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重难专攻（二十一）中点弦问题
重难点题型1 椭圆中的中点弦问题
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 椭圆中的中点弦解题步骤: 第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则， 第二步：两式相减得， 第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。 特别提醒： 若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
1．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设，则，由点差法求解离心率即可.
【详解】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率.
【详解】设，所以，
两式相减得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率.
【详解】依题意，椭圆的左焦点为，，
过作轴，垂足为，由，
得，，则，
设，则有，，
由，两式相减得，
则有，
所以.
故选：B.
4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解.
【详解】设，，的中点为点，
，两式相减得，
化解得，即，得，
所以，
，，由F恰好为的重心，
则，即，得，，
即，，
所以，则，平方后得，
，即，
解得：或，
由条件，得，即，得，
所以.

故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出求出离心率，②由条件构造关于的齐次方程，即可求解离心率.
5．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；
(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，且点
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设点、，则，利用点差法可得出，结合点在直线上，可得出，代入可得出的值；
（3）假设在轴上存在点满足题设条件，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合为定值，可得出，求出的值，即可得出结果.
【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即.
（2）设点、，则，
因为，这两个等式作差可得，
即，
由题意可知，直线的方程为，
线段的中点在直线上，所以，，可得，
所以，故，故直线的斜率为.
（3）在轴上存在点，使是与无关的常数.
证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数，
因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为，
由 得.
设、，则，，
因为，，
所以
设常数为，则，
整理得对任意的恒成立，
，解得，
即在轴上存在点，使是与无关的常数.
6．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；
(2)若线段的中点坐标为，求直线的方程；
(3)记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆 若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)定圆，
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】（1）由，结合三角形的面积公式可得，再由椭圆的方程代入计算，即可得到结果；
（2）由点差法代入计算，即可得到结果；
（3）联立直线与椭圆方程，即可表示出点的坐标，然后联立直线与椭圆方程，表示出点的坐标，从而表示出直线的方程，即可得到直线过定点，
从而得到结果.
【详解】（1）设，由，得，
所以，即，
又因为，所以，
解得，即点Q的横坐标的取值范围为；
（2）设，，
则，两式相减作差可得，
即，即，即，
又，所以，
由直线的点斜式可得，
化简可得，
所以直线的方程为；
（3）
，，
设直线的方程为，
直线的方程为，，
联立，消得，
则，所以，
所以，故，
联立，消得，
则，
所以，所以，
故，
当，即时，，
则直线的方程为，
即，过定点，
当，即时，此时，
直线过定点，
设，因为，，所以过点A，H，O（为坐标原点）三点的圆即为过点A，，O（为坐标原点）三点的圆，
因为过原点，点，点，
所以过点A，H，O（为坐标原点）三点的圆是定圆.
重难点题型2 双曲线中的中点弦问题
双曲线用点差法，式子可以整理成：
1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程.
【详解】设，，
则，两式相减得，
，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：C
2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设、，由，利用点差法求解.
【详解】解：设、，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为线段的中点坐标为，则，
则，两式相减得，
则，
因为，所以，，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.
故选：D.
3．（2025·山西临汾·二模）已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由韦达定理或斜率求弦中点
【分析】联立直线与双曲线的方程，求出点坐标，由给定关系求出离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为，则，直线方程为，
由消去得，
，设，则，
于是点，，
解得，所以双曲线的离心率.
故答案为：
4．已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
设，线段AB的中点，
则，两式相减得，
所以①，
设，线段CD的中点，同理得②，
因为，所以，则三点共线，
所以，将①②代入得：，
即，
所以，即，
所以，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合点差法表示出点的坐标，从而得到的关系式，即可求解.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q．
(1)求动点Q的轨迹曲线C的方程；
(2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标；
(3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或．
(3)存在，
【难度】0.4
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】（1）根据点到直线距离及椭圆定义计算求出椭圆方程；
（2）应用点差法 计算得出 代入椭圆方程计算得出点的坐标；
（3）先联立双曲线及椭圆再得出的方程分别为，方法一：应用点到直线距离结合点差法证明；方法二：应用角平分线定理计算；方法三应用角的正切的关系计算得出直线；方法四：应用直角三角形内切圆性质求解.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
不妨取一条渐近线为，
如，则圆心到直线的距离，
从而解得，
故，
所以，点Q的轨迹C是以为焦点，长轴长为8的椭圆，
因此其标准方程为．
（2）设则且，
两式相减，得，
从而，即，
代入，解得，
故点M的坐标为或．
（3）联立解得，
从而，的方程分别为，
（方法一）设为的平分线n上任意一点，则，
化简得或，
但平分线n与x轴的交点在之间，
检验可知所求角平分线n的方程为．
设的中点为，
则，直线的斜率
因为所以，故，
代入得
但点与点N重合，即在椭圆上，矛盾！
故在曲线C上不存在不同的点S，T，使得点S，T关于直线n对称．
（方法二）设为的平分线n与x轴的交点（如图），
由角平分线定理得，，
即，
（利用E到的距离相等也可），
解得，从而所求角平分线n的方程为．
（以下同方法一）
（方法三）设E为的平分线n与x轴的交点（如图），
易知，，可解得，即，
所以，
从而所求角平分线n的方程为．

（以下同方法一）
（方法四）设为的内心（如图），内切圆半径为r，
则，
可得，即I的坐标为，
从而所求角平分线n的方程为．
（以下同方法一）
6．（2024·河南新乡·二模）已知是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点．
(1)求E的方程；
(2)设分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【难度】0.15
【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】（1）设，代入方程利用点差法得，联立求解即可
（2）直线AB的方程为，联立方程，根据题意结合韦达定理可证均在直线上，求的坐标，利用向量的坐标运算可得，结合几何知识即可得的值.
