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2025-2026学年湖南省益阳一中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 .已知复数 = 1 ，则复数 的模为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 0
2.关于向量 ， ，下列命题中，正确的是( )
A.若| | = | |，则 = B.若 // ， // ，则 //
C.若| | > | |，则 > D.若 = ，则 //
3.已知 sin( + 6 ) = 2 ，则 2 =( )
A. 33 B. 3 C. 3 D. 2 3
4.某工厂利用随机数表对生产的 50 个零件进行抽样测试，先将 50 个零件进行编号，编号分别为 01，
02，…，50.从中抽取 6 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 2 行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第 1 行第 6 列开始向右依次读取数据，则得到的第 6 个样本编号是( )
A. 57 B. 50 C. 40 D. 10
5.已知点 (1,0,0)， (1,0,2)， (1,1,1)，则点 到直线 的距离是( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
6.在正四面体 中， ， 分别是棱 ， 中点，则直线 与 所成角的正弦值为( )
A. 5 B. 3 C. 2 D. 63 3 3 3
7.如图，在△ 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作直线分别交 ， 于点 ， ，且 = , =
1 1
，则 + 的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 2
8.小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办
公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上
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1 3
班和下班时下雨的概率均为4，不下雨的概率均为4，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么
连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为( )
A. 3 B. 15 C. 3916 128 128 D.
81
256
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( )在[ 2 , 4 ]上单调递减
C. 11 直线 = 12 为 ( )的一条对称轴
D.若 ( + ) 为偶函数，则 = 2 + 12， ∈
10.有一组互不相等的数组成的样本数据 1， 2，…， 9，其平均数为 ( ≠ , = 1,2, …, 9)，若插入一个数
，得到一组新的数据，则( )
A.两组样本数据的平均数相同 B.两组样本数据的中位数相同
C.两组样本数据的方差相同 D.两组样本数据的极差相同
11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1上一点，且 1 = 2 ， 为正方形 1 1 内一
动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )
A.若 1 //
2
平面 1 ，则动点 的轨迹是一条长为 2 的线段
B.不存在点 ，便得 1 ⊥平面 1
C. 5三棱锥 1 的最大体积为18
D. 6若 1 = 2 且 1 与平面
1
1 所成的角最大时，三棱锥 1 的体积为9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知单位向量 ， 的夹角为 45°， 与 垂直，则 =______．
13.已知正四棱台的高为 2，上、下底面边长分别为 2 和 4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
______．
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14.直线 + 1 = 0( > 0, > 0) 2 2 1经过函数 ( ) = 3( 4 ) 2 + 1 图象的对称中心，则 +
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知关于 的方程 2 3 3 = 0( ∈ )的两个虚数根为 1， 2．
(1)求| 1|的取值范围；
(2)若| 1 2| = 1，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
△ 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 + 3 = 0．
(1)求 的大小；
(2)若 边的中线为 , = 72 , = 6，求 边上的高的大小．
17.(本小题 15 分)
某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了 200 名学生的数学成绩，
将成绩分为[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，共 6 组，得到如图所示的频率
分布直方图．
(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在[90,150]内的学生中抽取 13 名，则成绩在[130,150]的
同学有几个？
(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；
(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过 8%，根据样本数据，试估计获得表彰
的同学的最低分数．
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18.(本小题 17 分)
如图，四边形 与四边形 均为等腰梯形， // ， // ， = 4， = 2， = = 2，
= 11， ⊥平面 ， 为 上一点，且 ⊥ ，连接 、 、 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，定义向量 = ( , )为函数 ( ) = + 的有序相伴向量．
(1)设 ( ) = 2 ( + 6 )( ∈ )，写出函数 ( )的有序相伴向量
；
(2)若 ( )的有序相伴向量为 = (0,2)，若函数 ( ) = ( ) + | |， ∈ [0,2 ]，与直线 = 有且仅有二
个不同的交点，求实数 的取值范围；
(3)若 ( )的有序相伴向量为 = ( ,0)，当函数 ( )在区间[ , ]上时值域为[ , ]，则称区间[ , ]为函数
的“和谐区间”.当 = 2 时， ( )是否存在“和谐区间”？若存在，求出 ( )的所有“和谐区间”，若不
存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 22
13.40
14.9
15.(1)由题意知， = 9 2 + 12 < 0 4，解得： 3 < < 0，
1 + 2 = 3 ， 1 2 = 3 ，

所以| 1| = | 1|2 = 1 1 = 1 2 = 3 ，
4
又因为 3 < < 0，所以 0 < 3 < 4，
所以 0 < 3 < 2，即：0 < | 1| < 2．
所以| 1|的取值范围为(0,2)．
(2)由(1)知， 43 < < 0， 1 + 2 = 3 ， 1 2 = 3 ，
设 1 = + ， 2 = ，( , ∈ )
则 1 + 2 = 2 = 3 ，①
= 21 2 + 2 = 3 ，②
又因为| 1 2| = |2 | = 1，③
2± 3
所以由①②③得： = 3 ．
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16.(1)因为 + 3 = 0，
可得 + 3 = 0，
可得 + 3 sin( + ) = 0，
可得 3 = 0，
又 ≠ 0，
可得 3 = 1，
可得 sin( 6 ) =
1
2，
由 ∈ (0, )，可得 6 =

