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2026届高三数学阶段检测五（A）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有四对双胞胎共人，从中随机选出人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为( )
A. B. C. D.
2.已知且，则二项式的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
3.如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
4.某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 元
销量 件
由表中数据求得线性回归方程为若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知正数，，满足，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的极值点与的零点完全相同，则( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
8.平面直角坐标系中，已知点其中，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四棱锥中，，分别是，上的点，，则下列条件可以确定平面的是( )
A. B. C. 平面 D. 平面
10.已知抛物线的焦点为 ，以该抛物线上三点，， 为切点的切线分别是，直线相交于点 ，与分别相交于点记的横坐标分别为，则( )
A. B.
C. D.
11.袋中有个大小相同的球，其中个黑球，个白球，现从中任取个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得分，取出一个黑球得分，随机变量为取出个球的总得分，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某电池厂有，两条生产线，现从生产线中取出产品件，测得它们的可充电次数的平均值为，方差为；从生产线中取出产品件，测得它们的可充电次数的平均值为，方差为则件产品组成的总样本的方差为 ．参考公式：已知总体分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则；
13.在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ．
14.设点，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，设与的内切圆半径分别为、，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解不等式：；
已知，求的值用数字作答
16.本小题分
已知的展开式中，第项的系数与倒数第项的系数之比为．
求的值；
求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
17.本小题分
某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏为了解交通状况，有关部门随机抽取了位游客，对其出行方式进行了问卷调查每位游客只填写一种出行方式，具体情况如下：
出行方式 地铁 公交车 出租车 自驾 骑行 步行
频数
用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行．
若从参加活动的所有游客中随机抽取人，这人中低碳出行的人数记为，求和
据另一项调查显示，的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若在区间上恰有一个零点，求的取值范围：
当时，解方程．
19.本小题分
某种玩具启动后，该玩具上的灯会亮起红灯或绿灯红灯和绿灯不会同时亮起，第次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为若第次亮起的是红灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第次亮起的是绿灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为，记第次亮灯时，亮起红灯的概率为，该玩具启动前可输入，玩具启动后，当且第次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌．
若输入，记该玩具启动后，前次亮灯中亮起红灯的次数为，求的分布列和期望；
若输入，
(ⅰ)求数列的通项公式；
(ⅱ)该玩具启动后，在前次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
答案和解析
1.【答案】
【解析】先从四对双胞胎中选出一对，有种选法，
再从剩余的三对双胞胎中选出两对，有种选法，
最后从选出的两对双胞胎中各选出一个，有种选法，
所以其中恰有一对双胞胎的选法种数为种．
故选B．
2.【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
所以二项式的展开式中，常数项为：．
故选：．
3.【答案】
【解析】作直线于，连接，
因为平面，根据线面垂直的性质定理，得，因此，。
，，易知，因此得到
