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2025-2026学年重庆市西北狼教育联盟高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 为虚数单位，复数 = 2 5 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = ( ,1)， = (6, 2)，若 与 共线，则 =( )
A. 3 B. 13 C.
1
3 D. 3
3 .在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 3， = 2， = 3，则△ 的面积为( )
A. 32 B. 3 C. 2 3 D. 4 3
4.高一某班 10 名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.
这组数据的第 75 百分位数是( )
A. 85 B. 86 C. 85.5 D. 86.5
5.已知 ， 是两个不同的平面， ， 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为( )
A.若 ⊥ ， ∩ = ， ⊥ ，则 ⊥ B.若 ， ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 // ， // ， // ，则 //
6.如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 的中点，则直线 1 与 所成角的余弦值为( )
A. 25
B. 35
C. 13
D. 23
7.在△ 中， 是边 上的点，且 = , = 2 = 3 ，则 =( )
A. 23 B.
3
3 C.
6
6 D.
3
6
8.如图，三棱锥 的底面△ 的斜二测直观图为△ ′ ′ ′，已
知 ⊥底面 ， = 6， ′ ′ = ′ ′， ′ ′ = ′ ′ =
′ ′ = 2，则三棱锥 外接球的表面积 为( )
A. 96 B. 116
C. 136 D. 144
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二、多选题：本题共 2小题，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2)， = (4, 3)，则( )
A. | | = 5
B.若( + ) ⊥ 5，则 = 2
C. 2 3 = ( 10,13)
D. 2向量 在向量 上的投影向量为 25
10.有一组样本数据 1，2，3，4，5，现加入两个正整数 ， 构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说
法正确的是( )
A.若平均数不变，则 + = 6 B.若极差不变，则 + = 6
C.若 + = 6，则中位数不变 D.若 + = 6，则方差不变
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
11.雅言传承文明，经典浸润人生，南宁市某校每年举办“品经诵典浴书香，提雅增韵享阅读”中华经典诵
读大赛，比赛内容有三类：“诵读中国”、“诗教中国”、“笔墨中国”.已知高一、高二、高三报名人数
分别为：100 人、150 人和 250 人．现采用分层抽样的方法，从三个年级中抽取 25 人组成校代表队参加市
级比赛，则应该从高一年级学生中抽取的人数为______．
12.如图，在矩形 中， = 2， = 2 2点 为 的中点，点 在边 上，若 = 2，
则 的值是______．
13.已知锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 3， = (2 ) ，设 是△
的高，则 的范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 13 分)
已知复数 = 3 + ( ∈ )，且(1 + 3 ) 为纯虚数．
(1)求复数 ；

(2)若复数 = 62+ ，求复数 5 的模．
15.(本小题 15 分)
为增强职工身体素质，某企业鼓励职工积极参加徒步活动.为了解运动情况，企业工会从该企业职工中随机
抽取了 100 名，统计他们的日均运动步数，并得到如下频率分布直方图：
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(1)求图中 的值；
(2)估计该企业职工日均运动步数的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(3) 2若该企业恰好有5的职工的日均运动步数达到了企业制定的“优秀运动者”达标线，试估计该企业制定的
“优秀运动者”达标线．
16.(本小题 15 分)
如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 = = 2， 1和 1 交于点 ， 为 的中点．
(1)求证： / /平面 1 1；
(2)已知 1 与平面 1 1所成角为4，求点 到平面 的距离．
17.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + ( ) = 0．
(1)求角 ；
(2)如图，∠ 的角平分线交 于点 ，且 = 3， = 4，
( )求 的长度；
( )若 边上的中线 与 相交于点 ，求∠ 的余弦值．
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18.(本小题 17 分)
正方形 中， = 2， 为 的中点， = ， ∈ (0,1).将△ 沿 翻折到△ ，△ 沿
翻折到△ ，连接 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)当 = 12时，求二面角 的正弦值；
(3)设直线 与平面 所成角为 3，问是否存在 ∈ (0, 4 )，使得 能取得最大值，若存在，求出最大值，
若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.5
12.2
13.( 3, 3 32 ]
14.解：(1)由 = 3 + ( ∈ )，
得(1 + 3 ) (3 + ) = (3 3 ) + (9 + ) ，
∵ (1 + 3 ) 是纯虚数，
∴ 3 3 = 09 + ≠ 0 ，解得 = 1．
∴ = 3 + ；
(2) = = 3+ = (3+ ) (2 ) = 7 7 1由 2+ 2+ (2+ ) (2 ) 5 = 5 5 ，
7 1 6 7 1 6 7
得 = 5 + 5 ，则 5 = 5 + 5 5 = 5 ，

∴ | 6 7 75 | = | 5 | = ( 5 )
2 + ( 1)2 = 745 ．
15.(1)由频率分布直方图得 2( + 0.1 + 5 + 0.12 + ) = 1，解得 = 0.04．
(2)由频率分布直方图可得平均数为：