【详解】（1）因为右焦点，所以，
设，
因为直线过点时，C恰为的中点，
由中点坐标公式得，，
又在双曲线上，
所以①，②，两式相减得，
所以，
因为直线的斜率为，
又，所以，所以，
故双曲线E的方程为.
（2）由（1）知，且分别为E的左、右顶点，可知，
由题意可知：直线AB的斜率可以不存在，但不为0，
设直线AB的方程为，此时直线AB必与双曲线相交，
设，可知，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
因为直线AM的方程为，直线BN的方程为，
则，
可得，则，即，
同理可得，即均在直线上，
则，，
可得
，
可知，即，
可知，所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
重难点题型3 抛物线中的中点弦问题
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得：
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设，
因为直线与相交于A，B两点，所以，
由题意得，
故选：D
2．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦
【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.
【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.
故选：B.
3．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 .
【答案】/0.5
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解.
【详解】
显然斜率均存在，
设直线，则，联立，得，同理，
设，则，化简可得，曲线.
设，则，两式相减可得，，
则.
故答案为：.
4．已知抛物线的焦点为F，Q（2，3）为C内的一点，M为C上任意一点，且的最小值为4，则p＝ ；若直线l过点Q，与拋物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则的面积为 ．
【答案】 2； ．
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦
【分析】把转化为到准线的距离，可得的最小值，从而求得，设，，代入抛物线方程相减求得直线的斜率，得直线方程，可求得原点到直线的距离，直线方程与抛物线方程联立消元，应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，从而得三角形面积．
【详解】是抛物线的准线，过作于，过作于，
则，，易知当是与抛物线的交点时，取得最小值，所以，，
设，，显然，，，
由得，，
直线方程为，即，
原点到直线的距离为，
由，得，，，
，
所以．
故答案为：2；．
5．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求直线l的方程；
(3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解；
（2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解；
（3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可.
【详解】（1）因为抛物线：的焦点为，
所以，
所以抛物线.
（2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得．
因为线段的中点为，所以，
所以，则的方程为，即．
（3）设抛物线的切线方程为，
，即，由，可得，
，设的方程为，
联立，
，同理，
，
点到直线线的距离，所以，
令，
因为，则，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，此时.
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的中点弦
【分析】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得，即可求解；
（2）利用点差法结合中点坐标求解.
【详解】（1）过点A作轴于B，易知点
则
所以
在中，由正弦定理得
得
所以
解得，
所以C的标准方程为
（2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的斜率为
则,两式相减得，整理得
因为的中点为,所以，所以
所以直线l的方程为，即
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难专攻（二十一）中点弦问题
重难点题型1 椭圆中的中点弦问题
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题： （1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线； 中点， ， 椭圆中的中点弦解题步骤: 第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则， 第二步：两式相减得， 第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。 特别提醒： 若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
1．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率；
(3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆：，左右焦点分别为，，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，又P，Q是上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q在第一象限且满足的面积比的面积大，求点Q的横坐标的取值范围；
(2)若线段的中点坐标为，求直线的方程；
(3)记点A在直线上的射影为点H，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点A、H、O（为坐标原点）三点的圆是否为定圆 若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
重难点题型2 双曲线中的中点弦问题
双曲线用点差法，式子可以整理成：
1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·山西临汾·二模）已知双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与的左支交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率是 .
4．已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 .
5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q．
(1)求动点Q的轨迹曲线C的方程；
(2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标；
(3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由．
6．（2024·河南新乡·二模）已知是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点．
(1)求E的方程；
(2)设分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值．
重难点题型3 抛物线中的中点弦问题
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得：
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 .
4．已知抛物线的焦点为F，Q（2，3）为C内的一点，M为C上任意一点，且的最小值为4，则p＝ ；若直线l过点Q，与拋物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则的面积为 ．
5．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求直线l的方程；
(3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值.
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.
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