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2.2用配方法求解一元二次方程培优提升训练2024-2025学年北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若是方程的一个根，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
3．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
5．已知一元二次方程可配成，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
6．小多和小晓一起解方程组（a、b为常数），小多看错了上面一个方程，得到方程组的解，小晓看错了下面一个方程，得到方程组的解，则一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的方程的根为b，则的值为（ ）
A．5 B． C．4或 D．5或
8．若满足，，则的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．一元二次方程的解是 ．
10．多项式的最小值是 ．
11．将一元二次方程配方成的形式，则的值为 ．
12．已知方程，则 ．
三、解答题
13．用配方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
14．先阅读内容，再解决问题：
若，求和的值．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)已知，求的值；
(2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由．
15．（1）若． _______， _______．
（2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______．
（3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？
16．配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．
解：
当时，的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题：
【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60．
【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ；
（3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值．
17．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________；
(2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
(3)已知实数x、y满足，求的最值．
18．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
∴当时，代数式有最小值．
【直接应用】
（1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值；
【拓展应用】
（2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；
②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．4
11．7
12．4
三、解答题
13．【解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
14．【解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：是等腰三角形，理由，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴是等腰三角形．
15．【解】解：（1），
，；
故答案为：；
（2），
当时，代数式有最小值，最小值是；
故答案为：；
（3）解：由题意得：，则，
∴,
∵,
∴,
∴,
∴当时，有最大值，最大值为4．
即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为．
16．【解】解：（1）由于②，
所以②是完美数，
故答案为：②；
（2）由，
可配方成，
，，
，
故答案为：9；
（3），理由如下：
，
要使为“完美数”，
则需为完全平方式，
故，
此时，符合“完美数”定义，
；
（4），
，
，
，
当时，的最小值为2025．
17．【解】（1）由题意得：；
（2）当时，S为“完美数”，理由如下：
，
∵，为整数，
∴，也是整数，
∴当时，S为“完美数”；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为．
18．【解】解：（1），
，
，
当时，代数式有最小值1．
（2）①由题意可得：鸡场的长为，
则鸡场的面积：．
②，
∵，
∴，
当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是．
∵，，
∴最大面积是符合题意．

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