作交于，连接，，作于，连接，
得到
因此，，由于，可得．
综上，．
4.【答案】
【解析】，
，
过样本中心点，
，
回归直线方程；
数据，，，，，．
个点中有个点在直线右上方，即，，．
从这些样本点中任取点，共有种不同的取法，
故这点恰好在回归直线右上方的概率为．
故选：．
5.【答案】
【解析】正数，满足，
则，，
则，，
又，
若，则，显然与矛盾，
则，
结合，可排除、；
当时，对于函数，则，则函数在上单调递增，
当时，对于函数，则 ，则函数在上单调递增，
当时，，
且对于函数，有，则函数在上单调递增，则，则，
则
由可得．
综上所述，．
故选D．
6.【答案】
【解析】由题意，，
令，则，，
因为函数的极值点与的零点完全相同，
所以，，，
则当，时，可得．
故选：．
7.【答案】
【解析】当时，
，不符合，舍去；
当，
选项：等比数列的前项和，
则，，
则
，
所以．
，选项错误；
选项：
，
，
所以，选项正确．
8.【答案】
【解析】设，则，
所以，即点在以原点为圆心，为半径的圆上，
又因为点在以点为圆心，为半径的圆上，
所以点为两圆的公共点，因此，
解得，故选D．
9.【答案】
【解析】设点在上，且，则，
若平面，则需要，
选项A：因为，又因为，但原题目中没有这个条件，
所以四边形不一定为平行四边形，选项A错；
选项B：在四边形中，因为，，所以，选项B对；
选项C：因为平面，平面，平面平面，
所以，结合选项A的分析，选项C错；
选项D：因为平面，平面，平面平面，
所以，结合选项B的分析，选项D对．
故选：．
10.【答案】
【解析】方法一：，，，
，即，
，
，即时，
不一定为 ，错．
，
，对．
，，
，
，
，对．
方法二：对于，，
，，方程为，
即，，，
联立，
显然不一定为 ， 与 不一定垂直，
故不一定为 ，错．
对于，，， B正确．
对于，，
而， C正确．
对于，仿对的分析，，
，
而，，
， D正确，选：．
11.【答案】
【解析】由题意知，均服从于超几何分布，且，，
故；
从而，故选项A正确；
，，，故选项B错误，C正确；
，故选项D正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】总体的平均数，
则其方差．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】连接，
因为的中垂线交于点，根据中垂线的性质可知，
设，则，
在中，由余弦定理，
则，
则，
当时，的面积最大，值是．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由 ，得 ，则 ，
设圆 与三边分别切于点，如图：
由圆的切线的性质可得 ，
由双曲线的定义可知 ，即 ，
设 ，则 ，得 ，所以 ，则，
同理，设圆 与 切于点，则，故，
因为圆心、都在的角平分线上，
所以点、、三点共线，则，
可得．
故答案为．
15.【解析】因为，，．
所以不等式可化为．
解得，又，．
所以不等式的解集为．
易知，，
由，
，
即．
，
即，解得或．
，，
由
．
16.【解析】展开式的通项为，
展开式中第项的系数为，倒数第项的系数为，
，即．
令可得展开式中所有项的系数和为，
展开式中所有项的二项式系数和为．
展开式共有项，由可得当为整数，即时为有理项，共项，
其它项则为无理项，
由不相邻插空法可得有理项不相邻的概率为．

17. 【解析】(1)记“低碳出行”为事件A,
估计P(A)=1-=.
则X~B(3,),
P(X=2)==,
E(X)=np=3=.
(2)由(1)知P(A)=,则有P()=,
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B,
由题意P(B|A)=,P(B|)=,
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=+=.
18.【解析】由题意可得：，，
由于分母对，故的正负由分子决定，记得，
当时，对任意有，故，即，在定义域内单调递增；
当时，注意到是唯一使的点，又观察到，若在区间内，
由于，故，即；时，，故．
综上，当时，在定义域内单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由知，当时，在定义域内单调递增，且注意到，因此时不合题意
当时，考虑到，为使内有零点，则极小值点小于零，即得，
结合，则的取值范围为；
由题，，，
记上式为，则，在定义域内单调递减，
因此，仅有一个解，
注意到待求方程，
对中含的部分单独考察，即，其中关于的多项式的解为，
因此时可消去，
当时，有，满足题意
当时，有，不符合题意，
综上，原方程的解为．
19.【解析】根据题意，表示次亮灯中亮起红灯的次数，
故的所有可能取值为，，，，
表示前次亮灯的颜色为“绿绿绿”，
故，
表示前次亮灯的颜色为“红绿绿”，“绿红绿”，“绿绿红”，
故，
表示前次亮灯的颜色为“红红绿”，“红绿红”，“绿红红”，
故，
表示前次亮灯的颜色为“红红红”，
故，
所以的分布列为：

故的数学期望为；
根据题意，，
所以，
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
故；
(ⅱ)由，可得，
又，所以为正奇数，
由，可得，
当为正奇数时，，所以，解得，
所以该玩具启动后，在前次亮灯中，
当，，，，，，时，该玩具可能唱歌，
所以该玩具启动后，在前次亮灯中，最多唱次歌．
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