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重难专攻（二十二）抛物线与阿基米德三角形
重难点题型1 定点问题
1．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可；
（2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可.
【详解】（1）已知当时，，，关于轴对称且．
设，因为，不妨设．
由斜率公式，即，解得，所以，．
面积，解得，抛物线方程为．
（2）

证明：设，，，
则，．
因为，则，所以，
则，，
所以直线的方程为，整理得．
把代入直线方程，得，
所以直线过定点．
2．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一 四象限的交点分别为P，，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为.
（i）若，求直线的方程.
（ii）证明：直线必过定点.
【答案】(1)；
(2)（i）或；（ii）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线相交求直线方程、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设点P的坐标为，根据点在渐近线上列方程求得，再代入抛物线求参数，即可得方程；
（2）（i）设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合的坐标表示列方程得，即可得直线方程；（ii）设关于轴的对称点为，写出直线的方程，根据对称性知定点在必定在轴上，令结合韦达公式化简，即可证.
【详解】（1）因为点关于x轴对称，设点P的坐标为，
双曲线的渐近线方程为，
因为点P在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，
又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
（2）（i）设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设，则①，②，
，
，代入①②得，则，
直线的方程为或；
（ii）设关于轴的对称点为，则直线为，
根据抛物线的对称性，知定点必定在轴上，
令得：
直线过定点.
3．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)相切，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】判断直线与圆的位置关系、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）直线，与抛物线方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算求得，即可求解定点.
（2）利用几何关系得，则，即可求解面积最大值.
（3）设点，则直线，利用与相切得，同理，最后通过的圆心到直线的距离等于半径即可判断.
【详解】（1）由题意可得，点和点在抛物线上，设，
则，得.
因为直线的斜率一定存在，所以设直线.
联立得，则，即，
所以直线过定点
（2）因为直线过定点，点分别在上，
所以，则，
所以.
又因为，所以.
（3）设点，
则.
同理可得，.
令直线，整理得.
因为与相切，所以，
整理得.
同理可得，.
观察结构可得，直线，
所以的圆心到直线的距离为.
故直线与相切.
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线的焦点为F，且为E上三个不同的点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点；
(3)若直线的斜率之和为0，且，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）设直线的方程为，联立抛物线线方程，由韦达定理及斜率公式得到，进而可求解；
（3）由得到，结合（2）得到，再结合弦长公式及三角形面积公式得到，再通过换元求导，确定单调性即可求解.
【详解】（1）由，可得，
由焦半径公式，，
解得：，
所以抛物线E的方程.
（2）由（1）知
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，得：，
，，，
，
所以，
所以直线的方程为，
当时，，故恒过.
（3），
得，，
由（2）知：，
所以斜率为，
如图：
由（2），得：，
得，又，
所以，所以
所以.
又点到直线的距离为：.
所以，（）.
设，则，所以，（）.
设，（）
则，
由，
由，或，
因为，所以函数在上单调递增.在单调递减，
所以.
所以.
即面积的最大值为.
重难点题型2 切线问题
1．（2025·山西·三模）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设，，利用导数的几何意义求出抛物线在点A、B的切线方程，进而求得，则点的轨迹为一条直线，确定线段的最小值为点到直线的距离，结合点线距公式计算即可求解.
【详解】设，，
由，得（不妨设），则，
所以抛物线在点A的切线斜率为，
得抛物线在点A的切线方程为，即.
同理可得抛物线在点处的切线方程为，
，解得，即，
又因为直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
将点代入直线的方程得：①，
设点坐标为，则①式可整理为：，即，
所以点的轨迹为一条直线．
所以线段的最小值为点到直线的距离，
即为．
故选：A
2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程
【分析】联立方程利用判别式为零求出斜率，求出B，C坐标，进而可得答案.
【详解】设点，易知切线的斜率存在，设切线斜率为，则方程为，
联立，，
由可得，
解得，
切线的方程为，令可得，
不妨设,
则
.
故选：A
3．（2024·河北邢台·二模）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】根据条件得到，从而有为的角平分线，再利用，得到，进而求出，即可求出结果.
【详解】如图，过作，设，则，
所以，设抛物线在点处的切线的方程为，
由，消得到，由，
得到，所以由题有，即，
所以，又，所以，
得到为的角平分线，又，所以，
又均为直角三角形，所以，得到，
所以，
故答案：B.
4．（2023·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数量积的坐标表示、求抛物线的切线方程
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．
设．由，求导得，
则直线，直线．
由解得所以，
又在直线上，得．
所以
．
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.
5．（2024·浙江台州·一模）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程、求抛物线的切线方程
【分析】设点，切线的方程为，继而求得切线的斜率，由 可求得的方程，与直线联立可求得点的坐标，继而消参可求得点的轨迹方程，则结合图形可求得得范围.
