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第一章三角形单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点、、、在一条直线上，，，要使≌，需要添加下列选项中的一个条件是 ( )
A. B. C. D.
2.在中，已知，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.下列各图中，，为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙
4.如图所示，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.已知三角形两边的长分别是和，则此三角形第三边的长可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，为了测量出，两点之间的距离，在地面上找到一点，连结，，使，然后在的延长线上确定，使，那么只要测量出的长度也就得到了，两点之间的距离，这样测量的依据是( )
A. B. C. D.
7.下列说法： 周长相等的两个三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有三个角对应相等的两个三角形全等；有三边对应相等的两个三角形全等，其中错误的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知的两个内角，，则为
A. B. C. D.
9.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得≌，其依据是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，和的平分线，相交于点，交于点，交于点，过点作于，下列三个结论：；若，，则；当时，其中正确的是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性。
12.一木工师傅有两根长分别为、的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有、、、四根木条，他可以选择长为__________的木条；
13.如图是由个相同的小正方形组成的网格图，其中等于_____．
14.如图所示，，，，，，则______．
15.如图，在和中，，请你再补充一个条件，使得≌你补充的条件是_________________只填一个．
16.如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，，两点同时出发，点每分钟走 时，与全等．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；沿河岸直走有一树，继续前行到达处；从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；测得的长为米．
求：
河的宽度是__________
请你证明他们做法的正确性．
18.本小题分
如图，已知点，，，在一条直线上，，，，
试说明：≌；
若，，求的长．
19.本小题分
如图，已知，，求证．
20.本小题分
如图，≌，点在边上，与交于点，已知，，，．
求的度数；
求与的周长和．
21.本小题分
如图，中，是高，、是角平分线，与相交于点，，，求和的度数．
22.本小题分
如图所示，≌，，交于点，且，，，求和的度数．
23.本小题分
如图，在中，，是的平分线，于，在上，说明：
；
．
24.本小题分
如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
如图，当____时，的面积等于面积的一半；
如图，在中，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点的运动速度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章三角形单元测试
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 稳定性
12. 或
13.
14.
15. 或
16. 或
17. 解：河的宽度是；
证明：由作法知，，，
在和中，
，
≌，
，
即他们的做法是正确的．
18. 证明：，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，即，
，
，，
，
，
．
19. 证明：，
，
即：，
在和中
，
≌，
．

20. 解：，，
，
≌，
，
，
即的度数为；
≌，
，，
与的周长和．
21. 解是的高，
，
在中，；
在中，，是的角平分线，
，
，
在中，，，
，
是的平分线，
，
又，
，
．

22. 解：≌，
．
，
．
综上所述：，．
23. 证明：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
≌，
，
，
≌，
；
由知≌，
，
，
又由知：，
．
24. 解：或；
≌，即对应顶点为与，与，与；
当点在上，如图所示：
此时，，，
点移动的速度为，
当点在上，如图所示：
此时，，，
即点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，点的运动速为或．

