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4．1　数列的概念
第一课时　数列的概念与简单表示法
[新课程标准]
1．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是一种特殊函数．
3．通过掌握数列的概念及表示，培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．　
知识点一　数列及其有关概念
(一)教材梳理填空
1．数列的定义及表示
(1)定义：一般地，按照确定的顺序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为首项)，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}，其中n∈N*.
2．数列与函数的关系
从函数观点看，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项 an，记为an＝f(n)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．(　　)
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．(　　)
(3)数列的项可以相等．(　　)
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，________，，….
答案：3
知识点二　数列的分类与通项公式
(一)教材梳理填空
1．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)数列1,1,1，…是无穷数列．(　　)
(2)所有的自然数构成的数列均为递增数列．(　　)
(3)有些数列没有通项公式．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n，令n2－2n＝15，得n＝5或n＝－3(舍去)．
答案：5
3．若数列的通项公式为an＝则a2·a3等于________．
答案：20
题型一　数列的概念及分类
[学透用活]
[典例1]　下列说法正确的是(　　)
A．{0,1,2,3,4,5}是有穷数列
B．所有有理数能构成数列
C．－2，－1,1，x,3,4,5是一个项数为7的数列
D．数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列
[解析]　紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．因为{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，故A错误；所有有理数能构成数列，故B正确；当x代表数时，它是项数为7的数列；当x不代表数时，它不是数列，故C错误；数列1,2,3,4，…，2n，共有2n项，是有穷数列，所以D错误．
[答案]　B
[方法技巧]
数列及其分类的判定方法
(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．
(2)判断递增数列与递减数列可以从两个角度入手：
①观察从第2项起，数列中每一项与前一项的大小关系，依据定义进行判断；
②由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(低)，则图象呈上升(下降)趋势，即数列递增(减)．
[对点练清]
[多选]下列说法正确的是(　　)
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是三角形
解析：选ACD　根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．
题型二　由数列的前几项求通项公式
[学透用活]
掌握以下数列的通项公式：
数列 通项公式
1,2,3,4，… an＝n
1,3,5,7，… an＝2n－1
2,4,6,8，… an＝2n
1,4,9,16，… an＝n2
1,2,4,8，… an＝2n－1
－1,1，－1,1，… an＝(－1)n
9,99,999,9 999，… an＝10n－1
1，，，，… an＝
[典例2]　写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)2，－，，－，，－，…；
(4)5,55,555,5 555，….
[解]　(1)因为a1＝3＝21＋1，a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，a4＝17＝24＋1，a5＝33＝25＋1，…，所以该数列的一个通项公式为an＝2n＋1.
(2)观察可知，各项都可以化成分母为2，分子为对应项数的平方的形式，所以该数列的一个通项公式为an＝.
(3)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，，－，…，所以an＝.
(4)因为数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式是an＝10n－1，所以将题中数列各项改写可得5＝×9,55＝×99,555＝×999,5 555＝×9 999，…，由此可得该数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
[方法技巧]　由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)对于分式形式的数列，可以分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
[对点练清]
1．[与图形有关的通项公式]如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析： 我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：an＝4n＋2
2．写出下列数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数．
(1)－，，－，，…；
(2)，，，，…；
(3)－1，，－，，－，，….
解：(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n.各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·，也可写为an＝
题型三　利用通项公式确定数列的项
[学透用活]
[典例3]　已知数列的通项公式为an＝2n2－n.
(1)求这个数列的第5项，第10项．
(2)试问15是不是{an}中的项？3是不是{an}中的项？
[解]　(1)∵an＝2n2－n，
∴当n＝5时，a5＝2×52－5＝45；
当n＝10时，a10＝2×102－10＝190.
(2)an＝2n2－n，令an＝15，则有2n2－n－15＝0，
解得n＝3或n＝－(舍去)．
故15是该数列的第3项．
令an＝3，则有2n2－n－3＝0，该方程不存在正整数解，故3不是该数列的项．
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．　　
[对点练清]
1．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
∴an＝.
由＝2 3n－1＝20 n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
2．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解：(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n，
令(－3)n＝－81，无解．
∴－81不是此数列中的项．
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知数列{an}的一个通项公式为an＝a·3n－1，且a2＝8，则a4＝(　　)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．26　　　　　D．80
解析：选D　因为a2＝8，代入通项公式可得a2＝a·32－1＝9a－1＝8，解得a＝1，所以an＝3n－1，所以a4＝34－1＝80.
