x轴于点D，
，所以．OC＝2，PC＝1，
所以，
，
则P（2cosθ﹣cos2θ，2sinθ﹣sin2θ），
即曲线Γ的参数方程为，θ为参数，θ∈[0，2π），
对于A，，
所以Γ上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若（1，2）在T上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，所以P（1，2）在曲线T上，故B正确；
对于C，由，将曲线Γ的参数方程代入得：2cosθ﹣cos2θ+2sinθ﹣sin2θ0，
即，
所以，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，|b|＝|2sinθ﹣sin2θ|＝|2sinθ（1﹣cosθ），b2＝4sin2θ（1﹣cosθ）2＝4（1+cosθ）（1﹣cosθ）3
，，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查圆的方程的应用，属于难题．
三．填空题（共5小题）
13．（2025 榆次区校级学业考试）已知椭圆的两个焦点为F1，F2．点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，△PF2Q的面积，则C的离心率的取值范围为 　　 ．
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形PF1QF2为矩形，进而有四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn，再根据椭圆定义、勾股定理求PF1 PF2即可，列出不等式，转化求解离心率的范围即可．
【解答】解：因为P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，
所以四边形PF1QF2为矩形，并且c≥b，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝m+n＝2a，
所以m2+2mn+n2＝4a2，
因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2），
所以mn＝2b2，
因为四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝2b2，
△PF2Q的面积，可得b2，
2（a2﹣c2）≥c2，
可得，
又c≥b，可得c2≥a2﹣c2，可得e，
所以e∈．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．
14．（2024秋 朝阳校级期末）已知抛物线的焦点为F1，则抛物线C1的准线方程为 x＝﹣1　 ；抛物线16x的焦点为F2，若直线y＝m（m≠0）分别与C1，C2交于P，Q两点，且|PF1|﹣|QF2|＝3，则m＝ 　　 ．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的方程及抛物线的定义求解．
【解答】解：已知抛物线的焦点为F1，
则F1（1，0），抛物线C1的准线方程为x＝﹣1．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则|PF1|＝x1+1，|QF2|＝x2+4，
故|PF1|﹣|QF2|＝x1﹣x2﹣3＝3，
所以x1﹣x2＝6，
所以，
解得．
故答案为：x＝﹣1；．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
15．（2024秋 江西校级期末）设F1，F2为双曲线的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为 　3　 ．
【考点】双曲线的焦点三角形．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】3．
【分析】设PF1|＝x，|PF2|＝y（x＞y），利用双曲线定义可得x﹣y＝2a，又由勾股定理得x2+y2＝（2c）2，联立求得xy即得三角形的面积．
【解答】解：由可知，，，c＝3，
不妨设|PF1|＝x，|PF2|＝y（x＞y），
则由定义，
因为∠F1PF2＝90°，
所以x2+y2＝（2c）2＝36，
所以2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝12，
解得：xy＝6，
故△F1PF2的面积为．
故答案为：3．
【点评】本题考查了椭圆的性质的综合应用，属于中档题．
16．（2024秋 东胜区校级期末）已知点P（﹣2，1）是抛物线C：x2＝2py上的一点，点F是C的焦点，动点M，N在C上，且PM⊥PN，则|MF|+|NF|的最小值为 　11　 ．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】11．
【分析】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案．
【解答】解：如图，
因为点P（﹣2，1）是抛物线C：x2＝2py上的一点，
所以（﹣2）2＝2p，解得p＝2，所以F（0，1），
显然直线PM的斜率存在且不为0，设直线PM的方程为y﹣1＝k（x+2），
联立，化简得x2﹣4kx﹣8k﹣4＝0，
所以﹣2xM＝﹣8k﹣4，解得：xM＝4k+2，
所以，
同理可得，
所以11，
当且仅当，即时，等号成立，
即|MF|+|NF|的最小值为11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
17．（2025 浦东新区校级模拟）已知椭圆，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆离心率为 　　 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；求椭圆的离心率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出|PF1|＝2c，利用椭圆定义即可得出离心率．
【解答】解：椭圆，左焦点F，
设椭圆右焦点为F1，连接PF1，ME，如下图所示：
由圆M：可知圆心M（0，0），半径；
显然，|MF|＝c，过左焦点F作直线l与圆相切于点E，可知EM⊥EF，
因此可得，可得∠EFM＝30°，∴；
即可得，|FF1|＝2c；
在△PFF1中，由余弦定理可得，
解得|PF1|＝2c，
又，即，
因此离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
四．解答题（共3小题）
18．（2025秋 江西月考）已知椭圆的离心率为，四边形ABCD的顶点都在E上，A（0，2）．直线AB，CD的斜率都是．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线AD，BC的斜率之积为定值．