第2页，共2页第一章三角形单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点、、、在一条直线上，，，要使≌，需要添加下列选项中的一个条件是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，利用直线平行性质得出是本题的关键．
若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。 根据“”可添加使≌。
【解答】
解：，
当时，
可得
即
在和中
≌
故选A．
2.在中，已知，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．直接根据三角形内角和定理解答即可．
【解答】
解：在中，
，，
．
故选B．
3.下列各图中，，为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是( )
A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与全等，甲与不全等．
【解答】
解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和不全等；
在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以乙和全等；
在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：，所以丙和全等；
故选C．
4.如图所示，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，即可得到结论．
【解答】
解：由题意可得：是的垂直平分线，
则，故，
，
，
，
，
，
故选D．
5.已知三角形两边的长分别是和，则此三角形第三边的长可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
设此三角形第三边的长为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，找出符合条件的的值即可．本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【解答】
解：设此三角形第三边的长为，则，即，四个选项中只有符合条件．
故选C．
6.如图，为了测量出，两点之间的距离，在地面上找到一点，连结，，使，然后在的延长线上确定，使，那么只要测量出的长度也就得到了，两点之间的距离，这样测量的依据是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的应用，利用可证，即可得出结论．
【解答】
解：在和中，
，
．
7.下列说法： 周长相等的两个三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有三个角对应相等的两个三角形全等；有三边对应相等的两个三角形全等，其中错误的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】分析
本题主要考查了全等三角形的判定，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，举出反例即可判断；根据等边三角形三边相等和全等三角形的判定即可判断；根据全等三角形的判定即可判断．
详解
解：如果一个三角形的边长为，，，另一个三角形的边长为，，，两三角形周长相等，但是两三角形不全等，错误；
两等边三角形的边长都相等，周长也相等，两三角形的三边长相等，根据定理能推出这两个三角形全等，正确；
根据两三角形的三角相等不能推出两三角形全等，错误；
两个三角形的三边对应相等，根据能推出两三角形全等，正确；
即错误的有两个．
故选B．
8.已知的两个内角，，则为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．直接根据三角形内角和定理解答即可．
【解答】
解：在中，
，，
．
故选C．
9.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得≌，其依据是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．利用全等三角形判定定理、、、对和进行分析，即可作出正确选择．
【解答】
解：由题意可知，，，
在和中，
≌．
故选A．
10.如图，在中，和的平分线，相交于点，交于点，交于点，过点作于，下列三个结论：；若，，则；当时，其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得≌，得到，是解决问题的关键．
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定；作于，于，根据三角形的面积可证得正确；在上取一点，使，证得≌，得到，再证得≌，得到，进而判定正确．
【解答】
解：和的平分线相交于点，
，，
，故正确；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，故正确；
作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，
，故正确．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的 性。
【答案】稳定性
【解析】【分析】
本题考查了三角形的稳定性，能够运用数学知识解释生活中的现象．根据题目中为防止变形的做法，显然运用了三角形的稳定性．
【解答】
解：为防止变形常常钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的稳定性．
故答案为稳定性．
12.一木工师傅有两根长分别为、的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有、、、四根木条，他可以选择长为__________的木条；
【答案】或
【解析】【分析】
本题利用了三角形中三边的关系求解．根据在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
【解答】
解：，，
因而木条长在到之间．
故可选或，
故答案为或．
13.如图是由个相同的小正方形组成的网格图，其中等于_____．
【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定与性质首先证明≌可得，再根据等量代换可得
【解答】
解：由题意得：，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为．
14.如图所示，，，，，，则______．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出≌．
求出，证≌，推出，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
故答案为．
15.如图，在和中，，请你再补充一个条件，使得≌你补充的条件是_________________只填一个．
【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可根据已知条件在三角形中位置，结合三角形全等的判定方法寻找条件已知给出了一对边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．
【解答】
解：欲证两三角形全等，已有条件：，，
所以由两边夹角对应相等补充便可以根据证明
由三边对应相等补充便可以根据证明．
故答案为或
16.如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，，两点同时出发，点每分钟走 时，与全等．
【答案】或
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
分两种情况：若，，则；若，，则即可得出结果．
【解答】
解：设点每分钟走．
若，此时，，
，
．
若，，，
，
，
故答案为或．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；沿河岸直走有一树，继续前行到达处；从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；测得的长为米．
求：
河的宽度是__________
请你证明他们做法的正确性．
【答案】解：河的宽度是；
证明：由作法知，，，
在和中，
，
≌，
，
即他们的做法是正确的．
【解析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
根据全等三角形对应角相等可得；
利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
18.本小题分
如图，已知点，，，在一条直线上，，，，
试说明：≌；
若，，求的长．
【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，即，
，
，，
，
，
．
【解析】根据两角和其中的一角的对边对应相等的两个三角形全等即可判定．
根据全等三角形的性质可知，推出，由此即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
19.本小题分
如图，已知，，求证．
【答案】证明：，
，
即：，
在和中
，
≌，
．

【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．由可得：，再有条件，可利用证明≌，再根据全等三角形对应边相等可得．
20.本小题分
如图，≌，点在边上，与交于点，已知，，，．
求的度数；
求与的周长和．
【答案】解：，，
，
≌，
，
，
即的度数为；
≌，
，，
与的周长和．
【解析】本题考查的是全等三角形的性质、角的和与差的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到，计算即可；
根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可．
21.本小题分
如图，中，是高，、是角平分线，与相交于点，，，求和的度数．
【答案】解是的高，
，
在中，；
在中，，是的角平分线，
，
，
在中，，，
，
是的平分线，
，
又，
，
．

【解析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，三角形的高线与角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
在直角三角形中根据两锐角互余即可得到，根据角平分线的定义得到的度数，然后利用进行计算即可；
根据三角形内角和求得的度数，根据角平分线的定义得到的度数，由三角形外角的性质求得，利用三角形内角和定理得到．
22.本小题分
如图所示，≌，，交于点，且，，，求和的度数．
【答案】解：≌，
．
，
．
综上所述：，．

【解析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．
由≌，可得，根据三角形外角性质可得，因为，即可求得的度数；根据三角形内角和定理可得，即可得的度数．
23.本小题分
如图，在中，，是的平分线，于，在上，说明：
；
．
【答案】证明：，
，
，
，
是的平分线，
，
，
≌，
，
，
≌，
；
由知≌，
，
，
又由知：，
．

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先利用定理证与全等，得出，再利用定理证与全等，即可得出结论；
利用中的结论和线段和差关系，即可得证结论．
24.本小题分
如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
如图，当____时，的面积等于面积的一半；
如图，在中，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点的运动速度．
【答案】解：或；
≌，即对应顶点为与，与，与；
当点在上，如图所示：
此时，，，
点移动的速度为，
当点在上，如图所示：
此时，，，
即点移动的距离为，点移动的距离为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，点的运动速为或．

【解析】【分析】
此题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形的中线性质及分类讨论思想的方法．
根据三角形的中线把三角形面积分成相等的两部分求解；
根据三角形全等的判定与性质求解．
【解答】
解：当点运动到或的中点时，的面积等于面积的一半，
当运动到的中点时，，
当运动到的中点时，，
故答案为或；
见答案．
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