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4．2　等差数列
4．2.1　等差数列的概念
[新课程标准]
1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．体会等差数列与一元一次函数的关系，掌握等差数列的性质．
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．
4．通过理解等差数列的概念，培养学生数学抽象的核心素养；通过等差数列通项公式及性质的应用，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．　
第一课时　等差数列的概念及通项公式
知识点一　等差数列的概念
(一)教材梳理填空
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．
2．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)－10，－12，－14，－16，…是等差数列．(　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)
(4)等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为an＝2n－3.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．[多选]下列各组数列能构成等差数列的为(　　)
A．2,2,2,2,2
B．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3
C．3m,3m＋a,3m＋2a,3m＋3a
D．a－1，a＋1，a＋3
解析：选ACD　A．∵2－2＝2－2＝2－2＝2－2＝0，∴该数列是等差数列．B.∵cos 1－cos 0≠cos 2－cos 1，∴该数列不是等差数列．C.∵(3m＋a)－3m＝(3m＋2a)－(3m＋a)＝(3m＋3a)－(3m＋2a)＝a，∴该数列是等差数列．D.∵(a＋1)－(a－1)＝(a＋3)－(a＋1)＝2，∴该数列是等差数列．
3. 已知2m与n的等差中项为5，m与2n的等差中项为4，则m与n的等差中项为________．
解析：依题意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，故m与n的等差中项为3.
答案：3
知识点二　等差数列的通项公式
(一)教材梳理填空
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式 通项公式
an＋1－an＝d an＝a1＋(n－1)d
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)
(2)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．(　　)
答案：(1)√　(2)√
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　)
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
解析：选C　∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
3．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是(　　)
A．1,4 B．－1，－4
C．4,1 D．－4，－1
解析：选B　n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
题型一　等差数列的通项公式及应用
[学透用活]
等差数列通项公式的变形应用
已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则 an－am＝(n－m)d
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式．
[典例1]　在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[解]　(1)∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得，解得
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
求等差数列通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．　　
[对点练清]
1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求a20，an.
解：法一：∵a5＝10，a12＝31，
∴∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝3n－5，∴a20＝3×20－5＝55.
法二：∵a12＝a5＋7d，即31＝10＋7d，∴d＝3，
∴an＝a12＋(n－12)d＝3n－5，
∴a20＝a12＋8d＝31＋8×3＝55.
2．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项．
题型二　等差中项及应用
[学透用活]
[典例2]　(1)已知a和2b的等差中项是5,3a和4b的等差中项是7，求2a和3b的等差中项．
(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．
[解]　(1)∵a和2b的等差中项是5，∴a＋2b＝10.①
又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a＋4b＝14.②
由①②解得
∴2a和3b的等差中项为＝6.
(2)由x1＝3，得2p＋q＝3.①
又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，
且x1＋x5＝2x4，
得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1.②
将②代入①，得p＝1.故p＝1，q＝1.
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如要证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)．　　
[对点练清]
1．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A．26 B．29 C．39 D．52
解析：选C　因为5，x，y，z,21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21的等差中项，所以x＋z＝2y,5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
2．已知等差数列{an}满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
解：在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18，
∴3a3＝18，a3＝6.
∴解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
题型三　等差数列的判定与证明
[学透用活]
[典例3]　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n＞1，n∈N*)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
[证明]　法一：定义法
∵bn＋1＝＝＝，
∴bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N*)．又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
法二：等差中项法
∵bn＝，
∴bn＋1＝＝＝.
∴bn＋2＝＝＝.
∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.
∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N*)，
∴数列{bn}是等差数列．
判断等差数列常用的2种方法
(1)定义法：即验证其通项是否满足an＋1－an＝d(n∈N*)．具体步骤为：
①确定数列{an}的通项公式；
②由an表示an＋1，即将an中的n替换为n＋1得an＋1；
③作差：an＋1－an，并判断其结果是否为常数；
④总结：若an＋1－an是常数(即一个与n无关的数)，则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．　　
[对点练清]
1．(多选)已知数列为等差数列，则下列说法正确的是(　　)
A．an＋1＝an＋d(d为常数)
B．数列是等差数列
C．数列是等差数列
D．an＋1是an与an＋2的等差中项
解析：选ABD　 因为数列是等差数列，所以an＋1－an＝d，即an＋1＝an＋d，所以A正确；
因为数列是等差数列，所以an＋1－an＝d，那么－＝－＝－d，所以数列是等差数列，故B正确；
－＝＝，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；
根据等差数列的性质可知2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋1是an与an＋2的等差中项，故D正确．故选A、B、D.
