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2025年下期宁远一中崇德学校高二开学考试
数学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ）
A．0个 B．1个
C．0或1个 D．无数个
3．与的图象关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称
C．原点对称 D．轴对称
4．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径cm，则扇形的周长为
A．cm B．60cm C．cm D．1 080cm
6，在中，，，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
7．对于每一个实数x，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
8，若满足，的有两个，则边长的取值范围为
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：中，，q：中，；
B．p：， q：；
C．p：，q：；
D．p：，q：关于x的方程有两个实数解．
11．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的图象的对称轴方程为
B．的图象的对称中心坐标为
C．的单调递增区间为
D．的单调递减区间为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
13．已知函数__________
14．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______．
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，设函数（其中，，）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的值域．
16，如图所示，在长方体中，，点E是的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求二面角的正切值.
17，在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
18，如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
19，某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
答案
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合，集合，所以,故选D.
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ）
A．0个 B．1个
C．0或1个 D．无数个
【答案】C
【解析】
当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．
故选：C.
3．与的图象关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称
C．原点对称 D．轴对称
【答案】B
【解析】
函数与互为反函数，故其图象关于直线对称．
故选：.
4．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
原式
，所以函数的最小值为.
故选：C
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径cm，则扇形的周长为
A．cm B．60cm C．cm D．1 080cm
【答案】C
【解析】
∵一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的弧长l＝α rπ 20＝6π（cm），
则扇形的周长为l+2r＝6π+2×20＝（6π+40）cm，
故选C．
6，在中，，，，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】，，，
.
故选：D.
7．对于每一个实数x，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为取、、三个函数中的最小值，
所以可根据、、图像绘出的图像，
如图：
联立，解得，的最大值为，
故选：D.
8，若满足，的有两个，则边长的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以 ,
因此
，选D.,
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【解析】
A选项，不等式两边同乘，得，为真命题.
B选项，，则，利用同向可加性，可知，为真命题.
C选项，取，满足，但，为假命题.
D选项，，，故，又，利用同向可乘性，可知，为真命题.
故选：ABD
10．下列所给的各组p、q中，p是q的必要条件是（ ）
A．p：中，，q：中，；
B．p：， q：；
C．p：，q：；
D．p：，q：关于x的方程有两个实数解．
【答案】AD
【解析】
对于A，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件；
对于B，由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的充分不必要条件；
对于C，由可知，当时，；当时，；而当时，若，则，若，则，所以p是q的既不充分也不必要条件；
对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件；
故选：AD
11．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．的图象的对称轴方程为
B．的图象的对称中心坐标为
C．的单调递增区间为
D．的单调递减区间为
【答案】AC
【解析】
的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到，
A. 令，解得，函数的对称轴是，故A正确；
B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确；
C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确；
D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确.
故选：AC
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
【答案】(1,4)
【解析】
由恒过(0,1)，而是由向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，
∴P点坐标为(1,4)．
故答案为：(1,4)．
13．已知函数__________
【答案】
【解析】
因为，应填答案．
14．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______．
【答案】或
【解析】
若命题“”是真命题，
则，解得或
故答案为：或
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，设函数（其中，，）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题设条件知的周期，
即，解得．
因在处取得最大值2，所以．
从而，
所以，．
又由得，
故的解析式为．
（2）
．
因，且，
故的值域为．
16，如图所示，在长方体中，，点E是的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：；
（3）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）如图所示：
连接交于点O，连接，则O为的中点.
∵E是的中点，∴
又平面，平面，
∴平面.
（2）由题意可知，四边形是正方形，∴.
∵平面，平面，∴.
∵平面，平面，，∴平面.
又平面，∴，即.
（3）在中，，，，
∴
∵平面平面，∴.
∵平面，平面，，∴平面.
又∵平面，∴.
∴是二面角的平面角.
在A中，∵，，，
∴，∴二面角的正切值为.
17，在中，点在边上，，
（1）若，求
（2）若，求的值
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
即，解得，(负值舍去).
（2）在中，
∵，，∴，
在中，由正弦定理得，∴①，
在中，由正弦定理得，∴②，
由①②得，∴，
即，∴，
即，,∴.
18，如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以.因为，
所以，所以，
故.又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，
则，，，，
易知为平面的一个法向量.
设为平面的一个法向量，
由，即∴，
取，则，.
依题意，，解得.
于是，，.
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19，某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
【答案】（1）f（x）＝；（2）475件.
【解析】（1）当05时,产品只能售出500件.
所以f（x）＝
即f（x）＝
（2）当0f（x）max＝10.781 25(万元).
当x>5时,f（x）<12－0.25×5＝10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.

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