2．已知数列{an}的通项an＝n2＋λn(λ∈R)，若 p，q∈N*且p≠q，使得ap＝aq＝－120，则λ的取值个数为(　　)
A．0个　　　　　B．1个　　　　　C．8个　　　　　D．无数个
解析：选C　令an＝n2＋λn＝－120，即n2＋λn＋120＝0，由题意可得p，q为方程n2＋λn＋120＝0的两个不等正整数解，由根与系数的关系可得可知λ为负整数，因为120＝1×120＝2×60＝3×40＝4×30＝5×24＝6×20＝8×15＝10×12，所以λ＝－(p＋q)＝－121，－62，－43，－34，－29，－26，－23，－22，共8个．
二、应用性——强调学以致用
3．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为(　　)
A．162　　　　　B．180　　　　　C．200　　　　　D．220
解析：选C　由数列前10项的规律可知，当n为偶数时，an＝；当n为奇数时，an＝ ，所以a20＝＝200.
4．如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“1,2,3，…，200”的标签号，某人从第一道门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开．数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为__________．
解析：第一轮报数，标签号中剔除奇数，剩余偶数，即2的倍数；第二轮报数，标签号2,4,6，…，200的报数结果分别为1,2,3，…，100，剔除标签号2,6,10，…，198，剩余的标签号为4的倍数；第三轮报数，标签号4,8,12，…，200的报数结果分别为1,2,3，…，50，剔除标签号4,12,20，…，196，剩余的标签号为8的倍数；重复以上步骤可得，当门数M∈[2k,2k＋1)(k∈N)时，最后留下的一道门的标签号为2k，故标签号为128.
答案：128
[课下过关检测]　
1．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的(　　)
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
解析：选C　∵an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．
2．数列，，，，…的第10项是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选C　由题意知数列的通项公式是an＝(n∈N*)，所以a10＝＝.故选C.
3．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为(　　)
A．an＝(10n－1) B．an＝(10n－1)
C．an＝ D．an＝(10n－1)
解析：选C　因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－，而数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的，故选C.
4．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　)
A. B．5
C．6 D．
解析：选B　a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log2 32＝log225＝5.
5．已知数列{an}的前四项为11,102,1 003,10 004，…，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1,102＝102＋2,1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
6．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________项．
解析：令an＝n2－8n＋12<0，
解得2又因为n∈N*，
所以n＝3,4,5，一共有3项．
答案：3
7．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
答案：5n－4
8．已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：
①an＝；②an＝；③an＝sin2；④an＝；⑤an＝⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号)．
解析：判断一个式子是否可以作为数列的通项公式，只要把适当的n代入，验证是否满足即可，若要确定它是通项公式则必须加以证明．将n＝1,2,3,4分别代入验证可知①③④均可作为数列{an}的通项公式，而②⑤⑥不可作为数列{an}的通项公式．
答案：①③④
9．写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；(2)，，，，…；
(3)－1，，－，，….
解：(1)各项是从4开始的偶数，
所以an＝2n＋2，n∈N*.
(2)每一项分母可写成21,22,23,24，…，分子分别比分母少1，故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N*.
(3)通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分数－，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式，所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，n∈N*.
10．已知数列{an}中，a1＝a＞0，an＋1＝f(an)(n∈N*)，其中f(x)＝.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的一个通项公式．
解：(1)∵a1＝a，an＋1＝f(an)，
∴a2＝f(a1)＝，a3＝f(a2)＝＝，
a4＝f(a3)＝.
(2)根据(1)猜想{an}的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
1．[多选]一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是(　　)
A．an＝n B．an＝n3－6n2＋12n－6
C．an＝n2－n＋1 D．an＝
解析：选ABD　对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2＋12n－6，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．
2．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是(　　)
A．28 B．29
C．32 D．36
解析：选D　设3,6,10,15,21，…为数列{an}，则an＝，当n＝7时，a7＝＝36.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝ln(n2－1)－ln n2(n∈N＋)，则ea2＋a3＋a4＝(　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　D.
解析：选D　因为an＝ln(n2－1)－ln n2＝ln，所以a2＋a3＋a4＝ln ＋
ln ＋ln ＝ln ，则ea2＋a3＋a4＝eln ＝.
4．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式．
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解：(1)∵an＝pn＋q，a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
∴n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，
因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
5．已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N*.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项；
(3)求an＋1及a2n.
解：(1)a10＝＝＝.
(2)令an＝＝，
当n为偶数时，＝，整理得8n2－33n－35＝0，解得n＝－或n＝5.∵n∈N*且n为偶数，∴原方程无解；当n为奇数时，∵n∈N*，∴an<0，∴不是该数列中的项．综上所述，不是该数列中的项．
(3)an＋1＝
＝；
a2n＝＝.
