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第十三章三角形 2025-2026学年初中数学八年级上册
单元测试（人教版2024）
一、单选题
1．下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个三角形三个内角度数之比为1：2：3，则这个三角形是（　　）三角形
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰
3．如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（　　）
A． B． C． D．
4．现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（　　）
A．44° B．60° C．67° D．77°
6．如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的点B'处，则∠ADB'等于（　　）
A．40° B．20° C．55° D．30°
8．如图，在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且，（　　）
A．2 B．1 C． D．
9．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为（　　）
A．50° B．75° C．100° D．125°
10．如图，点D，E分别是△ABC边BC，AC上一点，BD＝2CD，AE＝CE，连接AD，BE交于点F，若△ABC的面积为18，则△BDF与△AEF的面积之差S△BDF﹣S△AEF等于（　　）
A．3 B． C． D．6
二、填空题
11．在中， ，则　 　．
12．如图所示，直线，，，则的大小是　 　．
13．如图，是的边延长线上一点，过点作，若，，则的度数为　 　．
14．如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为 　 　．
15．如图，已知直线被直线所截，且，，分别平分，，，分别平分和，，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为　 　．
三、解答题
16．（1）等腰三角形的两边长满足|a－4|＋(b－9)2＝0，求这个等腰三角形的周长．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边，化简：|a＋b－c|＋|b－a－c|－|c＋b－a|．
17．已知在中，、、的对边分别为a、b、c．
（1）化简代数式：______．
（2）若，，求的各内角度数．
18．如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，已知△ABC．
⑴画出△ABC中BC边上的中线AD；
⑵画出△ABC中AB边上的高CE；
⑶直接写出△ABC的面积为 ▲ ．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画，要求：
（1）在图①中画一个直角三角形，在图②中画一个锐角三角形，在图③中画一个钝角三角形．
（2）点C在格点上．
20．大刚利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，你帮大刚求出路灯的高度．
21．如图，沿着的方向平移至，，．
（1）求的度数；
（2）若的周长为，平移距离为则四边形的周长为　 　．
22．在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如题24图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．
[探索发现]
（1）当∠A=60°时，求证：∠CBD=∠A．
（2）”快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．
①当∠A=40°时，∠CBD=　 　度；
②当∠A=x°时，∠CBD=　 　度(用含x的代数式表示)．
（3）[操作探究]
”智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．
23．【课本再现】
已知：如图1，P是三角形内一点，连接，．
求证：．
证明：如图2，延长，交于点D．
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
．
【知识迁移】
如图3，求证：
（1）；
（2）．
（3）【拓展延伸】
如图4，五角星五个“角”的和为　 　°．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用对顶角的定义可得，再结合，求出即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：在三角形BAC中，因为∠ACB=110°，∠A=20°，
所以∠B=180°-110°-20°=50°，
根据折叠的性质可得，∠B=∠CB'D=50°
因为∠B'是三角形AB'D的外角
所以∠ADB'=∠CB'D-∠A=50°-20°=30°
故答案为：D.
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠B的度数，继而根据折叠的性质求出∠CB'D的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADB'的度数即可。
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】A
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】17
15．【答案】
16．【答案】（1）22；（2）．
17．【答案】（1）
（2），，
18．【答案】解：⑴AD即为所求；
⑵CE即为所求；
⑶7
【解析】【分析】（1）根据中线的意义以及网格线的特征作图即可；
（2）根据高线的意义以及网格线的特征作图即可；
（3）根据三角形的面积公式作图即可.
19．【答案】【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形（答案不唯一）．
【解析】【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可，答案不唯一．
20．【答案】路灯的高度是
21．【答案】（1）解：，，
，
，
沿着的方向平移至，
（2）19
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC的周长为 15，
∴AB+BC+AC=15，
∵△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，平移距离为2，
∴DF=AC，AD=CF=2，
∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD
=AB+BC+CF+AC+AD
=15+2+2
=19，
故答案为：19.
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠ACB=40°，再利用三角形的内角和求出∠BAC=80°，最后根据平移的性质计算求解即可；
（2）根据三角形的周长求出AB+BC+AC=15，再根据平移的性质求出DF=AC，AD=CF=2，最后求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN= 180°．
又∵∠A=60°，
∴∠ABN=180°-∠A=180°-60°=120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN．
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN=∠ABN=×120°= 60°．
∴∠CBD=∠A
（2）70；(90-)
（3）解：∠APB=2∠ADB．理由如下：
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠NBD．
∵AM∥BN，
∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB．
∴∠APB= =2∠ADB．
【解析】【解答】解：（2）①根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-40° =，
∴∠CBD=∠ABN=×=；
②同理，当∠A=x°时 ，∠ABN=180°-∠A=180°-x° ，∠CBD=∠ABN=（180°-x° ）=-；
故答案为：70；(90-).
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠A+∠ABN= 180°，可以得到∠ABN；根据角平分线的性质，可得∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠PBN；根据等量代换原则，可得∠CBD=∠ABN=60°=∠A；
（2）根据（1）中证明过程，当∠A=40°时 ，∠CBD= ；当∠A=x°时，∠CBD=-；
（3）根据角平分线的性质，可得∠PBN=2∠NBD；根据两直线平行，内错角相等，可得∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB；根据等量代换原则，即可得∠APB= =2∠ADB.
23．【答案】（1）解：如图，延长交于Q，
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．
，即．．
（2）解：是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）．
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）．
，即．．
（3）180°
【解析】【解答】解： 拓展延伸：如图，标注五角星的顶点及交点B，C，
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）．
是的一个外角（外角的定义），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和）．
，（等量代换）
∵，（三角形的内角和定理）
∴．（等量代换）
【分析】（1）利用三角形外角的性质可得；
（2）利用三角形外角的性质可得，，再求出，即可得到；
（3）利用三角形外角的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得

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