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重难专攻（十九）求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围
重难点题型1 求椭圆的离心率
1．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、平面向量数量积的定义及辨析
【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.
【详解】由关于的角平分线l的对称点恰好是点P，得，
由椭圆的定义得，设，

在中，由余弦定理得，
由，得，则，
整理得：，即，又，所以.
故选：A
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设的平分线交于点D，设先求出，可得，再利用椭圆的定义，结合余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】设的平分线交于点D，设
则，
所以，
而
设，则，于是﹐
所以，
在，由余弦定理可得：﹐
则，则，
所以椭圆离心率，
故选：C．
3．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据直线与椭圆相交，所得弦长列关于的齐次方程，从而求椭圆的离心率.
【详解】如图：
易知：，，所以.
因为，所以直线的斜率为：.
又直线经过点，所以直线的方程为：.
将代入椭圆方程：，得，
整理得：.
设，，则，.
所以.
所以.
所以.
又，
所以.
化简得：
所以，即.
所以，即椭圆的离心率为.
故选：A
4．（2025·辽宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、向量的线性运算的几何应用
【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可.
【详解】由题意，，，所以，则，
所以，由，，设，
则，，
则，解得，，即，
因为点在椭圆上，所以，化简得，
所以．
故选：B．
5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的半焦距为，则，，
因为为等腰三角形，且为钝角，则，
设点，则，，
则，可得，又因为，故，
所以
，
所以，化简得出.
故答案为：.
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据题意，求得以为直径的圆为，把的中点代入圆的方程，整理得到，结合，得到，即可求解.
【详解】如图所示，由椭圆，可得，
则的中点为，且，
所以以为直径的圆为，
又由的中点在以为直径的圆上，可得，
整理得，
因为，所以，即，
等式两边同除以，可得，解得，
又因为，所以椭圆的离心率为.
故答案为：.
重难点题型2 求双曲线的离心率
1．（2025·安徽蚌埠·三模）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由题意作图，根据直线倾斜角与锐角三角函数，利用平面向量数量积的定义式，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由双曲线，则渐近线方程为，右焦点，，
易知，，在中，，
∵，
∴，∴离心率.
故选：D.
2．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先根据双曲线的对称性和已知条件得出与的关系，再利用向量的运算求出，最后根据双曲线的定义求出离心率.
【详解】因为双曲线关于原点对称，且直线过原点与双曲线交于，两点，所以，.
已知，所以.
由双曲线的定义可知，将代入可得：
，
解得，则.
因为，且，，所以，则.
在中，根据余弦定理可得：
，即.
因为为AB，的中点，所以，.
，，则.
又因为，，所以，则.
双曲线的离心率（），由可得，则.
双曲线的离心率为.
故选：B
3．（2025·山东威海·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】利用双曲线的定义和余弦定理可求答案.
【详解】设，则，；
因为，所以，
在中，，解得；
在中，，解得，所以离心率为.
故选：C
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设，，则题意得P为的重心，则Q为的中点，可得，结合双曲线的定义和已知条件可求出，，，在中利用余弦定理列方程化简，可求出双曲线的离心率.
【详解】如图所示，设，，因为O为的中点，，
所以P为的重心，所以Q为的中点，
又，所以，
由双曲线的定义可知，，所以，
因为，所以，.
在中，，
在中，由余弦定理得，，
化简得，所以，解得（舍去），
故C的离心率为，
故选：A.
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，E是线段MN的中点，P是x轴上一点，且，，则C的离心率为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、垂直关系的向量表示
【分析】根据向量关系得出，结合得出，最后利用点差法即可求出.
【详解】因是线段的中点，，则，故，
又，则，即，
设，则，
过E作x轴的垂线，垂足为R，则，，
则，则，
设，则，
两式作差得，，即，
即，
故C的离心率为．
故答案为：
6．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，与，所围成的四边形面积为4，该四边形的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】首先根据题意画出图象，然后根据四边形面积求出，然后利用内切圆半径求出，联立方程可求得的值，从而求出双曲线的离心率.
【详解】由题意，，因为四边形面积为4，
所以，所以①.
因为，所以四边形为菱形.
通过三角形面积相等，
所以，因为，所以②.
①②联立解得或者，因为，所以.
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
重难点题型3 借助平面几何图形中的不等关系求离心率
1．如图，已知椭圆的左 右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】
设出关键线段长度，余弦定理构建齐次方程求解即可.
【详解】
设椭圆的焦距为，有，
在中，由余弦定理有，有，
可得，有.
在中，由余弦定理有，
可得.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
2．（2025高三·全国·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、圆锥中截面的有关计算
【分析】根据题意，椭圆长轴长，取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，由相似三角形求得，从而可解离心率.
【详解】如图，

圆锥的轴截面是等腰直角三角形，于点O，过点A作平面截该圆锥，
不妨设，则，，
所以椭圆长轴长，
取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，
连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，
由椭圆的对称性可知，取BQ的中点N，连接MN，
则，，，
因此，即，
显然Q，N是线段AB的两个三等分点，即，，
由相交弦定理得，解得，
于是，，
所以椭圆的离心率.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，构建相似三角形求解.