第二课时　数列的通项公式与递推公式
[新课程标准]
1．了解数列的递推公式．
2．了解数列的前n项和Sn与an的关系并应用．
3．通过应用数列的通项公式与递推公式求通项，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养．　
知识点一　数列的递推公式
(一)教材梳理填空
　如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)3,3.1,3.14,3.142，…可以写出递推公式．(　　)
(2)2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以写成：a1＝2，an＋1＝an＋2.(　　)
答案：(1)×　(2)√
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋1，则a5＝(　　)
A．0 B．3
C．5 D．8
解析：选D　利用递推公式可得
a3＝a1＋a2＝1＋2＝3，
a4＝a2＋a3＝2＋3＝5，
a5＝a3＋a4＝3＋5＝8.
3．若数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 024的值为(　　)
A. B．－1
C．2 D．1
解析：选A　由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列．
而2 024＝674×3＋2，故a2 024＝a2＝.
知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系
(一)教材梳理填空
1．数列的前n项和
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
2．数列的前n项和Sn与通项an的关系
对于任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都有这样的关系：an＝
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝n2－n，则an＝2n－2.(　　)
(2)已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝3n－2，则an＝2×3n－1.(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(　　)
A．1 B．9 C．10 D．55
解析：选A　令n＝9，m＝1，则S9＋S1＝S10，即a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________．
解析：法一：由Sn＝n2，得an＝2n－1，于是a8＝2×8－1＝15.
法二：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：15
题型一　由数列的递推关系求项
[典例1]　(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 024.
(2)设数列{an}满足写出这个数列的前5项．
[解]　(1)a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－，a4＝＝＝，a5＝＝＝2＝a1，∴{an}是周期为4的数列，∴a2 024＝a506×4＝a4＝.
(2)由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
[提醒]　由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．　　
[对点练清]
1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A．1 B． C. D．
解析：选C　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
解：(1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，
a4＝×＝，a5＝×＝.
(2)猜想：an＝.
题型二　由数列的递推关系求通项公式
[学透用活]
通项公式和递推公式的异同点
不同点 相同点
通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an
[典例2]　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
[解]　(1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3＝，
…，
an－an－1＝.
以上各式累加得，
an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
又a1＝－1，∴an＋1＝1－，
∴an＝－.
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
又a1＝1，∴an＝···…···a1＝···…···1＝.
(1)给出了递推公式求通项公式，常用的方法有两种：一是从特例入手，归纳猜想其通项公式；二是从一般规律入手，其常用方法有迭代法、累加(乘)法等．
(2)递推公式是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.用递推公式给出一个数列，必须给出以下两点：①基础——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系．　　
[对点练清]
1．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1 ＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5 050.
答案：5 050
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＋1＝，∴an＋1an＝2an－2an＋1.
两边同除以2an＋1an，得－＝.
∴－＝，－＝，…，－＝.
把以上各式累加得－＝.
又a1＝1，∴an＝.
故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
题型三　由前n项和Sn求通项公式an
[学透用活]
[典例3]　设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3，求{an}的通项公式．
[解]　因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3.
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
两式相减得2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，
即an＝3n－1，所以an＝
(1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示．
(2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝　　
[对点练清]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，则其通项公式an＝________；若它的第k项满足5＜ak＜8，则k＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10.
注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10.
5＜ak＜8即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9.
又k∈Z，所以k＝8.
答案：2n－10　8
2．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，求数列{an}的通项公式．
解：由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
可得[Sn－(n2＋n)]·(Sn＋1)＝0.
又{an}为正项数列，所以Sn＝n2＋n.
当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.
注意到n＝1时也满足a1＝2×1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
题型四　数列中的最大项、最小项
[学透用活]
[典例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解]　(1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(2)法一 ∵an＝n2－5n＋4＝2－，
可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，
且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二 设第n项最小，由
得
解不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2或3时an有最小值且a2＝a3，
∴最小值为22－5×2＋4＝－2.
关于数列中的最大(小)项问题的解决策略
(1)利用数列单调性可以求数列中的最大(小)项问题．
常见方法：
①构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．
②利用(n≥2)求数列中的最大项an；利用(n≥2)求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围，常利用以下等价关系：
数列{an}递增 an＋1＞an恒成立；数列{an}递减 an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．　　
[对点练清]
已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，请说明理由．
解：法一：∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)·n＝n·，
∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…，
∴数列中有最大项，最大项为第9,10项，
即a9＝a10＝.
