资源简介

2.2 圆 的 对 称 性 ( 1 )
【学习目标】
1. 利用圆的旋转不变性探索圆心角、弧、弦之间的关系；
2. 证明圆心角、弧、弦之间的相等关系，并运用解决相关问题. 【学习过程】
问题1: 圆具有怎样的对称性 如何验证
问题2: 联系上述操作，圆的相关元素之间具有怎样的关系
追问：如何刻画弧的度数
数学认识：
例 1 如 图 ，AB、AC、BC 是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC. ∠ABC与∠BAC相等吗 为什么
当堂练习
1. 如图，在⊙O中， =,∠ACB=60°.求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
2. 如图，在⊙O中，= , ∠AOB=50° . 求∠COD 的度数.
3. 如图，在⊙O中，AB 是弦，C 、D是圆上两点，= , 半径OC、OD 与AB 分别交于E、F两点，求证CE=DF
*4 . 如图，AB 、CD是⊙O 的两条弦，AB//CD. AC与BD相等吗
课后作业
1..如图，AB 、CD是⊙O 的两条弦.
(1)已知AB=CD, 那么 , ;
(2)已知=,那么 ， ；
(
_
)(3)已知∠AOB=∠COD,那么 ·
(
第1题
)第2(1)题 第2(3)题
2.填空题：
(1)如图，若弦AB把⊙O的周长分成2:7两部分，则∠AOB= ° ;
( 2 ) 在 ⊙O 中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 °.
(3)如图，在△ABC 中，∠C=90°,∠B=28°, 以点C为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D, 交BC 于点
E. 则 的度数为 , 的度数为
3.选择题：
(1)某同学期中考试总分480分，其中数学80分，若用扇形统计图表示各学科分数比例，则数学所占扇形 圆心角为( ).
A.30° B.45° C.60° D.90°
(2)如图，点A 、C在⊙O上，∠AOC=120°, 是 AC的中点，四边形ABCO是
( ).
A. 梯形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
4. 如图，AB 是⊙O的直径，==,∠BOC=40° . 求AE度数.
5. 如图 ，在⊙O中，AO是半径,AB、AC 是 弦 ，且AB=AC.点 O 在∠BAC的平分线上吗 为什么
6.如图 ，AB是⊙O 的 直 径 ，OD//AC. 与 的大小有什么关系 为什么
7.如图，的的长度是 长度的2倍.弦AB 的长度是弦CD 长度的2倍吗 动手量一量，并说明其中的道理
例1
结论：∠ABC = ∠BAC。
理由：
∵∠AOC = ∠BOC（已知），
∴弧AC = 弧BC（在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。
∴弦AC = 弦BC（在同圆中，相等的弧所对的弦相等）。
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC = ∠BAC（等边对等角）。
当堂练习
1. 证明∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明：
∵弧AB = 弧AC（已知），
∴AB = AC（等弧对等弦）。
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB = BC = AC。
∴弧AB = 弧BC = 弧AC（等弦对等弧）。
∴∠AOB = ∠BOC = ∠AOC（等弧对等圆心角）。
2. 求∠COD的度数
解：
∵弧AC = 弧BD（已知），
∴弧AC + 弧BC = 弧BD + 弧BC（等式性质），
即弧AB = 弧CD。
∴∠AOB = ∠COD（等弧对等圆心角）。
∵∠AOB = 50°（已知），
∴∠COD = 50°。
3. 求证CE=DF
证明：
∵弧AC = 弧BD（已知），
∴∠AOC = ∠BOD（等弧对等圆心角）。
∵OA = OB（半径相等），
∴△OAB是等腰三角形，∠OAB = ∠OBA（等边对等角）。
在△OAE和△OBF中：
∠OAE = ∠OBF（已证），
OA = OB（半径相等），
∠AOE = ∠BOF（公共角），
∴△OAE ≌ △OBF（ASA），
∴OE = OF（全等三角形对应边相等）。
∵OC = OD（半径相等），
∴OC - OE = OD - OF（等式性质），
即CE = DF。
4. 判断AC与BD是否相等
结论：AC = BD。
理由：
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N。
∵AB//CD，∴OM = ON（平行线间的距离相等）。
∴AB = CD（在同圆中，弦心距相等则弦相等）。
∴弧AB = 弧CD（等弦对等弧）。
∴弧AB + 弧BC = 弧CD + 弧BC（等式性质），
即弧AC = 弧BD。
∴AC = BD（等弧对等弦）。
课后作业
1. 填空题
（1）已知AB=CD，那么 弧AB = 弧CD，∠AOB = ∠COD；
（2）已知AB=CD，那么 弧AB = 弧CD，∠AOB = ∠COD；
（3）已知∠AOB=∠COD，那么 弧AB = 弧CD，AB = CD。
2. 填空题
（1）80°。
解析：弦AB分圆周长为2:7，总份数=2+7=9，
∠AOB = 360°×(2/9) = 80°。
（2）60°。
解析：弦AB = 半径OA = OB，
∴△OAB是等边三角形，∠AOB = 60°。
（3）弧AD的度数为56°，弧DE的度数为34°。
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=62°。
∵CA=CD（半径），
∴△CAD是等腰三角形，∠CDA=∠A=62°，
∠ACD=180°-2×62°=56°，即弧AD的度数=56°。
∠DCE=90°-56°=34°，即弧DE的度数=34°。
3. 选择题
（1）C. 60°。
解析：数学占比=80/480=1/6，
圆心角=360°×(1/6)=60°。
（2）C. 菱形。
解析：∵B是弧AC中点，∴弧AB=弧BC，
∴∠AOB=∠COB=60°（∠AOC=120°）。
∵OA=OB=OC，
∴△OAB和△OBC均为等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
4. 求AE的度数
解：
∵AB是直径，∴∠AOB=180°。
∵弧BC=弧CD=弧DE，∠BOC=40°，
∴弧BC=弧CD=弧DE=40°，
弧AE=180°-3×40°=60°，
∴AE的度数为60°（弧的度数等于所对圆心角的度数）。
5. 判断点O是否在∠BAC的平分线上
结论：点O在∠BAC的平分线上。
理由：
∵AB=AC（已知），
∴弧AB=弧AC（等弦对等弧），
∴∠AOB=∠AOC（等弧对等圆心角）。
在△OAB和△OAC中：
OA=OA（公共边），
∠AOB=∠AOC（已证），
OB=OC（半径相等），
∴△OAB≌△OAC（SAS），
∴∠OAB=∠OAC（全等三角形对应角相等），
即OA平分∠BAC，∴点O在∠BAC的平分线上。
6. 判断弧CD与弧BD的大小关系
结论：弧CD = 弧BD。
理由：
∵OD//AC（已知），
∴∠A = ∠BOD（同位角相等），
∠C = ∠COD（内错角相等）。
∵OA=OC（半径相等），
∴∠A=∠C（等边对等角），
∴∠BOD=∠COD（等量代换），
∴弧BD=弧CD（等圆心角对等弧）。
7. 判断弦AB是否为弦CD的2倍
结论：弦AB的长度不是弦CD的2倍。
理由：
取弧AB的中点E，连接AE、BE，可得弧AE=弧BE=弧CD
∴AE=BE=CD

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