2．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明：∵，，成等差数列，
∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
∵＋＝＝＝＝＝，
∴，，成等差数列．
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)∵an＝an－1＋2(n≥3)，
∴an－an－1＝2(n≥3)，
即数列{an}满足a3－a2＝2，a4－a3＝2，a5－a4＝2，
即从第3项起每一项与前一项的差为同一个常数，
∴a2，a3，a4，…，an构成公差为2的等差数列，
但a2－a1＝0≠2，
∴{an}不是等差数列．
(2)由(1)知，an＝a2＋(n－2)·d＝1＋(n－2)×2＝2n－3(n≥2)．
∴an＝
二、应用性——强调学以致用
2．(2022·新课标Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　)
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
解析：选D　设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
且＝0.725，
所以＝0.725，故k3＝0.9.
3．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为________升．
解析：设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，由题意知
则解得
故a5＝a1＋4d＝.
答案：
三、创新性——强调创新意识和创新思维
4．(2024·新课标Ⅰ卷，节选)设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m＋2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj(i＜j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m＋2是(i，j)—可分数列．
(1)写出所有的(i，j)，1≤i＜j≤6，使数列a1，a2，…，a6是(i，j)—可分数列；
(2)当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m＋2是(2,13)—可分数列．
解：(1)依题意可得，当1≤i＜j≤6时，去掉ai，aj两项后，原来的6项a1，a2，a3，a4，a5，a6剩余4项．若使此4项成等差数列，则必为下标连续的4项，即a1，a2，a3，a4或a2，a3，a4，a5或a3，a4，a5，a6.
所以符合题意的(i，j)是(5,6)，(1,6)，(1,2)．
(2)解：证明：依题意可知，等差数列a1，a2，…，a4m＋2去掉第2项和第13项，剩余数列为a1，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11，a12，a14，…，a4m＋2.
前12项可分组为a1，a4，a7，a10；a3，a6，a9，a12；a5，a8，a11，a14.
a14后的每4个相邻的项分为一组即可，即a15，a16，a17，a18；…；a4m－1，a4m，a4m＋1，a4m＋2.被分成的每一组都能构成等差数列．
所以数列a1，a2，…，a4m＋2是(2,13)—可分数列．
[课下过关检测]　
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
解析：选C　∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.
2．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　)
A．1,4,7,10
B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25,24,23,22
D．10,8,6,4,2
解析：选ABD　根据等差数列的定义，可得A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．
3．已知在等差数列{an}中，a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝8，则a9－a3＝(　　)
A．8 B．6 C．4 D．3
解析：选D　由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a9＋a12－a14＋a20－a7＝2a1＋20d＝2(a1＋10d)＝8，即a1＋10d＝4，所以a9－a3＝a1＋8d－(a1＋2d)＝(a1＋10d)＝3，故选D.
4．[多选]在等差数列{an}中，a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则下列结论中正确的是(　　)
A．k＝49 B．k＝50
C．an＝ D．an＝
解析：选BC　设等差数列{an}的公差为d，则a4＋a5＝2a1＋7d＝，a1＝，则d＝，an＝＋(n－1)×＝，故ak＝＝33，解得k＝50.
5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差是(　　)
A．－2 B．－3 C．－4 D．－5
解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，∴a6＝23＋5d，a7＝23＋6d，∵数列前6项均为正数，从第7项起为负数，∴23＋5d＞0,23＋6d＜0，∴－＜d＜－.又数列是公差为整数的等差数列，∴d＝－4，故选C.
6．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：21
7．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d的取值范围是__________．
解析：设an＝－24＋(n－1)d，由解得答案：
8．已知b是a，c的等差中项，且a＞b＞c，若lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，a＋b＋c＝15，则a的值为________．
解析：由题意，知
解得
答案：7
9．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn＋r(p，q，r∈R，且p，q，r为常数)．
(1)当p，q，r满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
(2)设bn＝an＋1－an，求证数列{bn}是等差数列．
解：(1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)＋r]－(pn2＋qn＋r)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列．此时q，r∈R.
