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重难专攻（十八）轨迹方程的求法
重难点题型1 定义法求曲线的轨迹方程
定义法： 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
1、设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2、（24-25高三下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3、已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4、（24-25高三下·江苏南京·月考）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
5、（2024上·湖北孝感·高三上期末）如图，已知圆，点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为，直线与曲线交于两点，求线段的中点坐标和弦长.
6、（24-25高三上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
重难点题型2 直接法求曲线的轨迹方程
直接法： 如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
1、(2024·江苏省盐城市模拟)(多选) 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：( )
A. 时，点的轨迹为椭圆不含与轴的交点
B. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点
C. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点
D. 时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线不含与轴的交点
2、（2024·浙江温州·统考一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3、（2025·江西南昌·江西师大附中校考一模）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4、在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
5、在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
6、如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度.
重难点题型3 参数法求曲线的轨迹方程
参数法： 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
1、已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.
2、（2024·贵州铜仁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点作x轴垂线，分别与和交于P，Q点，且，，若实数使得成立（其中O为坐标原点）．
(1)求M点的轨迹方程，并求出当为何值时M点的轨迹为椭圆；
(2)当时，经过点的直线l与轨迹M交于y轴右侧C，D两点，证明：直线，的斜率之比为定值．
3、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值；
(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
4、（2024·浙江·模拟预测）如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且.
（1）若，求点的轨迹方程；
（2）若，求面积的最小值.
重难点题型4 相关点法求曲线的轨迹方程
代入法（相关点法）： 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
1、（24-25高三上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）
A．+=1(y) B．+=1(y)
C．+=1(y) D．+=1(y)
2、（24-25高三上·海南·月考）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3、（2024上·甘肃陇南·高二校考期末）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点.
(1)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
(2)过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.
4、( 2025·浙江省杭州市联考) 已知点为圆：上的动点，点的坐标为，若
当时，求的轨迹方程；
讨论的轨迹与的位置关系．
5、(2023·山东省东营市模拟) 如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，若线段的中点为，则点的轨迹方程为 ．
重难点题型5 交轨法求曲线的轨迹方程
交轨法： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
1、（24-25高三上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2、设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3、已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
4、（2024上·北京·高二校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线的倾斜角为，求直线的方程；
5、如图，过抛物线外一定点的直线交抛物线于两点，过两点分别作切线，且的交点为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点且平行于抛物线对称轴的直线交弦于点，求证：为弦的中点；
(3)设过定点且平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点，求点处的切线方程；
(4)求证：点处的切线与点的轨迹所在直线平行．
重难点题型6 其它方法求曲线的轨迹方程
1．（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江西·二模）已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西上饶·一模）如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．圆
4．（2023·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、．
(1)求证：点的轨迹方程为；
(2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难专攻（十八）轨迹方程的求法
重难点题型1 定义法求曲线的轨迹方程
定义法： 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
1、设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】轨迹问题——椭圆
【分析】根据圆的方程，分别找出圆心，的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M的轨迹属性，根据已知条件即可求出轨迹方程.
【详解】解:由圆:，圆心，，
圆:，圆心，半径，
设动圆圆心，半径为，
根据题意可得
整理得，
所以圆心的轨迹是以，为焦点，
，的椭圆，，
动圆圆心的的轨迹方程，所以轨迹为椭圆.
故选：B
2、（24-25高三下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】利用双曲线定义求方程
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．
故选：C．
3、已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程
【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解.
【详解】由圆M：，得圆心，半径，
由圆N：，得圆心，半径．
设圆P的半径为r，则有，．
两式相减得，
所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，
又，所以C的方程为．
故选：B．
4、（24-25高三下·江苏南京·月考）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆
【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案．
【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，，
动圆与圆内切，与圆内切，所以
所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，，
所以动圆圆心的轨迹方程为；
动圆与圆外切，与圆内切，所以，
所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，，
动圆圆心的轨迹方程为，
故答案为：或．
5、（2024上·湖北孝感·高三上期末）如图，已知圆，点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为，直线与曲线交于两点，求线段的中点坐标和弦长.
【答案】(1)
(2)的中点坐标为，弦长.
【分析】（1）连接，根据题意得到，结合椭圆的定义，即可求得的轨迹方程；
（2）设，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，即可求解.
【详解】（1）（1）连接，由题意得圆的圆心为，半径为，且，
所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，其方程为.
（2）解：设
联立方程组，整理得，
则，且，
所以的中点坐标为，弦长.
6、（24-25高三上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程．
（2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解.
