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第22章 二次函数
一、选择题
1．把函数yx2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y（x﹣1）2+1的图象（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
2．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3．已知a，b是非零实数，且|a|＞|b|，在同一个坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b．其中正确的选项是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④ D．②③④
5．（4分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
6．（4分）函数y＝（1﹣m）2是关于x的二次函数，且开口向下，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1
7．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
8．（4分）已知二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其几对对应值如表，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
11．（4分）平移抛物线y＝﹣2（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（　　）
A．向左平移1个单位 B．向上平移2个单位
C．向右平移3个单位 D．向下平移6个单位
12．（4分）一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（　　）
A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m
13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（4分）某牧民计划用12m长的篱笆围成矩形羊圈，一面靠墙（墙足够长），现有两种方案供选择：方案（1）（如图①）：中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门；方案（2）（如图②）：中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的五处各留1m宽的门，则能建成的羊圈中面积最大的方案为（　　）
A．（1）
B．（2）
C．（1）（2）的最大面积一样
D．无法确定
二、填空题
15．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 　 　 ．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 　 　 ．
17．（6分）如果抛物线y＝（a+1）x2﹣2x+1有最高点，那么a的取值范围是 　 　 ．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2019的值为 　 　 ．
19．（6分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　 　 ．
20．（6分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　 ．
21．（6分）抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的负半轴交于C点，直线y＝kx+1交抛物线于A，B两点（A点在B点的左边），使得△ABC被y轴分成的两部分面积差为2，则k的值为　 　 ．
三、解答题
22．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点H．
（1）写出H的坐标；
（2）若抛物线经过点A（0，7），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
24．（10分）合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：
销售单价x/元 20 25 30 35
月销售量y/件 3300 2800 2300 1800
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
25．（10分）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在AO上，点Q在OC的延长线上，且AP＝CQ，连接PQ交AC于点G，点D为第一象限内的一点，当△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，连接OD，设AP的长度为t，△POD的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接OG、DG，将△PGD沿PD翻折到PDK的位置（G与K对应），若OG，求点K的坐标．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．把函数yx2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y（x﹣1）2+1的图象（　　）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解答】解：抛物线yx2的顶点坐标是（0，0），抛物线y（ x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），
所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），
即将函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y（x﹣1）2+1的图象．
故选：C．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
2．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x即可求解．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴1，
∴b＝2；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
3．已知a，b是非零实数，且|a|＞|b|，在同一个坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由两函数解析式可得函数图象的交点坐标，由|a|＞|b|可得1，进而求解．
【解答】解：令ax2+bx＝ax+b，
可得x＝1及x为方程的解，
∴两函数图象交点坐标为（1，a+b），（，0），
∴选项B不正确，
当a＞b＞0时，选项A正确．
∵|a|＞|b|，
∴1，
选项C，D中图象交点横坐标都小于1，
∴选项C，D不正确．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象，解题关键是掌握二次函数与一次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程的关系．
