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专题1.3有理数数形结合解“最值”问题2025-2026学年人教版七年级数学上册
1．（2025·新编·云南）如图，图中数轴的单位长度为1，如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？哪两点之间的距离最大？这个最大距离是多少？
2．（2025·新编·云南）如图，数轴的单位长度为1．
(1)如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数为________；
(2)如果点B，E表示的数互为相反数．
①点D到原点的距离为________；
②哪一个点表示的数的绝对值最小？
3．（2025·新编·云南）已知若为一个有理数，则．
(1)填空：当时，________；当时，________；
(2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？
4．（2025·新编·云南）
定义：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题：
(1)若，则x的值为______；
(2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______；
(3)当______时，的值最小，最小值为______；
(4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？
5．（2025·新编·云南）
定义：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：
(1)求_________；
(2)若，求的值；
(3)同样道理表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有__________个；
(4)设，当______时的值最小．
6．（2025·新编·云南）
定义：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)如图，先在数轴上画出表示2.5的相反数点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B表示的数是______，点C表示的数是______，B，C两点之间的距离是______．
(2)数轴上分别表示x与的两点F和D之间的距离可表示为______，如果F，D两点之间的距离为3，那么______．
(3)若点E表示的数为y，则当______时，与的值相等；
(4)要使||取得最小值，相应的z的取值范围是______．
(5)当　　时，的值最小，最小值是______．
7．（2025·新编·云南）
定义：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于．
参考阅读材料，解答下列问题．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
【问题探究】
（3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：；
（4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围；
【实际应用】
（5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值；
（6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母）
8．（2025·新编·云南）
定义：数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
(1)如图1，①到5的距离是________；②x到的距离是________（用绝对值表示）；③若点P在点B右侧，化简________；④由图可知，的最小值是________；
(2)请按照（1）问的方法思考：求的最小值是多少？
(3)如下图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小．
①汇合地点M的位置是________；
A．在E，F之间 B．在F，G之间 C．在G，H之间
②所有小朋友从小区门口到汇合地点的程之和的最小值是________．
9．（2025·新编·云南）
材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ．
材料2：求的最小值．
分析：
根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可．
问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值．
10．（2025·新编·云南）
观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究：
你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：
①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
11．（2025·新编·云南）
（1）探索材料（填空）：
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；
①数轴上表示数3和的两点距离为 ；
②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．
（2）实际应用（填空）：
①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小．
（3）结论应用（填空）；
①代数式的最小值是 ；
②代数式的最小值是 ；
③代数式的最小值是 ．
12．（2025·新编·云南）
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(1)表示和2两点之间的距离是_______；
(2)如果表示数a和的两点之间的距离是2，那么_______；
(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是______．
(4)当_____时，的值最小，最小值是______．
(5)若x表示一个有理数，求的最小值并求出这时x的值．
《专题1.3有理数数形结合解“最值”问题2025-2026学年人教版七年级数学上册》参考答案
1．
【详解】解：∵点B、E表示的数是互为相反数
∴点C表示的数为0，点D表示的数为，
，
的绝对值是0为最小，
点表示的数绝对值最小．
从图上可以看到，D、B（或B、D）之间距离最大，最大距离为9.