【详解】（1）因为，，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，从而，所以．
由题设得，，，
设点，则有，化简可得，
又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，点的轨迹方程为，
由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在，
设弦的两端点分别为，
则①，②，
由①②，可得，
依题意，，代入上式，，
故有，
故以为中点的弦所在的直线方程为，即.
重难点题型2 直接法求曲线的轨迹方程
直接法： 如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
1、(2024·江苏省盐城市模拟)(多选) 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：( )
A. 时，点的轨迹为椭圆不含与轴的交点
B. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点
C. 时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点
D. 时，点的轨迹为焦点在轴上的双曲线不含与轴的交点
【详解】设，则，，
由题意可得，，故．
若，方程化为，表示了以原点为圆心，为半径的圆除，点；
若，方程化为，点的轨迹为焦点在轴的椭圆不含与轴的交点；
若，方程化为，表示焦点在轴，以、为短轴端点的椭圆不含与轴的交点；
时，方程化为，点的轨迹为焦点在轴的双曲线不含与轴的交点．
综上可知，BCD正确．
故选BCD．
2、（2024·浙江温州·统考一模）动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据距离公式即可化简求解.
【详解】根据题意可得，平方化简可得，
进而得，
故选:A
3、（2025·江西南昌·江西师大附中校考一模）设过点的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，根据求出，再利用，求出轨迹方程，注意.
【详解】由题意得：，设，
因为，所以，
解得：，
因为，所以
所以，
因为，
所以，
即.
故选：D
4、在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5、在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
6、如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用相关点法求解轨迹方程，设出，得到，代入中，得到轨迹方程；
（2）求出过点且斜率为的直线方程，联立第一问所求的曲线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出答案.
【详解】（1）设，则，，
因为，所以，即，故，
所以，
因为P是圆上的点，所以，即；
（2）过点且斜率为的直线方程为，
与联立得：，易得，
设直线与的两交点坐标分别为，
则，，
故被C所截线段的长度为.
重难点题型3 参数法求曲线的轨迹方程
参数法： 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
1、已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.
【答案】(1)，双曲线
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意消去后求解，
（2）由条件设出和方程，与双曲线方程联立后由弦长公式求解后证明．
【详解】（1）由题意知，故，所以E的方程为.
由方程得，，所以E是以，为焦点，实轴长为的等轴双曲线.
（2）证明：当直线垂直于x轴时，则AB为通径，故；
为x轴，此时为实轴长，故，所以.
当直线不垂直x轴，设：，：，，
与E联立方程，消去x并整理得，
因为与E交于两点，故，此时，
所以，
同理，所以.

2、（2024·贵州铜仁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点作x轴垂线，分别与和交于P，Q点，且，，若实数使得成立（其中O为坐标原点）．
(1)求M点的轨迹方程，并求出当为何值时M点的轨迹为椭圆；
(2)当时，经过点的直线l与轨迹M交于y轴右侧C，D两点，证明：直线，的斜率之比为定值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据题意，结合，求得，结合的范围，即可求得点M的轨迹及方程；
（2）当时，得到点M的方程为，设CD方程为，联立方程组，求得，结合直线的斜率公式，准确化简，即可求解.
【详解】（1）解：由动点，可得，，，
因为，所以，
化简得，
当时，方程为，其中M点的轨迹为椭圆．
（2）证明：当时，M的方程为，可得点为双曲线，
设CD方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得且，，
直线的斜率分别为，
又由
所以
所以为定值．
3、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值；
(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)138；
(3)存在点，使得为定值.
【难度】0.4
【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、已知切线求参数、直线与圆中的定点定值问题
【分析】（1）设点，由题意可得，利用两点之间的距离公式化简整理可得；
（2）先由的轨迹方程求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理，从而转化为线性规划问题处理；
（3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解.
【详解】（1）设点，由题意可得，即，
化简可得，
所以点P的轨迹方程为；
（2）设，由(1)得点满足的方程，
又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为，设，
所以，
令，则，可视为直线即在y轴上的截距，
的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，
所以，所以，
因此的最大值为；
（3）存在点，使得为定值.
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，
设，，则，，
又，，
则
要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值；
当直线的斜率不存在时，，，
由可得，所以，
综上所述，存在点，使得为定值.
【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
（2）与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法：
①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；
②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
4、（2024·浙江·模拟预测）如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且.