【详解】因为点为抛物线：上的点（不为原点），
所以可设点，且
当切线的斜率不存在时，切点为原点不合题意；
当切线的斜率存在时，可设为，
联立，消去可得，
化简可得，
令，可得，
化简可得，即，
又，所以的斜率，
所以的方程，
因为点，
所以的斜率为，
则的方程为，
联立，解得，
即，
当时，的方程为， 的方程
则或，满足
由两式相除可得，即
由，可得
再代入，可得，
化简可得，可得，
可知点轨迹为半径为的圆，圆心为,
结合图形可知，
又，，
则.
故答案为：
重难点题型3 面积问题
1．（2024·四川绵阳·三模）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理可解
【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设：，：，，，，
联立得，
所以，即，，，
联立得，
，，，
所以，则，
故，．
又，所以，解得，
则，，
故，
点N到直线AB的距离，
故．
故选：A
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】先根据抛物线方程的条件求出抛物线的基本参数，进而确定焦点和准线方程；再利用三角形重心和相似三角形的性质求出点的坐标；最后根据三角形面积公式计算三角形的面积.
【详解】对于抛物线，已知，可得.那么抛物线的方程为，其焦点，准线的方程为.
则，（为抛物线准线与轴交点）.
因为为的重心，所以为的三等分点且.
又因为，所以与相似，且，即.
不妨设，且在第一象限，由抛物线的性质可知点到准线的距离.
已知，则，解得.
因为点在抛物线上，将代入抛物线方程得，又因为在第一象限，所以.
因为为的三等分点且，所以.
已知.
根据三角形面积公式，对于，则.
故选：B.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，再分情况讨论，求出三角形的面积.
【详解】由题得圆心，所以圆E关于x轴对称，因为抛物线C关于x轴对称，且直线AB过抛物线C的焦点，
所以直线AB垂直于x轴，不妨设点A在第一象限，则，
所以，即，解得或（舍），
所以抛物线C：，，
因为点K与点F关于原点对称，所以，所以在中，，
当时，，；
当时，，此时
；
当时，不存在．
综上，面积的最大值为2．
故选：B．
4．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据题意设出直线方程及点，联立抛物线，又，可解p，继而可解的面积.
【详解】如图，
设，则有，化简为，则，则，则，解得时，，代入解得，则．
故选：B．
5．（2025·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，得到，由，得到，当四点共线且点在点之间时等号成立，即可求解.
【详解】由题可知，所以点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线；准线方程为，
由题得圆，其圆心为，半径为1．
过点作准线的垂线，垂足为，则，
又．当三点共线且点在点之间时等号成立，
所以．
当四点共线且点在点之间时等号成立，所以的最小值为2，
此时，则，所以，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
6．（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】先求得，由条件推得轴，由推出，得到这些的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得，即得的面积.
【详解】
依题意，得，则抛物线的方程为.
由题意可知与抛物线的准线垂直，
在中，，则，
则直线的方程为.
由消去并化简整理得：
易得，则，
又原点到直线的距离为，
故.
故答案为：.
重难点题型4 外接圆问题
1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（ ）
A． B．或 C．或 D．2或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦定理求外接圆半径、由直线与圆的位置关系求参数、求抛物线的轨迹方程
【分析】利用正弦定理求得△外接圆半径，结合几何关系求得外接圆圆心，再根据直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求得.
【详解】由抛物线方程，设圆心，半径为，显然；
因为，，故；
在中，由正弦定理得，解得；
则；
又圆与直线相切，故圆心到直线的距离，
当时，则圆心到直线的距离，解得；
当时，则圆心到直线的距离，解得或（舍），
综上或.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握正弦定理，直线与圆的位置关系的转化，属综合中档题.
2．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线的方程求参数
【分析】先由的外接圆与抛物线C的准线相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再由题意，列出方程求解得p的值，然后利用正弦定理可求得结果
【详解】因为的外接圆与抛物线C的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为，所以圆的半径为，
又因为圆心在OF的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为，
则圆心到准线的距离为，解得，
在中，由正弦定理得，其中R是外接圆半径，
即，所以,
故选：D

3．（23-24高三上·广东湛江·期末）抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据定义求抛物线的标准方程
【分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案.
【详解】因为的外接圆与抛物线的准线相切，
所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
因为圆的面积为，所以圆的半径为6，
又因为圆心在的垂直平分线上，，
所以的外接圆的圆心到准线的距离，可得.
故选：B.
4．（2023·江西南昌·二模）已知F为抛物线C：的焦点，都是抛物线上的点，O为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为 ，点，则的最小值为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】作图，根据几何关系求出抛物线的标准方程，再对 做出几何解释即可.
