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黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学2025-2026学年
九年级（上）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.正比例函数的图象经过的象限是( )
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限
4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围( )
A. ，且 B. ，且 C. D.
5.如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是( )
A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺
6.如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳两条尺长和相等可测量零件的内孔直径如果：：，且量得，则零件的厚度为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
8.如图，在矩形中，，点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为，则第个矩形的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，为斜边上的中点，动点从点出发，沿运动，如图所示，设，点运动的路程为，若与之间的函数图象如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数中，自变量的取值范围为______．
12.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上点在点的左侧，且，则点所表示的数为______
13.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，若，则的值为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过、两点，若，则______填“”“”“”
15.如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接、、、，若，四边形的面积为，则的长为______．
16.如图，一次函数与正比例函数交于，则关于的不等式的解集为______．
17.现定义一个新运算“”，规定对于任意实数，，都有，则的值为 ．
18.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为，高度为，书架宽为，则的长______．
19.在中，，边上的高，，则的长为 ．
20.如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；；其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
解方程：
；
．
22.本小题分
如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为．
画出以为对角线的正方形，点、在小正方形的顶点上；
画以为底边的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为，连接，请直接写出长．
23.本小题分
如图，函数与的图象相交于点．
求的值；
求面积．
24.本小题分
在平行四边形中，点、在上，且，连接、．
如图，求证：．
如图，连接，，在不添加任何辅助线条件下，请直接写出图中所有与四边形面积相等的三角形．
25.本小题分
为迎接德强中学办学三十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同．
求该文化衫每次降价的百分率；
若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？
26.本小题分
在矩形中，点在边上，点在边上，连接，，且，．
如图求证：；
如图点为线段上一点，连接，作交，分别于点和点且，求证：∽；
如图在的条件下，若，，求的长．
27.本小题分
如图，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，且，
求直线的函数解析式；
点是射线上一个动点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，连接，设的面积为，求与的函数关系；
在的条件下，连接，若，求的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.或
20.
21.，
．
．
，．
．
，
，即．
．
，．
22.如图，正方形即为所求；
如图，即为所求．．
23.由条件可得，
，
把代入，
得：，
解得；
令，
解得：，
，
，
．
24.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
≌，
；
解：≌，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，，，，
与四边形面积相等的三角形有：，，，．
25.设该文化衫每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该文化衫每次降价的百分率为；
设要售出件，总利润才能不低于元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少要售出件，总利润才能不低于元．
26.证明：在矩形中，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽；
解：设，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
≌，
，，，
，，，
，，
，
，
作于，如图，
，
平分，
，
依题意得：，
解得：，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为．
27.已知函数与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，且，
当时，得：，
解得：；
当时，得：，
，，
，，
，
，
点在轴正半轴上，
，
设直线的函数解析式为，将点，点的坐标分别代入得：
，
解得：，
直线的函数解析式为；
根据题意可知，，，且，
，，
，
，
当时，点在点的位置，，
当时，，也满足此式，
当时，，
与的函数关系为；
，
，
，
，
作于点，则，，
，
，
，
点，在轴上，点是射线上一个动点，
，
，
∽，
，
，，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
或，
当时，，
当时，，
．
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