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第四章 一次函数 同步练习
一、单选题
1．点和点在直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，则下列对k和b的符号判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线经过点，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线（是常数，且）经过点和点，且，则的值可以是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
5．将一次函数向上平移2个单位，得到一次函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数与的图象在同一直角坐标系中，位置关系是（ ）
A．相交 B．互相垂直 C．平行 D．无法确定
7．一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如表关系：设该商品的销售价格为x元，销售量为y件，估计当时，y的值为（ ）
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
A．63 B．59 C．53 D．43
9．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．如图，直线与x轴、y轴交于A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当移动到与全等时，移动的时间t是（ ）
A．2秒 B．4秒 C．2秒或4秒 D．2秒或6秒
二、填空题
11．已知一次函数，点，为函数图像上两点，则a与b的大小关系为a b．（填）
12．当时，一次函数有最大值4，则负整数m的值为 ．
13．小华用元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是元，小华购买了支黑色签字笔，剩余费用为元，则与之间的关系式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴相交于点，与轴相交于点，过点的直线与轴相交于点，以为斜边在下方作等腰，则点坐标为 ．
15．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为，，，．直线经过点，则 ；若直线在绕点P旋转的过程中，同时与边、边有公共点，则b的取值范围是 ．
三、解答题
16．关于的函数．
(1)和取何值时是关于的一次函数；
(2)和取何值时是关于的正比例函数．
17．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请你解决相关问题：
(1)在函数中，自变量的取值范围是______．
(2)与的几组对应值如表：
0 1 2 3 4
0 1 2 3 2 1
①______；
②若，为该函数图象上不同的两点，则______．
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
①该函数有______（填“最大值”或“最小值”）；这个值是______；
②求出函数图象在第二象限内与坐标轴所围成的图形的面积；
③观察函数的图象，写出该函数的两条性质．
18．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，．
(1)请求出点的坐标；
(2)将沿轴向左平移，当点落在直线上时，求线段扫过的面积．
19．随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示．
(1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）；
(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
20．一次函数（为常数，且）分别与轴，轴交于两点，点是一次函数图象上一动点，设点的横坐标为．
(1)若点的纵坐标为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，如图1，将一次函数的图象向下平移，交轴于点，交轴于点，连接交x轴于点，过作轴于点，当时，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)如图2，过点作轴于点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交y轴于点，记的面积为，的面积为，点在运动过程中，当是的中点且时，求点的坐标．
《第四章 一次函数 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D B C C C C D
1．B
【分析】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质．根据直线系数，可知y随x的增大而增大，根据即可判断结论．
【详解】解：点和点在直线上，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据图象与y轴的负半轴相交判断出b的符号．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴；
∵图象与y轴的负半轴相交，
∴．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可．
【详解】解：∵，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据函数的图象经过点和点，且，得到随的增大而减小，因此，即可解答．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和点，且，
∴在一次函数中，随的增大而减小，
，
∴的值可以是．
故选：D．
5．B
【分析】根据一次函数图象平移规律“上加下减”（向上平移个单位，函数表达式整体加 ），对原函数进行平移，再判断选项．本题主要考查一次函数图象的平移规律，熟练掌握“上加下减”（针对的值）的平移原则是解题的关键．
【详解】解： 一次函数向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在的值上加上，
平移后的解析式为
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质．根据一次函数的k值相同，得出函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行．
【详解】解：函数与中k值相同，
∴函数与的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的一次项系数和常数项判断图象的位置是解题的关键．根据一次函数的一次项系数和常数项来判断图象的位置即可．
【详解】解：，
随着x的增大而减小，
，
一次函数与y轴交于正半轴，
一次函数的图象在一、二、四象限．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，由图表可以看出y与x符合一次函数关系，利用待定系数法求出y与x的函数关系式，再代入计算即可得解，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．
【详解】解：由图表可以看出y与x符合一次函数关系，
设，
把，和，代入得，
解得，
则，
当时，，
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求．
【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示：
，
在和中
∴，
∴，
∵点，
∴
∴，
由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，
，
∴,
在中，，利用勾股定理得
，