【详解】依题意作下图：
外接圆半径 ，
∵的外接圆与抛物线C的准线l相切，外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，
又圆心在OF的中垂线上，中垂线的方程为 ，准线方程为，∴，，并且点Q是准线与x轴的交点；
抛物线C的方程为： ，过M作得 ，
∴ ，
∴最小即最大 ，显然当 与抛物线相切时最大，
设直线的方程为，联立得：，
令 ，解得，即，∴，故的最小值为；
故答案为： .
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知点在抛物线C：上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为，，且．
(1)求直线PQ的斜率；
(2)设的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线l与圆G相切，理由见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、判断直线与圆的位置关系、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题
【分析】（1）点在抛物线C上求得，设，，结合题意可得，进而可得直线PQ的斜率；
（2）设线段AP，AQ的中点分别为M，N，根据外接圆的性质求的外接圆的圆心坐标，即可得直线GA的斜率为，利用导数的几何意义求直线l的斜率，即可得结果.
【详解】（1）因为点在抛物线C：上，
则，解得，
所以抛物线C：．
因为点P，Q是抛物线C上的两个动点，设，，，，
则，，
因为，即，整理得，
可得，
所以直线PQ的斜率为．
（2）直线l与圆G的相切，理由如下：
设线段AP，AQ的中点分别为M，N，则，，
可得线段AP的中垂线方程为，①
同理可知：线段AQ的中垂线方程为，②
联立①②并消去y得
，
因为，整理得，
代入①得，得，
所以的外接圆的圆心为，
则直线GA的斜率．
由得，
则l的斜率．
所以，所以，
因此直线l与圆G相切．

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，求点F到直线的距离的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）由题意知圆心必在直线上，由相切即可知，结合已知圆的面积即可求出，进而可求出抛物线的方程.
（2）设，写出直线的方程与联立，求出的横坐标，即可知的横坐标，进而可求出的坐标，由直线的点斜式可写出直线的方程，从而可求出所过定点；则当直线过点时，直线与直线垂直时，分别求得最小值和最大值，即可求得点F到直线的距离的取值范围.
【详解】（1）设外接圆的半径为，图象如图所示：
由图象可知，圆心必在直线上，
故，
所以，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）由（1）知，抛物线的方程为：，则，
设，又，则直线的方程为：，
化简得：，
与联立得：，把代入得：
，即，
则直线的方程：，
化简得，
当，时恒成立，所以直线恒过定点.
当直线过点时，点到直线BN的距离d取得最小值，即；
当直线与直线垂直时，
，
即点到直线的距离d取得最大值，
所以，点到直线的距离的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线和直线求出的横坐标，写出的坐标后，写出直线的方程，判断出直线恒过定点.
7．已知抛物线，，斜率为正数的直线l交抛物线于P，Q两点（在轴的上方、），与线段OF和y轴分别交于A，B两点且满足，的外接圆与抛物线交于点R（不同于O，P，Q）.
（1）求四边形FPOR面积的最大值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.15
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）先求出圆的方程，再联立抛物线方程和圆的方程，求出的坐标后可求面积的表达式，从而可求面积的最大值.
（2）利用（1）、（2）中的结果可得的表达式，从而可求其取值范围.
【详解】（1）由题设可得的斜率必定存在且不为零，否则与没有交点.
设，，则，由题设可得，
故，故，，且，
而，而，
故，解得（舍）或.
设过的圆的方程为：，
则，解得，
故过的圆的方程为：，
所以，
故④，
因为既在抛物线上，又在圆上，故均为④的根，
故，
故，故.
故，故在的右下方.
故四边形的面积为，
而由（1）可得，且，
此时，其中，
且，故.
故四边形的面积的最大值为.
（2）由（1）可得，
而，
其中且，
设，则，
因为，则
，
因为，故，故，
故.
【点睛】思路点睛：对于圆与抛物线位置关系的有关的问题，注意所考虑的点的形式的合理假设，同理注意圆的方程的合理假设，本题计算非常繁琐，注意计算的准确性.
重难点题型5 最值问题
1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线的交点坐标、求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】求出直线的方程，联立抛物线方程，得到两点坐标，求出过点的切线方程，联立后得到，得到答案.
【详解】依题意，，设直线，联立，
则，解得或，不妨设，
设直线方程为，联立得，
，，
，
解得，
故直线的斜率，故直线，
同理可得直线的斜率，故直线，
联立，解得，
即，则.
故选：C.
2．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的参数范围问题
【分析】设出直线，的方程，可知，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦性质，即可得，利用基本不等式的性质，即可求得的的最小值.
【详解】解：抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：
由题意可知，则，联立
整理得：
设，，则，
设，，同理可得：
由抛物线的性质可得：，
∴，
当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.
故选：C
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的轨迹方程、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，结合图形并借助到两点距离的和不小于这两点间距离求出最小值即得.