6，即 = 3；
(2)在△ 中， 2 = 2 + 2 2 ，
7
所以 2 = 24 + 9 3 ，解得 = 2(舍负)，
又 2 = 2 + 2 2 = 28，可得 = 2 7，
1 1
由 △ = 2 = 2 ，
1 3 1 3 21
所以2 × 6 × 2 × 2 = 2 × 2 7 ，可得 边上的高 = 7 ．
17.(1)根据题意可知，(0.0025 + 0.005 × 2 + 0.01 + + 0.015) × 20 = 1，故 = 0.0125，
采取分层抽样：[130,150] 0.005的同学个数为：0.005+0.015+0.0125 × 13 = 2；
(2)根据题意可知，众数为：100；
平均数为：40 × 0.05 + 60 × 0.1 + 80 × 0.2 + 100 × 0.3 + 120 × 0.25 + 140 × 0.1 = 98；
(3)由于成绩在[130,150]的频率为 0.1，
0.1 0.08
故最低分数预计为：130 + 0.1 × 20 = 134；
即估计获得表彰的同学的最低分数为 134 分．
18.解：(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
又 ⊥ ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
因为 // ，所以 ⊥平面 ．
(2)如图，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则 // ．
又 // ，所以四边形 是平行四边形，
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又 ⊥ ，所以四边形 是 矩形，
又四边形 为等腰梯形，且 = 4， = 2，
所以 = 1．
由(1)知 ⊥平面 ，所以 ⊥ ．
又 = 2，所以 = 1．
在 △ 中， = 2 2 = 10．
在 中，∴ = 2 2 = 3．
由上述可知， ， ， 两两垂直，以 ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空
间直角坐标系.
则 ( 1, 1,0)， (0,0,0)， (0,0,3)， ( 1,3,0)， (0,2,3)，
所以 = (1,1,0)， = (0,0,3)， = ( 1,3,0)， = (0,2,3)，
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
由 = 0
1 + 1 = 0, = (1, 1,0).

，得
= 0 1 = 0,
可取
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
由 = 0
+ 3
，得 2 2
= 0,
，可取 = (9,3, 2).
= 0 2 2 + 3 2 = 0,
因此，cos , = = 9 3 = 3 47| | | | 1+1 81+9+4 47 ．
3 47
依题意可知，平面 与平面 的夹角的余弦值为 47 ．
19.(1) ( ) = 2 ( + 3 1因为 6 ) = 2( 2 + 2 ) = 3 + ，
所以函数 ( )的有序相伴向量 = ( 3, 1)；
(2)若 ( )的有序相伴向量为 = (0,2)，则 ( ) = 2 ，
5sin( + ), ∈ [0, ]
所以 ( ) = ( ) + | | = 2 + | | = ，其中 ∈ [0, ]， = 2，
5sin( ), ∈ ( , 2 ] 2
如图所示为 ( )的草图：
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(0) = 2， ( ) = 5， ( ) = 2，
由图象可知，若函数 ( )与直线 = 有且仅有 2 个不同的交点，
则 = 5或 2 < < 2，所以 ∈ ( 2,2) ∪ { 5}；
(3) ( )有唯一“和谐区间”[ 2,2]，理由如下：
( ) = 2 ，假设 ( )存在“和谐区间”，
则由 2 ≤ ( ) ≤ 2，得 2 ≤ ≤ ≤ 2，
①若 ， ≥ 0，则由[ , ] [0, )，知 ( ) ≤ 0，与值域[ , ] [0, )矛盾，
故不存在“和谐区间”；
②同理 ， < 0 时，由[ , ] ( ，0]，知 ( ) ≥ 0，与值域[ , ] ( ，0]矛盾，
故不存在“和谐区间”；
下面讨论 ≤ 0 ≤ ，

③若 ≥ 2，则[0, 2 ] [ , ]，故 ( )的最小值为 2，于是 = 2，
所以[ 2 ,

2 ] [ , ]，所以 ( )的最大值为 2，故 = 2，
此时 ( )的定义域为[ 2,2]，值域为[ 2,2]，符合题意；
④若 0 ≤ < 2，当 ≤ 2时，同理可得 = 2

， = 2，但此时 > 2，舍去；
当 > 2时， ( )在[ , ]上单调递减，所以 = 2 ， = 2 ，
于是 + 2 = ( + 2 )，
令 ( ) = + 2 ，则有 ( ) = ( )，

又 ( ) = + 2 为奇函数，且在[ 2 , 2 ]单调递增，
所以 = ，所以 = 2 = 2 ( ) = 2

即2 =

，同一坐标系内，画出图象 = 与 = 2，如下：
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可知，当 ∈ (0, 2 )时， > 2，
所以 = 0，从而 = 0，矛盾．
综上所述， ( )有唯一“和谐区间”[ 2,2]．
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