2．
【详解】（1）解：根据题意得，
∵点B，C表示的数的绝对值相等，即点B，C到原点的距离相等，有，
∴点C表示，
∴点A表示，
故答案为：；
（2）解：①根据题意得，
∵点B，E表示的数互为相反数，即点B，E到原点的距离相等，有，
∴点E表示，点B表示4，
∴点A表示，点C表示0，点D表示，
∴，
∴点D到原点的距离为5，
故答案为5；
②，
∴点C表示的数的绝对值最小．
3．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（2）解：∵若为一个有理数，则，
∴，
∴当时，有最小值，
∴当时，的值最小，的最小值为．
4．
【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，
∵
∴当在的左边时，则；
∴当在的右边时，则；
则的值为：1或；
故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或；
（2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，
当取最小值时，则在和1之间，
当时，即当可以取整数，，，0，1；
的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差，
当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4；
当在的左边时，则，
∴最大值为4；
故答案为：，，，0，1；4．
（3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，
当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7，
∴最小值为7；
故答案为：，7；
（4）解：设菜鸟驿站在处，
根据题意可得，运输距离为：，
的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离，
由（2）得，在之间才能取最小值，
∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．
∴当时，取得最小值，
则，
∴此时最低成本12（元），
菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元．
5．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得：；
（3）解：∵表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离，而与两数在数轴上所对的两点之间的距离为，，
∴，
∴，，，，，，，，共个整数，
故答案为：；
（4）解：根据题意得，当时，最小，
∴，
故答案为：．
6．
【详解】（1）解：如图，
点与点即为所求，点表示的数是，点表示的数是1，
，两点之间的距离是，
故答案为：，1，3.5；
（2）由题意得和之间的距离可表示为，
，两点之间的距离为3，
，
解得：或2，
故答案为：，或2；
（3）与的值相等，则所对应的点到的距离，与所对应的点与2所对应的点的距离相等，
可得，
，
故答案为：；
（4）要使取得最小值，则所对应的点在所对应的点和2所对应的点之间（包含端点），
的取值范围是．
（5）表示在数轴上点 所对应的点分别与 1，，4 所对应的点的距离之和．
当时，的值最小，最小值为9，
当时，的值最小，最小值为0，
所以当时，的值最小，
最小值为9．
故答案为：1，9．
7．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是；
（3），
；
（4）①如图1，当时，，
②如图2，当时，，
③如图3，当时，，
∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是；
（5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和，
∴当时，取最小值，且最小值为：
；
（6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即．
8．
【详解】（1）解：①到5的距离是；
②x到的距离是（用绝对值表示）；
③若点P在点B右侧，化简；
④由图可知，
当时，的最小，
原式，
则的最小值是3；
故答案为：；；；3；
（2）解：的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，
当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离，
的最小值为5；
（3）解：①如图2，

以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，
当满足时，该距离之和最小，
汇合地点的位置在F，G之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，
故选：B；
②由题意得
，
最小值为．
故答案为：．
9．
【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为，
故答案为：；
（2）①，
由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4；
故答案为：、4．
②当x的值取在不小于且不大于3的范围时，
即，
整理得，
所以这个最小值是；
同理，当时
，
即最小值是；
故答案为：4；不小于0且不大于2；2；
（3）
根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为．
10．
【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是，
故答案为：；
②数轴上表示和的两点之间的距离是，
故答案为：；
③数轴上表示和2的两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）①，
解得：；
②∵数轴上表示数m的点位于与4之间，
∴，
∴ ；
③，表示点到三点的距离和，
∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
11．
【详解】解：（1）①；
故答案为：4；
②，
的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离；
故答案为：，；
（2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边；
当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度；
当点在点和点之间时，的长度等于的长度．
当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小．
故答案为：点、点之间；
②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度；
当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度．
材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小；
故答案为：点；
③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度；
当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度；
材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小；
故答案为：点、点之间；
（3）①，
在点和4之间．代数式的最小值；
故答案为：7；
②，
时．代数式的最小值；
故答案为：8；
③，
在2和之间，代数式的最小值；
12．
【详解】（1）解：，
∴表示和2两点之间的距离是．
故答案为：
（2）解：∵表示数a和的两点之间的距离是2，
∴，
∴或，
解得：或．
故答案为：或0
（3）解：当时，原方程为，
解得：（舍去）；
当时，原方程为，成立；
当时，原方程为，
解得：（舍去）；
故满足的整数为：，，0，1，2，3，4，5，
这些数的和为．
故答案为：12
（4）解：当时，原式；
当时，原式，这时；
当时，原式；
当时，原式；
故当时，的值最小，最小值是8，
故答案为：1，8
（5）解：由（4）可得，当时，的值最小，
∴
．
∴表示的有理数在时，有最小值．

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