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第四章 图形的相似 单元测试
一、单选题
1．已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（ ）
A．0.4米 B．62.5米 C．6.4米 D．0.16米
4．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．8
5．如图，边长分别为和的正方形与并排放在一起，交于点，则的面积是（　　）平方厘米．
A． B． C．18 D．
6．如图，在中，点是边的中点，点、是边的三等分点，与、分别交于点、，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，直线，分别与这三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似．
A．9 B．6 C．4或9 D．6或9
9．如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，等腰梯形纸片中，，，，且E点在上，．今以为摺线将C点向左摺后，C点恰落在上，如图2所示．若，，则图2的与的长度比为何（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果为和u的比例中项，则u的值为 ．
12．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则 ．
13．如图，在矩形中，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长是 ．
14．如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ．
15．如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接与相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有 ．
三、解答题
16．已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，连接．
(1)求证：是等边三角形；
(2)延长，交的延长线于点G．求证：．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出关于x轴对称的；
(2)与的位似比为，请画出；
(3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）．
18．如图，在中，，将沿射线方向移动4个单位长度得到，且与相交于点．

(1)求的长．
(2)求证：是的中位线．
19．如图，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于E，连接．
(1)变化时，设．若用α表示和；
(2)若，且与相似，求相应长．
20．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上，下两底分别为，的梯形空地种植花木．
(1)如图，他们在和地带上种植太阳花，当地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满地带所需的费用；
(2)若其余地带要种的花卉，有玫瑰花和茉莉花和太阳花三种供选，单价分别为12元，10元，8元，怎样安排栽种面积？请你作出决策．
《第四章 图形的相似 单元练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B A B D C B B
1．A
【分析】本题考查了本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似三角形的相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，根据和的高分别为，，可知和的相似比是，所以与的面积比是相似比的平方，即．
【详解】解：和是它们的对应高线，若，，
，
，
和的相似比是，
．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，这个点叫做位似中心，找到位似中心的位置，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．
连接与，与，找出直线与直线的交点即可得到答案．
【详解】解：由图可知与是一组对应点，与是一组对应点，连接与，与,
观察图像可以发现直线与直线相交于点，这个交点就是位似中心
故选：C．
3．C
【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
则，
，
由题意可知，米，米，米，
，
解得米，
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】解：线段，，线段是和的比例中项，
，
，
，
（舍去负值），
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
先根据正方形的性质证明，再根据相似三角形的性质列比例可求得，进而得到，然后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形、正方形的边长分别为和，
∴，即，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∴的面积是．
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，过点作交于点，证明，得到，再证明得，设，则，，再证明，得，，连接，则为的中位线，得，，求出，证明得，求出，，从而可求出．
【详解】解：过点作交于点，如图，
∵点是边的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，即，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
连接，
∵点是边的中点，点是边的三等分点，即为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又,，
∴，即为的中点，
又点为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故选： D.
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．C
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键．
分别根据当时，，当时，，求出的长即可．
【详解】解：，
当时，，
，，，
，
；
当时，，
，
，
的长度为4或9时，和相似．
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键．
栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．
【详解】解：如图所示，
将题中条件转化到上图中，，
即，求的长度，
，（对顶角），
，
，即，解得，
∴长臂端点升高，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了梯形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
先证明四边形是平行四边形，可得，通过折叠性质和等腰三角形的性质证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵以为摺线将C点向左摺后，C点恰落在上，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴．
故选：B
11．27
【分析】本题考查比例中项的概念，根据比例中项的概念写出比例，再根据比例的性质即可求出u的值．
【详解】∵为和u的比例中项，
∴，
∴，
∴，
故答案为：27．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
根据菱形的性质，翻折的性质得到， ，，根据得到，根据翻折的性质得到，由勾股定理可知，过点E作，设，根据相似三角形的判定和性质求出，进而可知．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折的性质，菱形的性质，得： ， ，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点E作，
设， 则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】根据题意，设交于点，由矩形与折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则求出，，再证明，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴，，，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的折叠，相似三角形的判定和性质是关键．
14．
【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N，
则四边形都是矩形，
故，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故．
故答案为：．
15．①②
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．根据菱形的性质，再结合全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断求解即可．
【详解】解：①∵四边形是菱形．
∴，
又，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴①符合题意；
②由①得，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴的大小为定值，
∴②符合题意；
③当点E，F分别是中点时，
由①知，为等边三角形，
∵点E，F分别是中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴③不符合题意；
④过点F作交于P点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故本选项不符合题意：
∴正确的结论是①②．
故答案为：①②．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据菱形的性质可求出，，，证明是等边三角形，得出，根据证明，得出，，进而可求出，最后根据等边三角形的判定即可得证；
（2）证明，根据相似三角形的性质可得出，然后结合即可得证．
【详解】（1）证明：连接，
∵菱形，
∴，，分别平分，，，
∴，，
又，
∴，
∵分别平分，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：如图，
∵是等边三角形，
∴，
又，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了轴对称图形，位似图形及它们的性质，掌握轴对称图形、位似图形及其性质是解题的关键．
（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用将三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出答案
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点，
∴与的相似比为：，
∴．
故答案为：．
18．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了含的直角三角形，平移的性质，中位线，解题的关键是掌握中位线的判定定理；
（1）利用含的直角三角形求出，再根据平移的性质得出即可求解；
（2）证明出即可得出为的中点，即可证明．
【详解】（1）解：在中，，
，
将沿射线移动4个单位长度得到，
，
；
（2）证明：由（1）知为的中点，
又根据平移的性质得到：，
，
，
，
为的中点，
是的中位线．
19．(1)，
(2)2或或1
【分析】两三角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．
（1）先根据、分别平分、，结合三角形三条角平分线交于一点得到平分，，再推出，，进而可得；根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解；
（2）根据，得到和不是对应点，再据此分情况讨论，根据相似三角形对应边的比相等，即可求解．
【详解】（1）解：∵、分别平分、，
∴平分，
∴，
∵是的外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵是的平分线，是的外角平分线，
∴，
分情况讨论：
①当时，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，，，
∴，
∴，
∴．
③当时，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
④当时，，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，长为2或或1．
20．(1)640元
(2)见解析
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质得，于是得到种满地带所需的费用为地带种植费用的4倍解答即可；
（2）先计算出，则，再根据相似三角形的性质得，所以，然后分别讨论，使总费用不超过1600元即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，
∴种满地带所需的费用（元）；
（2）解：∵种太阳花的单价为8元，而地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当和都种玫瑰花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时，不符合题意；
当和都种茉莉花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时；
当和都种太阳花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时；
当种玫瑰花和种太阳花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时；
当种玫瑰花和种茉莉花，则费用为（元），而和地带所需的费用为种花的费用为（元），此时；
所以可以这样安排：
方案一：当和都种太阳花后，和种茉莉花；
方案二：当和都种太阳花后，和种太阳花；
方案三：当和都种太阳花后，种玫瑰花和种太阳花．

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