4．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b．其中正确的选项是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②④ D．②③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴1，a+b+c＝0，
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（4分）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（4分）函数y＝（1﹣m）2是关于x的二次函数，且开口向下，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．﹣1
【答案】C
【分析】由二次函数的定义及二次函数图象与系数的关系求解．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣m）2为二次函数，
∴，
∴m＝2或m＝﹣2，
∵抛物线开口向下，
∴1﹣m＜0，
∴m＞1，
∴m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的定义．
7．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+c的开口向上，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣2，y1）、（0，y2）、（，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+c上的三点，
∴点（，y3）关于对称轴x＝1的对称点是（，y3），
∵﹣20，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
8．（4分）已知二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
【答案】C
【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1＝0有解，
∴，
解得：k≤3且k≠2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax﹣bc的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝ax﹣bc的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
10．（4分）已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其几对对应值如表，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】C
【分析】利用表中数据可判断抛物线与x轴的一个交点在点（6.17，0）与点（6.18，0）之间，另一个交点在点（6.18，0）与点（6.19，0）之间，然后根据抛物线与x轴的交点个数可判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数．
【解答】解：∵x＝6.17时，y＝0.02＞0；x＝6.18时，y＝﹣0.01＜0，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（6.17，0）与点（6.18，0）之间，
同样得到抛物线与x轴的另一个交点在点（6.18，0）与点（6.19，0）之间，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）有2个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
11．（4分）平移抛物线y＝﹣2（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（　　）
A．向左平移1个单位 B．向上平移2个单位
C．向右平移3个单位 D．向下平移6个单位
【答案】B
【分析】把已知抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律得到答案．
【解答】解：由y＝﹣2（x﹣1）（x+3）得到：y＝﹣2（x+1）2+8．
A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝﹣2（x+2）2+8，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．
B、向上平移2个单位后的解析式为：y＝﹣2（x+1）2+10，当x＝0时，y＝8，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意．
C、向右平移3个单位后的解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．
D、向下平移6个单位后的解析式为：y＝﹣2（x+1）2+2，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减．
12．（4分）一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（　　）
A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m
【答案】A
【分析】设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值，设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.15＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
【解答】解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．
由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5＝3.05，
解得：a＝﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．
设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为y＝﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.9+0.25＝（h+2.15）m，
∴h+2.15＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h＝0.1（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键．
13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤2时，根据S△APQAQ AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②2≤x≤4时，根据S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y＝S△APQAQ APx2；
②当2＜x≤4时，
y＝S△APQ
＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，
＝2×2（4﹣x）22×（x﹣2）2×（x﹣2）
x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
