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2025-2026学年河北省邢台市名校联考高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为实数，若向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是( )
A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形
C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等
3.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱该元青花团菊花纹小盏口径厘米，底径厘米，高厘米，它的形状可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为单位：立方厘米
A. B. C. D.
5.某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据单位：毫米为，，，，，对于这五个数据，其上四分位数为( )
A. B. C. D.
6.用、、这三个数字组成无重复数字的自然数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为( )
A. B. C. D.
7.在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 设，为复数，若，则
B. 若是关于的方程的根，则
C. 若，，则的最大值为
D. 设，为复数，则“”是“”的充分不必要条件
10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现点”，事件为“至少出现一次”，事件为“三个点数之和为”，则( )
A. 与互斥 B. C. D.
11.如图，连接一个棱长为的正方体的六个面的中心形成正八面体由个正三角形面组成，对角面为正方形，为正八面体棱上一点，且，则( )
A. 平面平面
B. 该正八面体外接球的表面积为
C. 二面角的余弦值为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则方程的解为______．
13.张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得元奖金已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛现将元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则张华应该分得______元
14.若正四棱柱的底面棱长为，侧棱长为，且为棱上
靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底
面的所成角，则点形成的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知平面向量，，且求：
向量在向量上的投影向量；
的值；
向量与夹角的余弦值．
17.本小题分
为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的只小白鼠随机均分为两组：对照组不添加药物和实验组添加药物，饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量单位：，这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图．
估计对照组小白鼠体重增加量的平均数每组以该组所在区间的中点值为代表及中位数；
求的值及实验组中体重增加量不大于的小白鼠的只数；
现从实验组和对照组中各随机抓取只小白鼠，用事件表示“所取只小白鼠体重增加量均超过”，事件表示“只小白鼠仅有只体重增加量不超过”，求，，并判断，是否相互独立．
18.本小题分
已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且．
若，，为角的平分线，且交于点，求的长；
若的面积为，为的中点，求长的最小值；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.因为，
所以由正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，
又因为，所以；
因为，所以，
即，解得，
所以的面积为．
16.由，，
得，即，
则向量在向量上的投影向量是；
由，
则的值为；
，
，
所以，
则向量与夹角的余弦值为．
17.对照组小白鼠体重增加量的平均数估计值为
，
又，
所以对照组小白鼠体重增加量的中位数估计值为；
，得，
故所求为；
由题意知：
从对照组中随机抓取只小白鼠，体重增加量大于的概率为，大于的概率为，
从实验组中随机抓取只小白鼠，体重增加量大于的概率为，大于的概率为，
所以，
，
，
，
因为，所以，不相互独立．
18.已知，，
根据平面向量数量积的坐标运算可得，
由，
由，
因此有，
由已知得，
且为角的平分线，所以，
因为，
所以根据三角形的面积公式可得，
即，解得；
由已知，又的面积为，
则根据三角形的面积公式可得，解得，
又，
则
，
当且仅当时，等号取到，所以，
则长的最小值为；
由正弦定理可知：，
因此有
，
因为，所以
因此周长的取值范围为．
19.证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
为的中点，为中点，
所以，且，
又，，，，
所以有，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
底面是直角梯形，，平面，平面，
所以平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以三棱锥的体积，
又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
所以，
又，，，
所以，故AB，
又，，所以，
平面平面，且平面平面，
又平面，所以平面，
故．
因为平面平面，且其交线为，
又平面，，
所以平面，
取的中点，连接，
在中，，分别为，的中点，
所以，
则平面，
过作于，连接，则有，
所以为二面角的平面角，
在直角梯形中，，，所以，所以，
又，所以，
在中，，所以，
即二面角的余弦值为．
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