3．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线与反光镜的设计问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解.
【详解】由题意可知直线，都过点，如图，
则有，，
设，则，
所以，故，
所以，
因此，
在，，
即，
整理得即，解得，
所以，
令双曲线半焦距为c，
在中，，即，
解得，
所以的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
4．（2024·辽宁·二模）已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点A，B，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】先证明四边形是矩形，然后利用已知条件求出三边的比例，再利用椭圆的定义求出和与的关系式，最后利用即得离心率.
【详解】设椭圆的左焦点为. 由于三点共线，故由椭圆的对称性知，而，故四边形是平行四边形.
又因为，，故四边形是矩形.
由于四边形是矩形，故，.
从而可设，，，此时.
这得到，所以，.
最后由得到，即，故.
从而椭圆的离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用矩形的性质和椭圆的定义研究的三边，从而避免直接直线与椭圆联立导致繁杂的计算.
重难点题型4 借助题干中的不等信息求离心率
1．（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围.
【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、，
由切线长定理可得，，，
又，，则，
即，解得，
由，即，得，所以．
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】任取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式，构造，，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率的范围.
【详解】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设，
代入椭圆方程，又，所以，
所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线，
由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，因为，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因为双曲线离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.
故选：C.
3．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据两点间距离公式，结合一元二次不等式的性质、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设，，
由，代入不等式中，
化简，得恒成立，
则有，
解得，而，所以
故选：A
【点睛】方法点睛：一般求双曲线的离心率的方法是：根据已知的等式或不等式，构造关于中任意两个量的双齐次方程或不等式，再结合双曲线的离心率大于1进行求解即可.
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、点与圆的位置关系求参数
【分析】由椭圆定义，结合图形可得当四点共线时，据此可得离心率范围.
【详解】由题可得圆半径为，因恒成立，
则.由椭圆定义，可得，
如图，当三点共线时，最大，为，又对于圆外一点P，
当三点共线时最大，又，则，
即，取最值时，四点共线.
则，即，所以，即.
故选：C
5．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由双曲线的离心率求参数的取值范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围
【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据及即可求得的范围．
【详解】解：由题意知椭圆的，双曲线的，
则椭圆与双曲线共焦点，设，则，，
，，
，
，
设，则，
解得，即，
又，且，
，
故的取值范围是．
故答案为：
6．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由椭圆的离心率求参数的取值范围
【分析】先写出点、的坐标，再利用求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆C方程即可化简出实数λ与离心率的关系，从而得到实数λ取值范围.
【详解】根据题意知，由得，
不妨设点在第一象限，则点的坐标为.
由知，且，
从而得到点的坐标为.
将点的坐标代入椭圆C方程得，
整理得，即，
所以.
又因为，所以，即实数λ取值范围为.
故答案为：.
重难点题型5 借助函数的值域求离心率
1．（2025·河南焦作·模拟预测）已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围
【分析】先求出再根据(点为坐标原点)的面积为2，即得，解不等式即得解.
【详解】解：取双曲线的渐近线为，即的方程为，
直线的方程为，
联立，解得
，即，
又
解得
的取值范围为
故选：D.
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（由已知得到关于的方程，解方程即得解）.要根据已知条件选择合适的方法求解.
2．（2025·湖北·模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点（不在上）为轴上一点，线段与交于点，，内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用切线长定理可得出，再由椭圆定义可求出、，结合勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可求出该椭圆的离心率的值.
【详解】设的内切圆分别切该三角形三边于点、、，如下图所示：
由切线长定理可得，，，
所以，
，
因为，则，
由圆的几何性质可得，，故四边形为正方形，且其边长为，
由对称性可知，由椭圆定义可得①，
又因为，即②，
联立①②可得，，
由勾股定理可得，即，
整理可得，即，即，整理可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
3．（2025·河南·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以，
因为，所以，故，
解得，设，，则，
，由余弦定理有，
即，解得，
因为，所以，
化简得，即，
整理得，解得，故B正确.
故选：B．
4．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左 右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、数量积的坐标表示、垂直关系的向量表示
【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解.
【详解】如图，设与交于点，
由，且是的中点，
所以，又，
所以，又，易得，
，
则，代入双曲线方程可得，
设点，则，，
又设，由可得，即，
由，得，即，
化简整理得，
，解得或，
又，，解得.
故选：D.
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴与点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、椭圆中焦点三角形的其他问题
【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得出，，设，结合余弦定理、锐角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达，从而建立关于的方程，解之即可.
【详解】由椭圆的定义可知，，，
由双曲线的定义可知，，所以，，，
设，因为交轴于点，且平分，
所以，，
在中，由余弦定理可知，，
设，则，
由角平分线定理可知，，即，解得，
在中，，
整理可得，因为，解得，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】椭圆定义及辨析、由双曲线的离心率求参数的取值范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围、双曲线定义的理解
【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】设椭圆与双曲线的焦距，，
由题意可得：，，
，，，
，，，.
，
，设，则，
，
.
故答案为：.