14．（4分）某牧民计划用12m长的篱笆围成矩形羊圈，一面靠墙（墙足够长），现有两种方案供选择：方案（1）（如图①）：中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门；方案（2）（如图②）：中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的五处各留1m宽的门，则能建成的羊圈中面积最大的方案为（　　）
A．（1）
B．（2）
C．（1）（2）的最大面积一样
D．无法确定
【答案】A
【分析】设矩形羊圈垂直于墙的一边长x m，羊圈面积为y m2，分别算出两种方案能建成的羊圈的最大面积，再比较即可得答案．
【解答】解：设矩形羊圈垂直于墙的一边长x m，羊圈面积为y m2，
方案（1）：y＝x[12﹣3（x﹣1）]＝﹣3x2+15x＝﹣3（x）2，
∵﹣3＜0，
∴x时，y取最大值；
方案（2）：y＝x x2x＝﹣（x）2，
∵﹣1＜0，
∴x时，y取最大值，
∵，
∴方案（1）建成的羊圈面积最大，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出二次函数关系式．
二、填空题
15．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 　m或m＜0　 ．
【答案】m或m＜0．
【分析】利用排除法，先求得直线y＝x+m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．
【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y的图象恒相交，
①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交，
与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时，
即方程x+m＝﹣x2+2x有两个实数根，
∴x2﹣x+m＝0．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，
解得：m．
∴当0＜m时，直线y＝x+m与函数y的图象有两个或三个交点，
∴当m时，直线y＝x+m与函数y的图象只有一个交点；
②当m＜0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y的图象只有一个交点，
综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为m或m＜0．
故答案为：m或m＜0．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法解答是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为 　（﹣1010，10102）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
17．（6分）如果抛物线y＝（a+1）x2﹣2x+1有最高点，那么a的取值范围是 　a＜﹣1　 ．
【答案】a＜﹣1．
【分析】由于抛物线y＝（a+1）x2﹣2x+1有最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定a的范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（a+1）x2﹣2x+1有最高点，
∴a+1＜0，
即a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的最值的知识点，解答此题要掌握二次函数图象的特点，本题比较基础．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m﹣2019的值为 　﹣2018　 ．
【答案】﹣2018．
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求得代数式的结果．
【解答】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m﹣2019＝1﹣2019＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
19．（6分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是　x1＝﹣2，x2＝1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图象与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与轴交于A（﹣2，0）、B两点，顶点为C（，），
∴点B的坐标为（1，0），
∴当y＝0时，即0＝ax2+bx+c，此时x＝﹣2或x＝1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．（6分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　﹣1或2　 ．
【答案】﹣1或2．
【分析】由于min{（x﹣1）2，x2}＝1，分情况讨论，即可得出x的值．
【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
①当（x﹣1）2＝x2时，不可能得出最小值为1；
②当（x﹣1）2＞x2时，x2＝1，x＝1或x＝﹣1则若x＝1，则（x﹣1）2＝0，不符合题意；
若x＝﹣1，符合题目意思．
∴x＝﹣1；
③当（x﹣1）2＜x2时，则（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1；
∴当x﹣1＝1时，x＝2，
当x﹣1＝﹣1时，x＝0（不合题意舍去），
故答案为：﹣1或2．
【点评】本题主要考查一元一次方程，实数的比较大小，正确理解题意是解题的关键．
21．（6分）抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的负半轴交于C点，直线y＝kx+1交抛物线于A，B两点（A点在B点的左边），使得△ABC被y轴分成的两部分面积差为2，则k的值为　或　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出A、B的坐标，再根据△ABC被y轴分成的两部分面积差为2，列出k的方程求出k的值便可．
【解答】解：设直线直线y＝kx+1与y轴的交点为点D，则D（0，1），
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的负半轴交于C点，
∴C（0，﹣2），
∴CD＝3，
联立方程组，
解得，，或，
∴A（），B（），
∵△ABC被y轴分成的两部分面积差为2．
∴2，
或2，
解得，k，或k，
解法二：联立方程组，
消去y得到，x2﹣（1+k）x﹣3＝0．
若S△BOD﹣S△AOD＝2，则有 |xB| CD |xA| CD＝2，
∴xB+xA，
∴1+k，
∴k．
若S△AOD﹣S△BOD＝2，则有 |xA| CD |xB| CD＝2，
∴xB+xA，
∴1+k，
∴k，
综上所述，k或k．
【点评】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，三角形的面积，关键是求出A、B点的坐标．
三、解答题
22．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
【答案】（1）制作一件A获利15元，制作一件B获利120元；
（2）yx；
（3）最大利润为3198元，此时x＝26．
【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列一元一次方程即可求出，