法二：当k≥2时，设ak是数列{an}的最大项，
则即
整理，得解得9≤k≤10，
∴k＝9或k＝10.又a1＝[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．[多选]若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　)
A．Tn无最大值 B．an有最大值
C．T2 024＝3 D．a2 024＝3
解析：选BCD　因为a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，所以a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝3，…，因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，an有最大值3，故B正确；a2 024＝a8＝3，故D正确；因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，故A错误；T2 024＝T2＝3，故C正确．故选B，C，D.
二、应用性——强调学以致用
2.如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用an表示解下n(n≤9, n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下5个圆环所需的最少移动次数为(　　)
A．5 B．10 C．21 D．42
解析：选C　由a1＝1，an＝得a5＝2a4＋1＝4a3＋1＝4(2a2＋1)＋1＝8a2＋5＝16a1＋5＝21.故选C.
3．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　)
A．b1C．b6解析：选D　当n取奇数时，由已知b1＝1＋，b3＝1＋，因为>，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；当n取偶数时，由已知b2＝1＋，b4＝1＋，因为>，所以b2，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确．故选D.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且任意n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
解析：任意n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，任意n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0即可．所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式为an＝n－6(n∈N*)．
答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)
[课下过关检测]　
1．已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝an，则数列{an}是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选B　因为＝＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减数列．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　)
A．－1 B．－2 C．－4 D．－8
解析：选D　∵数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，
∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.
3．[多选]数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　)
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
解析：选BC　由已知得，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，经检验，B、C正确．
4．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，则a3等于(　　)
A．5 B．9 C．10 D．15
解析：选D　∵数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an，∴3＝(2－λ)×1，解得λ＝－1，即an＋1＝(2n＋1)·an，∴a3＝(2×2＋1)a2＝5×3＝15.故选D.
6．已知函数f(x)的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2 026的值为________.
x 1 2 3 4
f(x) 3 1 2 4
解析：由题知，an＋1＝f(an)，a1＝1.∴a2＝f(1)＝3，a3＝f(a2)＝f(3)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝1，…，依此类推，可得{an}是周期为3的周期数列，∴a2 026＝a675×3＋1＝a1＝1.
答案：1
7．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，则数列{an}的通项公式为________．
解析：由已知得a1＝1，且
①－②得，nan＝2n－1，所以an＝.
当n＝1时，此式也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
答案：an＝
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，若对任意n∈N*都有an≥a5，则实数b的取值范围是________．
解析：由题意得n＋≥5＋，所以n－5≥×b，即(n－5)(5n－b)≥0.当n＜5时，b≥5n，所以b≥20；当n＞5时，b≤5n，所以b≤30，因此实数b的取值范围是[20,30]．
答案：[20,30]
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式．
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－1－＝n＋.
当n＝1时，a1＝S1＝≠1＋，
故数列{an}的通项公式为an＝
10．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，a＝－7，
∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4；a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
并结合函数f(x)＝1＋的单调性，
∴5＜＜6，
∴－10＜a＜－8，即a的取值范围为(－10，－8)．
1．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，6)
解析：选D　依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ＜0，即λ＜2(2n＋1)对任意的n∈N*恒成立，注意到当n∈N*时，2(2n＋1)的最小值是6.因此λ＜6.即λ的取值范围是(－∞，6)．
2．[多选]数列{an}的通项公式为an＝n＋，则(　　)
A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3
B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0
C．当0D．当a<2时，{an}为递增数列
解析：选ABD　当a＝2时，an＝n＋，由f(x)＝x＋的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0an，即n＋1＋>n＋，得a3．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n∈N*，n≥2)，则＝______；a2 026＝______.
解析：分别令n＝2,3可得a2＝1，a3＝.由题意得an－an－1＝an－1(n≥3)，即an＝an－1，所以＝.所以an＝××…×a3＝(n≥3)，所以a2 026＝＝1 013.
答案：　1 013
4．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.
(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；
(2)求n为何值时an最小．
解：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，
得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6，
∴bn＋1－bn＝2n－6.
当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6，
bn－1－bn－2＝2(n－2)－6，
…
b3－b2＝2×2－6，
b2－b1＝2×1－6，
累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)
＝n(n－1)－6n＋6
＝n2－7n＋6.
∴bn＝n2－7n－8(n≥2)．
当n＝1时，b1也适合此式，
故bn＝n2－7n－8.
(2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得
an＋1－an＝(n－8)(n＋1)．
∴当n＜8时，an＋1＜an；
当n＝8时，a9＝a8；
当n＞8时，an＋1＞an.
∴当n＝8或n＝9时，an的值最小．
5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 024项？
解：a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，
a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6.
证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2 024＝a337×6＋2＝a2＝2.

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