重难点题型6 借助圆锥曲线的基本性质或基本不等式求离心率
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点和上顶点分别为，，，直线与椭圆的另一个交点为．若内切圆的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】利用直线与椭圆方程联立，再结合内切圆的面积为，即可求解.
【详解】因为，所以，，所以椭圆方程为，
由题意，得直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，解得．
所以，
因为内切圆的面积为，所以半径为，
由椭圆的定义可知的周长为,
所以，所以，解得．
故选：B．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为，
所以可知双曲线，解得.
因为为双曲线右支上任意一点，
所以，即，
又因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：C
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆上不同两点，如果以线段为直径的圆过原点，且到直线的距离是，则（ ）
A． B．
C． D．点在椭圆上
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】由题意知，设点，由在已知椭圆上，即到直线的距离，可得，利用其可判断各个选项.
【详解】根据题意易知，故设点，
由于均在已知椭圆上，则，
所以，
同理可得，
所以，即，
又由于到直线的距离是，所以，
即，所以，
由于，故点在椭圆外，故D错误；
由于，所以，所以，
即，故C错误；
由于，可得，又，则，即得，
即，解得，故A正确，B错误．
故选：A.
4．（2025·河北·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】过作于点于点于点，利用角平分线的性质，得到，从而可得，再结合条件，可得，即可求解.
【详解】不妨设点在第一象限，由于点为角平分线的交点，
过作于点于点于点，
则，且，
所以，
则，
所以（*），因为，所以，
所以，代入（*）式得.
故选：C.
5．（2025·浙江温州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】作出图形，证明出，可得出，求得的值，结合余弦定理可得出关于、的齐次等式，即可解得该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，、分别为、的中点，则，
又因为，，故，
所以，
由题意可知，故为钝角，
所以，，
故，
在中，，，，
由余弦定理可得，
解得．
故选：A.
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点，由双曲线的渐近线斜率为，求出点与渐近线平行的直线方程，解得点坐标，进而得，利用恒成立即可求解.
【详解】设点，双曲线的渐近线斜率为，
过点与一条渐近线平行的直线方程为，
令得，令得，
同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为，
令得，令得，
所以，
所以
，
，
由恒成立，
所以恒成立，所以，即，
所以，
所以双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：.
7．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线与反光镜的设计问题、正弦定理解三角形、双曲线定义的理解
【分析】结合双曲线的光学性质可知，为双曲线的左焦点，进而结合正弦定理可设，，，，再根据双曲线的定义可得，进而得到，再结合勾股定理可得，进而求解即可.
【详解】由双曲线的光学性质可知，直线，的交点为双曲线的左焦点，
在中，由正弦定理得，
则，设，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式作商得，
设，，
由双曲线的定义可知，，
，
解得，则，，，，
所以，则，即，
在中，，
则，则，即，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难专攻（十九）求圆锥曲线的离心率及离心率的取值范围
重难点题型1 求椭圆的离心率
1．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点，若点关于的角平分线l的对称点恰好是点P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点为，过点的直线与E交于M，N两点．若，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为P，过点F的直线与C交于A，B两点（点A在x轴下方）.若，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东广州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 .
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知是椭圆的一个焦点，分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，若以为直径的圆经过的中点，则椭圆的离心率为 ．
重难点题型2 求双曲线的离心率
1．（2025·安徽蚌埠·三模）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于A，B两点，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2025·山东威海·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的右支交于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在C的右支上，线段与y轴交于点N，，O为坐标原点，过作，垂足为Q，线段交OM于P，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，E是线段MN的中点，P是x轴上一点，且，，则C的离心率为 ．
6．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若，与，所围成的四边形面积为4，该四边形的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 ．
重难点题型3 借助平面几何图形中的不等关系求离心率
1．如图，已知椭圆的左 右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
3．（2025·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁·二模）已知椭圆的右焦点是，过点作直线交椭圆于点A，B，过点与直线垂直的射线交椭圆于点，，且三点共线（其中O是坐标原点），则椭圆的离心率为 .
重难点题型4 借助题干中的不等信息求离心率
1．（24-25高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东·模拟预测）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆的左，右焦点分别为，点在上运动，点在圆：上运动，且恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 ．
6．（2024·辽宁·一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .
重难点题型5 借助函数的值域求离心率
1．（2025·河南焦作·模拟预测）已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北·模拟预测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点（不在上）为轴上一点，线段与交于点，，内切圆的直径为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南·一模）已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左 右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，且它们在第二象限的公共点为点，点与右焦点的连线交轴与点，且平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
重难点题型6 借助圆锥曲线的基本性质或基本不等式求离心率
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点和上顶点分别为，，，直线与椭圆的另一个交点为．若内切圆的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆上不同两点，如果以线段为直径的圆过原点，且到直线的距离是，则（ ）
A． B．
C． D．点在椭圆上
4．（2025·河北·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，射线是的外角平分线，其与轴的交点为点的角平分线与直线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江温州·三模）已知双曲线的左、右焦点分别是、，在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为
7．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点发出的互为反向的光线，经双曲线上的点P，Q反射，反射光线的反向延长线交于点M，且，．制作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
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