（1）若，求点的轨迹方程；
（2）若，求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【难度】0.15
【知识点】抛物线的应用
【分析】（1），所以可设，由向量的坐标表示可求得，同理，可求出点坐标，将代入抛物线方程，可得到为方程的两根，利用韦达定理可解出点P的轨迹方程；（2）
设的中点为，可知，所以，由（1）可求出及，从而求出面积，结合的范围求出面积的最小值.
【详解】（1）设，，，
由得，，
则
因为，所以可设，，
由向量的坐标表示可求得，，
将，的坐标代入抛物线方程，得，，
化简得，，
所以，为方程的两根，
所以，，解得.代入可得，因为，所以有.
所以点的轨迹为.
（2）设的中点为，
由（1）可知，且，
由（1）知.
因为，所以.
由，代入得，，
可知轴，所以，
又，
所以，
显然当时，取得最小值.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于难题.
思路点睛：（1）由，可知，，用向量坐标公式可求出两点坐标，代入抛物线，得到相关量；（2）求三角形面积公式，三角形定点和对边中点连线平行于轴，可采用面积分割的方法.
重难点题型4 相关点法求曲线的轨迹方程
代入法（相关点法）： 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
1、（24-25高三上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ）
A．+=1(y) B．+=1(y)
C．+=1(y) D．+=1(y)
【答案】A
【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程.
【详解】

如图，设点，，则，
因点在圆上 ，则 （*），
又因轴，且M是线段上的点，，则，
则得，即，
将其代入（*），即得是点M的轨迹方程.
故选：A.
2、（24-25高三上·海南·月考）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，利用三角形重心坐标公式可得，代入椭圆方程中化简即可.
【详解】由题意知、是椭圆的短轴的两个端点，
所以，
设，
由为的重心，
所以，
又为椭圆上一动点，
所以即，
所以有：，
又为的重心，
所以，即的轨迹方程为.
故选：B.
3、（2024上·甘肃陇南·高二校考期末）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点.
(1)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
(2)过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点与顶点坐标可得椭圆方程，再利用相关点法可求得点的轨迹方程；
（2）当直线斜率不存在时，不成立，当斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而可表示面积，列方程即可解得.
【详解】（1）由已知得椭圆的短半轴，焦半距，则长半轴，
又椭圆的焦点轴上，
则椭圆的标准方程为，
设线段的中点为，点的坐标是，
由，得，
由点在椭圆上，即得，
线段中点的轨迹方程是；
（2）当直线斜率不存在时，的方程为，此时，因此的面积，不成立；
当直线斜率存在时，设该直线方程为，
联立方程组，得，，
则，，
所以，
又点到直线的距离，
的面积，
即，解得.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
4、( 2025·浙江省杭州市联考) 已知点为圆：上的动点，点的坐标为，若
当时，求的轨迹方程；
讨论的轨迹与的位置关系．
【详解】设，，，，
由，可得，，，
又因为，可得的轨迹方程为：．
由，可得，，，
代入，可得的轨迹方程为：，
所以的轨迹是以为圆心设为，为半径的圆，．
所以当时，，两圆外离；当时，，两圆外切；
当时，，两圆相交．
5、(2023·山东省东营市模拟) 如图，已知椭圆的焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，若线段的中点为，则点的轨迹方程为 ．
【详解】点关于的外角平分线的对称点在直线的延长线上，
椭圆长轴长，
又是的中位线，故，
设，则，，即，
即的轨迹方程为，
故答案为．
重难点题型5 交轨法求曲线的轨迹方程
交轨法： 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
1、（24-25高三上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程.
【详解】设，，.
因为，所以.
已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：.
已知，，则直线的方程为.
因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程.
对于直线的方程，可得.
对于直线的方程，可得.
又因为，所以，即.
故选：D.
2、设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程.
【详解】
如图，设直线与的交点为，则
∵共线，故①，又∵共线，故②.
由①，② 两式相乘得（*）,
因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：，
化简得：，即P的轨迹方程为.
故选：C.
3、已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
【答案】（）．
【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案.
【详解】设，
因为椭圆的长轴端点为，
设直线和的交点为，
因为三点共线，所以，，
因为三点共线，所以，
两式相乘得，（）,
因为，所以，即，
所以，整理得（），
所以直线和的交点的轨迹方程（）.
故答案为：（）.
4、（2024上·北京·高二校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线的倾斜角为，求直线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由过动点向轴作垂线，垂足为，可得，继而由可得，列式化简即可得到动点的轨迹方程；
（2）由直线的倾斜角为，可得直线的斜率，结合，可得直线的斜率，结合点坐标，利用点斜式可得直线的方程.
