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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第三章 3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1.下列说法正确的是（ ）
A. 定义在上的函数，若存在，且，满足，则在上为增函数
B. 定义在上的函数，若有无穷多对，使得时，有，则在上为增函数
C. 若在区间上单调递增，在区间上也单调递增，那么在上也一定单调递增
D. 若在区间上单调递增且，则
2.（2025广东广州大同中学期中）函数的单调递减区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（2025河南平顶山期中）下列说法正确的是（ ）
A. 若，当时，，则在上单调递增
B. 函数在上单调递增
C. 函数在定义域内单调递增
D. 函数的单调递减区间为
4.（2025北京第五十五中学期中）设函数的定义域为，则“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.（2023安徽蚌埠期末）若函数的定义域为，则“”是“是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.函数的最大值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 6
D. 12
二、多选题
7.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2025山西阳泉一中期中）定义在上的函数满足：，当时，恒有，则称为“理想函数”。则下列函数中是“理想函数”的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.（2024湖北孝感期中联考）已知函数的定义域为，若且，都有，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.
11.（2025北京延庆区期中），设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为______.
12.（2024山东枣庄第八中学月考）记函数在区间上的最大值和最小值分别为和，则______.
四、解答题
13.判断下列函数的单调性，并用定义法证明：
(1) ，；
(2) ，。
14.（2025湖北襄阳第四中学期中）已知函数
(1) 用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；
(2) 若函数的定义域为，且，求实数的取值范围。
15.（2024湖南永州期末统考）已知函数
(1) 若，求的值；
(2) 若，判断在区间上的单调性，并用定义法证明。
一、单选题
1.答案：D
解析：根据函数单调性的定义，增函数要求对于定义域内某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 。A选项中只提到存在、满足条件，不满足“任意”，错误；B选项有无穷多对也不满足“任意”，错误；C选项，例如，在和上分别单调递增，但在上不单调，错误；D选项，若在区间上单调递增，且，根据增函数定义，必有，正确。
2.答案：C
解析：先求函数的定义域，由，即，，解得。令，函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减。又因为在上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，的单调递减区间是。
3.答案：B
解析：A选项，缺少“任意”两个自变量，不满足函数单调性定义，错误；B选项，对于二次函数，其对称轴为，图象开口向上，所以在上单调递增，正确；C选项，在和上分别单调递增，但在整个定义域内不是单调递增，错误；D选项，在和上分别单调递减，不能用并集表示其单调递减区间，错误。
4.答案：A
解析：若在区间上单调递增，那么当时，能取到最大值，所以“在区间上单调递增”能推出“在区间上的最大值为”；反之，在区间上的最大值为，不一定是单调递增的，比如，所以“在区间上的最大值为”不能推出“在区间上单调递增”，故“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的充分不必要条件。
5.答案：B
解析：仅由不能得出是增函数，因为增函数要求对于定义域内任意的，都有；而如果是增函数，那么一定有，所以“”是“是增函数”的必要不充分条件 。
6.答案：D
解析：对于函数，，设，则，函数可化为。该二次函数图象开口向上，对称轴为，在上单调递增，所以当即时，取得最大值，。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：A选项，，当时，比如但，不能确定函数单调，错误；B选项，，即与异号，当时，当时，函数单调递减，正确；C选项，，说明与同号，函数单调递增，正确；D选项，，说明与异号，函数单调递减，正确。
8.答案：BD
解析：已知，变形可得 。令，则当时，，即在上单调递增。A选项，，则在上单调递减，不符合；B选项，，，对求导得，当时，单调递增，当时，单调递减，不符合；C选项，，，对称轴为，在上单调递增，符合；D选项，，，在上单调递增，符合。
9.答案：ACD
解析：已知，移项可得，即。令，则在上单调递减。A选项，，即，所以，正确；B选项，，即，移项得错误；C选项，因为，，即，正确；D选项，（当且仅当时取等号），，即，正确。
三、填空题
10.答案：
解析：函数的图象开口向上，对称轴为。因为函数在区间上单调递增，所以对称轴，解得。
11.答案：
解析：联立，解得，；联立，解得，；联立，解得，。当时，；当时，；当时，。在处取得最大值，。
12.答案：
解析：，在区间上，单调递减，所以在上单调递减。则，，所以。
四、解答题
13.（1）证明：任取，且。
。
因为且，所以，，，则，，所以，即，所以在上单调递增。
（2），。
任取，且。
。
当时，因为，所以，，，又，所以，即，在上单调递增；
当时，令，即，因为，则，，。所以当时，，单调递减；当时，，单调递增 。
14.（1）证明：
任取，且。
计算：
因为且，所以，，，则，即。
所以在上单调递减。
（2）解：
因为在上单调递减，且，所以根据单调性的性质有：
解第一个不等式，即，解得。
解第二个不等式，解得或。
解第三个不等式，解得。
综合以上三个不等式的解，取交集得。
故实数的取值范围是。
15.
（1）解：
当时，。
先计算，将代入得。
再计算，将代入得。
（2）当时，在区间上单调递增。
证明（定义法）：
任取，且。
计算：
因为且，所以，。
又因为，所以（正数加正数为正）。
因此，即。
所以当时，在区间上单调递增。

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