【详解】设，当时，，则，
化简得：，即；
当时，，则，
化简得，，即，
对于曲线上的任意一点，，当且仅当是线段与曲线的交点时取等号，
而，当且仅当，即点时取等号，
因此，当且仅当点重合于时取等号，
所以的最小值为2.
故答案为：2

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
4．（2022·山西·一模）已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆、抛物线定义的理解、求抛物线上一点到定直线的最值
【分析】如图所示，延长交于点，连接，求出点的轨迹方程为，证明，即得解.
【详解】解：如图所示，延长交于点，连接.
因为的外角平分线是,且,
所以, 因为,
所以,
因为,
所以点的轨迹为以点为圆心2为半径的圆，
所以点的轨迹方程为.
由题得抛物线的焦点坐标为,准线方程为.
所以,
所以
因为.
所以.
所以的最小值是.
故答案为：
5．（2024·全国·模拟预测）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）
①；
②若，则直线MN恒过定点；
③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为；
④若，则直线MN的斜率为．
【答案】①④
【难度】0.4
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】
对于①：根据抛物线的定义分析求解；对于②：设直线MN的方程为，，，根据垂直关系的斜率关系结合韦达定理分析求解；对于③：由题意可知外接圆圆心的纵坐标为，结合抛物线的定义分析求解；对于④：由题意可知直线MN过焦点F，且，结合抛物线的定义分析求解.
【详解】
对于①：根据抛物线的定义得，解得，
所以抛物线，，故①正确；
因为直线MN，OM，ON的斜率必存在，设直线MN的方程为，，，
联立方程，相切y得，
则，，，
因为，所以，
解得，满足，
所以直线MN恒过定点，故②错误；
对于③：因为线段OF的垂直平分线，可知外接圆圆心的纵坐标为，
所以外接圆半径为，故③错误；
对于④：因为，可知直线MN过焦点F，且，
设直线MN的倾斜角为，
不妨设M在第一象限，如图，过点M，N分别向准线作垂线段MA，NB，过点N向MA作垂线段NC，
设，则，，，
则，，，，
所以直线MN的斜率为，故④正确．
故答案为：①④.
【点睛】
方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
6．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；
(2)求的最小值；
(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)N在定直线上，直线方程为：.
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的定直线、求抛物线上一点到定点的最值
【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程；
（2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值；
（3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程.
【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义，
可得准线方程为：，则焦点为，则；
（2）由题可得点F的直线的斜率存在，
设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，
可得，判别式为.
设，由韦达定理，可得，则.
又由抛物线定义可得，
当且仅当，即时取等号；
（3）设，，
则在处的切线方程为：.
令，得，设，则.
又注意到，，
则.因，
则，从而，即N在定直线上，
直线方程为：.
7．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【难度】0.65
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由题意可得动点轨迹为抛物线，由焦点和准线，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由设出的点的坐标，表示出直线的斜率，研究其关系，可得答案；（ii）由点的坐标，表示出三角形的面积，整理函数解析式，利用导数求得最值，可得答案.
【详解】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线.
设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是.
（2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为，
联立可得：，，
则，
.
故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴.
（ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以，
，
则，
令，则，
令，则，解得；
令，解得.
则在上单调递增，在上单调递减，
，所以的取值范围为.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难专攻（二十二）抛物线与阿基米德三角形
重难点题型1 定点问题
1．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
2．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一 四象限的交点分别为P，，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为.
（i）若，求直线的方程.
（ii）证明：直线必过定点.
3．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由.
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线的焦点为F，且为E上三个不同的点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点；
(3)若直线的斜率之和为0，且，求面积的最大值．
重难点题型2 切线问题
1．（2025·山西·三模）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北邢台·二模）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
5．（2024·浙江台州·一模）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
重难点题型3 面积问题
1．（2024·四川绵阳·三模）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 .
6．（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 .
重难点题型4 外接圆问题
1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（ ）
A． B．或 C．或 D．2或
2．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·广东湛江·期末）抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（ ）
A．4 B．8 C．6 D．10
4．（2023·江西南昌·二模）已知F为抛物线C：的焦点，都是抛物线上的点，O为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为 ，点，则的最小值为 ．
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知点在抛物线C：上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为，，且．
(1)求直线PQ的斜率；
(2)设的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，求点F到直线的距离的取值范围.
7．已知抛物线，，斜率为正数的直线l交抛物线于P，Q两点（在轴的上方、），与线段OF和y轴分别交于A，B两点且满足，的外接圆与抛物线交于点R（不同于O，P，Q）.
（1）求四边形FPOR面积的最大值；
（2）求的取值范围.
重难点题型5 最值问题
1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
4．（2022·山西·一模）已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是 .
5．（2024·全国·模拟预测）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）
①；
②若，则直线MN恒过定点；
③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为；
④若，则直线MN的斜率为．
6．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；
(2)求的最小值；
(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
7．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.
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