【考点】求椭圆的离心率；椭圆的定点及定值问题．
【专题】转化思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】（1）1；
（2）因为直线AB，CD的斜率都是，
由（1）可得，
舍直线AB的方程为yx+2，
联立，整理可得：（x2x）＝0，
解得x＝0或x＝3，
可得B（3，0），
设直线CD的方程为：yx+t，设C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，整理可得：8x2﹣12tx+9t2﹣36＝0，
Δ＝122t2﹣4×8（9t2﹣36）＞0，即﹣2t＜2，且x1+x2，x1x2，
可得kAD kBC ．
所以直线AD，BC的斜率之积为定值．
【分析】（1）由离心率的值及点A的坐标可得a，b的值，求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得直线AB，CD的斜率为，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得点B的坐标，设直线CD的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线AD，BC的斜率之积的不等式，整理可得其乘积为定值．
【解答】解：（1）由题意可得，
可得a2＝9，
所以该椭圆的方程为：1；
（2）证明：因为直线AB，CD的斜率都是，
由（1）可得，
舍直线AB的方程为yx+2，
联立，整理可得：（x2x）＝0，
解得x＝0或x＝3，
可得B（3，0），
设直线CD的方程为：yx+t，设C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，整理可得：8x2﹣12tx+9t2﹣36＝0，
Δ＝122t2﹣4×8（9t2﹣36）＞0，即﹣2t＜2，且x1+x2，x1x2，
可得kAD kBC ．
即直线AD，BC的斜率之积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
19．（2024秋 武汉月考）已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过F的直线与C交于A，B两点，当线段AB的长为6时，弦AB的中点到y轴的距离是2．
（1）求C的方程；
（2）已知D为C上一点，C的准线交x轴于点E．
①若D位于第一象限，且，求证：DE与C相切；
②若D异于坐标原点O，I是△DOF的内心，求△IOF面积的最大值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）①证明：由（1）知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，E（﹣1，0）．
过点D作准线x＝﹣1的垂线，垂足为K，
此时|DK|＝|DF|，
因为，
所以，
则△DKE为等腰直角三角形，
所以∠DEF＝∠EDK＝45°，
可得直线DE的方程为y＝x+1，
联立，消去y并整理得x2﹣2x+1＝0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4＝0，
所以直线DE与抛物线C相切；
②．
【分析】（1）根据题意求出p的值即可得到结果；
（2）①根据条件可求出直线DE的方程为y＝x+1，与抛物线方程联立利用判别式等于0可证明结论；
②利用内心的性质找到面积之间的关系，表示出△IOF的面积，利用函数求导分析单调性可求出最大值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
此时弦AB的中点坐标为，
当线段AB的长为6时，弦AB的中点到y轴的距离是2，
即|AB|＝x1+x2+p＝6，，
所以p＝2，
则抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）①证明：由（1）知，抛物线的准线方程为x＝﹣1，E（﹣1，0）．
过点D作准线x＝﹣1的垂线，垂足为K，
此时|DK|＝|DF|，
因为，
所以，
则△DKE为等腰直角三角形，
所以∠DEF＝∠EDK＝45°，
可得直线DE的方程为y＝x+1，
联立，消去y并整理得x2﹣2x+1＝0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4＝0，
所以直线DE与抛物线C相切；
②设D（m，n），m＞0，n＞0，
因为点D在抛物线上，
所以n2＝4m，
又|OF|＝1，，，，
设△DOF内切圆的半径为r，
此时点I到△DOF三边的距离均为r，
所以，
则S△IOF：S△IFD：S△IDO＝|OF|：|DF|：|OD|，
所以，
设，
可得，
设g（x）＝f′（x），函数定义域为（0，+∞），
可得则，
所以f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以．
此时△IOF面积有最大值，最大值为．
【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 环县校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可得a＝b，ca，求得|BC|，由三角形的面积公式计算可得a，可得双曲线的方程；
（2）联立直线l的方程和双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得P，Q的坐标，可得|PQ|，计算可得所求范围．
【解答】解：（1）因为双曲线E：（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，
可得a＝b，设双曲线的焦距为2c，c＞0，
故c2＝a2+b2＝2a2，即ca，
因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，
将xB＝ca代入双曲线的方程可得|yB|＝a，故|BC|＝2a，
又三角形的面积为1，即|BC| |AF|2a×（a+c）＝1，
解得a＝1，
故双曲线的方程为x2﹣y2＝1；
（2）由题意可得直线l：y＝kx﹣1与双曲线的左右两支交于M，N两点，
联立，可得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0，
所以1﹣k2≠0，Δ＝（2k）2﹣4（1﹣k2）（﹣2）＞0，解得k，且0，k≠±1，
则﹣1＜k＜1，
且xM+xN，xMxN，
所以|MN||xM﹣xN|
，
联立可得xP，同理可得xQ，
所以|PQ||xP﹣xQ| ||，
所以，其中﹣1＜k＜1，
所以∈（1，]．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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