【详解】（1）因为过动点向轴作垂线，垂足为，
所以，
又，所以，，
又，即，
所以可得,,化简可得，
因为与两点不重合所以
则动点的轨迹方程.
（2）因为直线的倾斜角为，
所以直线的斜率，
又，所以直线的斜率,
又点，所以直线的方程为,
即.
5、如图，过抛物线外一定点的直线交抛物线于两点，过两点分别作切线，且的交点为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点且平行于抛物线对称轴的直线交弦于点，求证：为弦的中点；
(3)设过定点且平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点，求点处的切线方程；
(4)求证：点处的切线与点的轨迹所在直线平行．
【答案】(1)或．
(2)证明见解析
(3)
(4)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设，设直线方程为，代入抛物线方程并应用韦达定理得，注意由得的范围，写出过两点的切线方程，联立求得点坐标，消去参数得点轨迹方程（注意范围限制）；
（2）在（1）的证明过程中可得，从而得证；
（3）求出点坐标，后由（1）可得切线方程；
（4）由（1）（3）结论可证．
【详解】（1）设，显然直线的斜率存在，可设其方程为，
由得，
且，解得且，
，，
设点处的切线方程为，
由得 ，
则，，，解得，
所以点处的切线方程为，即，即，
同理点处切线方程为，
，
又，则得，
又因，，
代入得，消去得，
又且，所以或，
点的轨迹方程是或．
（2）由（1）知，因轴，故，
即中点的纵坐标与点的纵坐标相等，所以为弦的中点．
（3）代入得，即，
由（1）知点处的切线方程，即．
（4）由（1）知点的轨迹所在直线方程是，它与直线平行．
重难点题型6 其它方法求曲线的轨迹方程
1．（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题
【分析】根据题意点到的距离为，由，在平面中建系，即可得点的轨迹方程，即可求解.
【详解】∵平面，平面，
∴即点到的距离为，
∴，
如图平面中以C为原点建立平面直角坐标系，
设，，，
∵，
∴，整理得，
即的轨迹是以为圆心，半径为4的圆上，
即点的轨迹的长度为，
故选：D.
2．（2025·江西·二模）已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】空间向量数量积的应用、立体几何中的轨迹问题
【分析】利用数量积的运算律得，结合数量积的几何意义确定点的轨迹，进而求出面积.
【详解】在棱长为1的正方体中，
，
则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为，
因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为，
在正方体中易证平面，点到平面的距离为，
取的中点，易得平面平面，
则平面，且点到平面的距离为，
所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为.
故选：B
3．（2024·江西上饶·一模）如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．圆
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、立体几何中的轨迹问题
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间角的向量法结合空间向量的坐标运算可求得的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型.
【详解】如图，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
由题可设，则向量，向量，
所以，即.
将上式两边同时平方可得，即.
则，即.
所以.故轨迹为双曲线的一支.
故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、．
(1)求证：点的轨迹方程为；
(2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)是，定值为
【难度】0.4
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题
【分析】（1）求出椭圆的标准方程，分两种情况讨论：①当两直线的斜率都存在时，设直线、的斜率分别为、，作变换，，根据点且与圆相切的直线的斜率为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径可得出关于的方程，利用韦达定理可得出点的轨迹方程；②当直线、与两坐标轴分别垂直，直接验证即可.综合可证得结论成立；
（2）由，分两种情况讨论：①若、分别与两坐标轴重合；②、的斜率都存在.求得的值，可得出点的轨迹方程，再利用圆的面积公式求解即可.
【详解】（1）证明：在椭圆中，因为，则，，
椭圆的方程为，
过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，
则点在椭圆上，则，解得，
所以，椭圆的标准方程为，
①当直线、的斜率都存在时，设直线、的斜率分别为、，
作变换，，则椭圆方程变为，
记，，则，设点，
①当直线、的斜率都存在时，
设过点且与圆相切的直线的斜率为，
则切线的方程为，即，
由题意可得，整理可得，
由韦达定理可得，整理可得，
即，即；
②作放射变换前，若直线、与两坐标轴分别垂直，则点，
此时，点的坐标满足方程.
综上所述，点的轨迹方程为.
（2）解：边上的垂足所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为，
则，
所以，，
所以，，下面来求的值：
①若、分别与两坐标轴重合，则；
②若、的斜率都存在，设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立可得，，
所以，，同理可得，
所以，，
综上所述，，所以，，
所以，点的轨迹方程为.
所以，原点在边上的射影所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
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