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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第三章 3.1.2 函数的表示法
一、单选题
1.（2024北京房山中学期中）小明离开家去学校上学，刚开始步行一段时间后感觉要迟到，改为跑步完成余下的路程，下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下面四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
2.果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025四川遂宁期中）已知函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2024黑龙江鹤岗期中）已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2024重庆名校联盟期中）已知函数，若，则实数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.（2025北京第十二中学期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数：（ ）
(1)；
(2)且，
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.若函数的图象为如图所示的曲线和线段，曲线与直线无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 在的定义域内任取一个值，总有唯一的值与之对应
D. 在的值域内任取一个值，总有唯一的值与之对应
8.（2025广东广州期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以他的名字命名的函数称为狄利克雷函数，则下列关于的说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的定义域为
C.
D. 存在是无理数，
9.（2025山东泰安期中）已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ）
A. 的定义域是
B. 的值域是
C. 若，则
D. 的图象与直线有一个交点
三、填空题
10.（2024甘肃酒泉实验中学月考）已知函数的对应关系如表所示，函数的图象如图所示，则______.
1 2 3
0 1 2
11.（2025北京通州区期中）已知函数，如下表所示，则的值为______.
12.（2025湖北荆门期中）已知函数是一次函数，且，则______.
四、解答题
13.已知函数
(1)去掉绝对值，写出的分段解析式；
(2)画出的图象，并写出值域。
14.（2024浙江温州十校联合体期中）已知
(1)若，求的值；
(2)若，求的值。
15.某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动。已知全程30千米，且该城市出租车的收费标准是：起步价11元（乘车不超过3千米）；行驶3千米后，每千米车费2.2元；行驶10千米后，每千米车费2.8元。
(1)写出同学们打车的费用（单位：元）与路程（单位：千米）的函数关系式；
(2)为了节省支出，他们设计了三种乘车方案：
①不换车：乘一辆出租车行驶30千米；
②分两段乘车：先乘一辆车，行驶15千米后，换乘另一辆车，再行驶15千米；
③分三段乘车：每行驶10千米后，换乘一次车。
哪一种方案最省钱？
一、单选题
1.答案：A
解析：小明刚开始步行，速度较慢，离学校距离减小得慢，图象下降平缓；后来跑步，速度加快，离学校距离减小得快，图象下降陡峭。A选项符合该变化趋势；B选项中先快后慢不符合；C选项距离先不变再减小不符合实际情况；D选项距离变化不符合步行和跑步的速度变化特点 。
2.答案：C
解析：水果批发价为每千克2.5元，购买千克花费元。小王携带现金3000元，所以剩余现金。又因为购买水果不少于100千克，且千克，所以的取值范围是 。
3.答案：D
解析：令，则（）。已知，将代入可得（），所以（）。
4.答案：B
解析：令（），则。将代入可得（），所以（）。
5.答案：C
解析：因为，所以。又因为时，，所以。已知，即，解得。
6.答案：A
解析：对于选项A， ，满足条件（1）；对于且，根据均值不等式（），两边同时平方可得，即，满足条件（2）。对于选项B，，，，不满足条件（1）；对于选项C，，，满足条件（1），但，，不满足条件（2）；对于选项D，，时函数无意义，不满足条件（2）的定义域要求。
二、多选题
7.答案：BC
解析：由图象可知，的定义域为，A错误；曲线与直线无限接近但永不相交，且图象最低点纵坐标为1，所以的值域为，B正确；根据函数的定义，在的定义域内任取一个值，总有唯一的值与之对应，C正确；在的值域内取大于1的值时，对应的值可能有多个，D错误。
8.答案：BCD
解析：狄利克雷函数的值域是，A错误；定义域为，B正确；当为有理数时，，则；当为无理数时，，则，所以，C正确；当，时，是有理数，，D正确。
9.答案：BC
解析：的定义域为，A错误；当时，；当时，，，所以的值域是，B正确；若，当时，，解得（舍去）；当时，，解得，C正确；当时，若，，解得（舍去）；若，，解得或（舍去），所以的图象与直线有一个交点 ，D错误。
三、填空题
10.答案：1
解析：由的图象可知，再由的对应关系表可知，所以。
11.答案：2
解析：由的表格可知，再由的表格可知，所以。
12.答案：7
解析：设（），则。整理得，即。因为对于任意都成立，所以，由解得或（舍去）。将代入，得，解得，所以，则。
四、解答题
13.解：
（1）当时，；当时，。所以。
（2）图象如图：
值域：当时，；当时，单调递增，。所以的值域是。
14.解：
（1）当时，，由，即，解得；当时，，由，即，解得或（舍去）。综上，或。
（2）设，则。当时，，解得；当时，，解得或（舍去）。
当时，若，则，解得（舍去）；若，则，解得或（舍去）。
当时，若，则，解得（舍去）；若，则，方程无解。综上，。
15.解：
（1）当时，；当时，；当时，。所以。
（2）
方案①：不换车，当时，元。
方案②：分两段乘车，每段千米。前千米费用：元，两段总费用为元。
方案③：分三段乘车，每段千米。每段费用元，三段总费用为元。
比较三种方案费用：，所以方案③最省钱。

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