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质；由直线的函数解析式，令求A点坐标，求 B点坐标，根据题意可知，，分为两种情况：①当M在上时，②当M在的延长线上时，再结合全等三角形性质计算即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当时，；
当时，，
∴，
∴，
∴必有，
分为两种情况：
①当M在上时，，
∴，
动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ∴，
②当M在的延长线上时，，
则，
此时所需要的时间秒，
故选：D．
11．
【分析】本题考查一次函数图像的性质，根据一次项系数的正负判断函数的增减性，即可求解．
【详解】解：中，
y随x的增大而减小，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意，对的正负进行分类讨论，再结合一次函数的最大值为4进行计算即可，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：由题知，当，即时，此时随着的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值为，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则，
当，即时，此时随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为，即，
解得（不符合题意，舍去）或，
则，
综上所述，负整数m的值为，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题关键．
根据题意，表示出剩余钱数，即可获得答案．
【详解】解：根据题意得，与之间的关系式为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形定义，过点作轴，交轴于，交过点与轴平行的直线于，则，由直线的解析式为，当时，，则有，然后证明，所以，设，然后通过两点间的距离即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴，交轴于，交过点与轴平行的直线于，则，
由直线的解析式为，当时，，
∴，
∵为斜边在下方作等腰，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，根据图象上点的坐标满足函数解析式，可得关于k，b的方程，根据直线与，同时有交点，可得直线过B点，D点，根据待定系数法，可得函数解析式，可得答案．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
∴；
∵直线在绕点P旋转的过程中，同时与边、边有公共点，
∴直线过B点b值最小，过D点b值最大，
将，代入函数解析式，得，
解得，
将，代入函数解析式，得，
解得，
所以，直线在绕点P旋转的过程中，同时与边、边有公共点，则b的取值范围是b，
故答案为：，．
16．(1)，为任意实数
(2)，
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系．
（1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可；
（2）根据正比例函数的解析式完成即可．
【详解】（1）解：由一次函数的意义知，
解得：．
当，为任意实数时，函数是关于的一次函数．
（2）解：由正比例函数的意义知，
解得：，．
当，时，函数是关于的正比例函数．
17．(1)任意实数
(2)①0；②
(3)作图见解析，①最大值，3；②；③函数图象为轴对称图形，对称轴为轴；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质等知识点，正确利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据解析式即可求解自变量的取值范围；
（2）将代入解析式即可求解；将代入解析式即可求解；
（3）先利用描点作出图象，即可由图象求解①③；根据三角形面积公式即可求解②．
【详解】（1）解：函数中，自变量的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：①；
②当时，，
解得：或（舍）；
故答案为：①0；②；
（3）解：画出函数图象如下图所示：
①该函数有最大值，这个值是3；
故答案为：最大值，3；
②由图知，函数图象与轴负半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，因此函数图象在第二象限内与坐标轴所围成的三角形的面积为；
③由图象可知函数有如下性质：
函数图象为轴对称图形，对称轴为轴；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据点A，C坐标得到，即可根据勾股定理求出，得到点的坐标；
（2）由平移规律得到点，代入，求出点的坐标为，．连接，线段扫过的区域是和的面积之和，由此得到答案
【详解】（1）解： 点，点，，，，
，点的坐标为．
（2）设点平移后在直线上的坐标为点，
将点代入，得，
解得，
点的坐标为，．
如图，连接，线段扫过的区域是和的面积之和，
线段扫过的面积为．
19．(1)麦克
(2)米/秒，；
(3)
(4)秒
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合图象分析即可得解；
（2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解；
（3）利用待定系数法计算即可得解；
（4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象；
（2）解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒），
提速后速度为（米／秒）．
段经过的时间为（秒），
；
安安警官的速度为（米／秒），
；
（3）解：由题意得点，点．
设线段所在直线的函数解析式为，
将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：，
解得，
即线段所在直线的函数解析式为；
（4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒．
由题意得线段所在直线的函数解析式为，
当时，，当时，．
当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，，
解得；
当安安警官在麦克警官前方120米时，，
解得；
当安安警官在麦克警官后方120米时，，
解得；
当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，，
解得．
安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）．
20．(1)
(2)是定值，为
(3)
【分析】（1）根据题意可得，求出即可；
（2）先求直线的解析式为，则，再求直线的解析式为，则，分别求出，可得；
（3）过点作轴，过点作于，过点作于，可证明，求出），再由是的中点，求出，从而确定各点坐标，最后由，求出即可求点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）∵点的纵坐标为2，
∴，
解得；
（2）为定值，理由如下：
∵轴于点
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线的解析式为，
代入得，
∴为，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令，求得，
∴，
∴，
一次函数中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴，
解得，
∴

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