（2）A、C的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产C产品的人数是A产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出y与x的函数关系式，
（3）由于B工艺品每件盈利，随着x的变化而变化，得出B工艺品的每件盈利与x的关系，再根据总利润等于三种工艺品的利润之和，得出W与x的二次函数关系，利用函数取最大值时，即为顶点坐标，因为此时y不为整数，因此要根据抛物线的增减性和对称性，确定x为何整数时，W最大．
【解答】解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元，
由题意得：16x＝2（105+x），解得：x＝15，
当x＝15时，x+105＝120，
答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元；
（2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则（65﹣x﹣y）人制作C，
2y＝（65﹣x﹣y）×1，
∴yx，
答：y与x之间的函数关系式为yx；
（3）由题意得：W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y，
又∵yx，
∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（x）＝﹣2x2+100x+1950，
∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数，
根据抛物线的对称性和增减性可得：当x＝24或x＝26时，W最大，
当x＝24时，yx不是整数，不符合题意；
当x＝26时，W最大＝﹣2×262+100×26+1950＝3198．
此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
【点评】考查分式方程及应用、一次函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，但在利用二次函数的增减性时，有时还要根据实际情况，在对称轴的两侧取合适的值时，求出函数的最值，这一点容易出现错误．
23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点H．
（1）写出H的坐标；
（2）若抛物线经过点A（0，7），求证：该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
【答案】（1）H的坐标为（2，3）；
（2）见解答．
【分析】（1）把解析式y＝x2﹣mx+2m﹣1整理成y＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，即可求得H的坐标；
（2）把（0，7）代入y＝x2﹣mx+2m﹣1求得m＝4，设y1＝x2﹣4x+7，y2＝﹣2x+1，计算y1﹣y2＞0即可证明结论成立．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣mx+2m﹣1
＝x2﹣4﹣m（x﹣2）+3
＝（x+2）（x﹣2）﹣m（x﹣2）+3
＝（x﹣2）（x+2﹣m）+3，
∴抛物线y＝x2﹣mx+2m﹣1必过定点（2，3），
故H的坐标为（2，3）；
（2）证明：∵抛物线经过点A（0，7），
∴2m﹣1＝7，解得m＝4，
∴抛物线y＝x2﹣4x+7，
设y1＝x2﹣4x+7，y2＝﹣2x﹣1，
则y1﹣y2＝（x2﹣4x+7）﹣（﹣2x﹣1）＝（x﹣1）2+7＞0，
∴y1＞y2，
∴该抛物线恒在直线y＝﹣2x﹣1上方．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与一次函数的图象上点的坐标特征是关键．
24．（10分）合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：
销售单价x/元 20 25 30 35
月销售量y/件 3300 2800 2300 1800
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）用待定系数法求解即可；
（2）设月销售利润为w元，根据每件的利润乘以销售量，得出关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由题意得：
解得：
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+5300．
（2）设月销售利润为w元，
则w＝（x﹣17）（﹣100x+5300）
＝﹣100x2+7000x﹣90100
＝﹣100（x﹣35）2+32400
∵﹣100＜0
∴当x＝35时，w有最大值，最大值为32400．
答：当销售单价为35元时，月销售利润最大，最大利润是32400元
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
25．（10分）已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在AO上，点Q在OC的延长线上，且AP＝CQ，连接PQ交AC于点G，点D为第一象限内的一点，当△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，连接OD，设AP的长度为t，△POD的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接OG、DG，将△PGD沿PD翻折到PDK的位置（G与K对应），若OG，求点K的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当x＝0时，y＝4，∴C（0，4）当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），OC＝2OB，OB＝2，B（2，0），即可求解；
（2）△QDF≌△DPE，QF＝DE＝m，FD＝EP，FD＝4+t﹣m，EP＝4﹣t+m，4﹣t+m＝4+t﹣m，m＝t，OP＝4﹣t，（0＜t＜4）；
（3）证明四边形PGDK为正方形，△GMP≌△PNK（AAS），即可求解．
【解答】解：（1）解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4）当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），
∵OC＝2OB，∴OB＝2，B（2，0），
将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，作QF⊥DE于F，
∴四边形QOEF为矩形，
∴QF＝OE，QO＝FE，设QF＝m，
∵△QDF≌△DPE，
∴QF＝DE＝m，FD＝EP，
∵FD＝4+t﹣m，EP＝4﹣t+m，
∴4﹣t+m＝4+t﹣m，∴m＝t，
∵OP＝4﹣t，
∴（0＜t＜4）；
（3）作PL∥OQ交AC于点L，作GM⊥AB于M，KN⊥AB于N，
∵OC＝OA，∴PL＝PA∵PA＝CQ∴PL＝CQ，
∴△PGL≌△QGC，∴GP＝GQ，
∵OG，∴PQ，
在△OPQ中，由勾股定理得：（4﹣t）2+（4+t）2，
∴t＝2；
∵△PDG为等腰直角三角形，∴四边形PGDK为正方形，
∵OQ＝6∴GM＝3
∵GP＝GO∴PM＝MO＝1，
∵△GMP≌△PNK（AAS），
∴GM＝PN＝3，PM＝KN＝1，
∴AN＝5，ON＝1，
∴K（1，﹣1）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、正方形性质、图形的全等，其中（3），确定四边形PGDK为正方形，是本题解题的关键．
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