= 5 × 2 × 0.04 + 7 × 2 × 0.1 + 9 × 2 × 5 × 0.04 + 11 × 2 × 0.12 + 13 × 2 × 0.04 = 9.08．
所以该企业职工日均运动步数的平均数约为 9.08 千步．
(3)日均运动步数在[12,14]的频率为 2 × 0.04 = 0.08，
日均运动步数在[10,12)的频率为 0.12 × 2 = 0.24，
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日均运动步数在[8,10)的频率为 5 × 0.04 × 2 = 0.4，
所以达标线位于[8,10)内，
0.08 + 0.24 + 10 则达标线为 2 × 0.4 =
2
5，解得 = 9.6，
该企业制定的优秀强国运动者达标线是 9.6 千步．
16.(1)证明：由题意证明如下，
连接 1， 1 1， ．
在长方体 1 1 1 1中， 1// 1且 1 = 1，
∴四边形 1 1 为平行四边形．
∴ 为 1的中点，
在△ 1中， ， 分别为 1和 的中点，
∴ // 1．
∵ 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ //平面 1 1．
(2)解：由题意， 1 与平面 1

1所成角为4 .连接 1C.
∵长方体中 1 = = 2，所以 1 = 2 2.所以 1 = 2 2．
∵长方体 1 1 1 1中， ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1C.
∴ ∠ 1 为直线 1 与平面 1 1所成角，即∠ 1 = 4 .故 = 2 2
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∴△ 1 为等腰直角三角形，则 = 2．
在△ 1中，
= 1 = 6知 =
1 22 +
2
1 = 2．
在△ 中，
= 2, = 2, = 6， 2 + 2 = 2，
∴ ⊥ ，
∴ 1△ = 2 2 2 = 2，
设点 到平面 的距离为 ．
由 =
1 1 1
知，3 △ = 3 2 1 △ ，得 = 1．
∴点 到平面 的距离为 1．
17.(1)根据题意可知，在△ 中，由 + ( ) = 0，
根据正弦定理可知 2 2 + ( ) = 0，
即 2 + 2 2 = ，
=
2+ 2 2
根据余弦定理得 2 =
1
2 = 2，而 0 < < ，∴ =

3；
(2)( 根据题意可知，∠ 的角平分线交 于点 ，则∠ = ∠ = 6，
△ 1 1又在 中， = + △ ，即2 = 2 sin∠ +
1
2 sin∠ ，
1 × 3 × 4 × 3即2 2 =
1
2 × 4 × ×
1
2+
1
2 × 3 × ×
1 12 3
2，解得 = 7 ；
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( ) ∵ 为△ 的中线，
1 1
根据中线向量运算得 = ( + ) = ( + + 2 2 ) =
1
2 (
2 )，
又
2
= 1 2 1
2 2
4 ( 2 ) = 4 + = 4 6 + 9 = 7，则| | = 7，
∵ | | = 4, | | = 3, ∠ = 3， 为∠ 的角平分线，
△ ∵ | | = | | | | | |在 中， sin∠ sin∠ ，得到sin =6 sin∠
①，
在△ 中，∵ | | = | | | | | |sin∠ sin∠ ，得到sin =6 sin∠
②，
sin∠ = sin∠ ÷ | | | | 4又 ，由① ②得到| | = | | = 3，
结合角平分线定理利用向量线性运算得 = + = + 4 = + 4 ( 7 7 ) =
3 7
+ 4 7 ，
3 4 1 1 2 2
∵ = ( + ) ( 2 ) = (3 7 7 2 14 2
8 )
= 1 1 1814 (3 16 2 4 3 2 8 9) = 7，
18
∴ cos∠ = cos , = = 7 21
| | | 12 3
= 14 ， |
7 7
即∠ 21的余弦值为 14 ．
18.(1)证明：因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)解：过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
由(1)知 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角，
由 = 12，知 为 中点，
由勾股定理知， = = 2 + 2 = 5， = 2 + 2 = 2，
1 1
因为 = 2 ( )2 = 1 1 2 1 2 1△ 2 2 2 ，即2 × 2 × ( 5) ( 2 × 2) = 2 × 5 × ，
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所以 = 3 55 ，
在 △ 1 5中，sin∠ = = = ，3 5 3
5
故二面角 5的正弦值为 3 ．
(3)解：由 = ，知 = 2 ， = 2 2 ， = 2， = 1， = 2 + 2 = 4 + 4 2，
2+ 2△
2 4+4+4 2 (2 2 )2 1+2
在 中，由余弦定理知，cos∠ = 2 = = ，4 4+4 2 4+4 2
∠ ∈ (0, ) sin∠ = 3 4 所以 2 ， ，4+4 2
1
所以 △ = 2 ∠ =
1
2 × 2 × 4 + 4
2 × 3 4 = 3 4 ，
4+4 2
△ = 正方形 △ △ △ = 4 2 (1 ) 1 = 2 ，
设点 到平面 的距离为 ，
1 1因为 = ，即3 △ = 3 △ ，
3 4
所以 = △ = ，△ 2
因为直线 与平面 所成角为 ，
所以 = = 3 4 3 2 ， ∈ (0, 4 )，
2
令 3 4 = ∈ (0, 3) 3 ，则 = 4 ，
= = = 4 4 4 2 5所以 22 3 5+ 2
= 5 ≤ = ，当且仅当 = 时取等号，+ 2 5 5 4
此时 = 5，这与 ∈ (0, 3)矛盾，
3
故不存在 ∈ (0, 4 )使得 能取得最大值．
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