(2)证明：因为bn＝an＋1－an＝2pn＋p＋q，
所以bn＋1－bn＝2p(n＋1)＋p＋q－2pn－p－q＝2p为常数，所以{bn}是等差数列．
10．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)求{an}的通项公式．
(2)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？请说明理由．
(3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d.
依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，
∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.
(2)令4n－1＝135，得n＝34，
∴135是数列{an}的第34项．
∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，
∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项．
(3)∵am，at是数列{an}中的项，
∴am＝4m－1，at＝4t－1，
∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.
∵2m＋3t－1∈N*，
∴2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项．
1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)
A．4 B．
C．－4 D．－
解析：选A　由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以所求直线的斜率k＝＝4.
2．[多选]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．Sn＝－ D．数列是等差数列
解析：选BCD　∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得－＝－1.∴是以－1为首项，－1为公差的等差数列，即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，又a1＝－1不适合上式，∴an＝
3．在50到350之间，末位数字是3的自然数的个数有________．
解析：在50到350之间，末位数字是3的自然数有53,63，…，343，构成以53为首项，343为末项，10为公差的等差数列，由an＝a1＋(n－1)d，可得项数n＝＋1＝＋1＝30.
答案：30
4．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形(图2)，再分别连接图2中间的一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(图3)．依此类推，第n个图中原三角形被剖分为an个三角形．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
解：(1)由题图可知，图1、图2、图3中三角形被分割成1个，4个，7个，
由于每次三角形的个数增加3，所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列．
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由(1)可知an＝3n－2，所以a100＝3×100－2＝298，即第100个图中原三角形被剖分为298个三角形．
5．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2.
(2)求{bn}的通项公式．
(3)求{bn}中的第503项是{an}中的第几项．
解：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，
∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)设所求为{an}的第m项，则m＝503×4－1＝2 011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项．
第二课时　等差数列的性质及其应用
题型一　等差数列的性质及应用
[学透用活]
若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
[典例1]　(1)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝(　　)
A．0　　　　　B．37　　　　　C．100　　　　　D．－37
(2)(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C．－　　　　　D．－
[解析]　(1)设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
(2)由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0，则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝.
[答案]　(1)C　(2)B
本例(1)应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列．
本例(2)求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的锻炼．　　
[对点练清]
1．已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　)
A．10 B．－10 C．15 D．－15
解析：选B　法一：设等差数列{an}的公差为d，则30＝(a1＋3d)＋(a1＋6d)＋(a1＋9d)＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.故a3－2a5＝(a1＋2d)－2(a1＋4d)＝－a1－6d＝－10.
法二：由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.故a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
答案：180
题型二　灵活设元求解等差数列
[学透用活]
[典例2]　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4,3,2.
(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
则解得或
又四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，∴d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2,0,2,4.
常见的设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设这三个数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设这四个数为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.　　
[对点练清]
已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解：法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则
即
解得或
因为数列{an}为单调递增数列，
所以d＞0，所以
从而得到等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
则即
解得或
因为数列{an}为单调递增数列，所以d＞0，所以
从而得到等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
题型三　等差数列的实际应用
[学透用活]
[典例3]　某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
[解]　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)，即需要支付车费23.2元．
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．　　
[对点练清]
1．在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需支付多少车费？
解：由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)，即需要支付车费29.2元．
2．在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N*)处的目的地，求其需支付的车费an.
解：当n∈{1,2,3}时，an＝10，
当n≥4，且n∈N*时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4.
所以an＝
3．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．在两个等差数列2,5,8，…，197与2,7,12，…，197中，求它们的公共项从小到大依次排列构成的数列的通项公式及公共项的个数．
解：设两数列的公共项从小到大依次排列构成的数列为{cp}，则c1＝2.
∵两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3,5，
∴数列{cp}仍为等差数列，且公差d＝15.
∴cp＝c1＋(p－1)d＝2＋(p－1)×15＝15p－13.
令2≤15p－13≤197，知1≤p≤14.
∴两数列共有14个公共项．
二、应用性——强调学以致用
2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2.
(1)求AB，BC，CD的长；
(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，则AB＝x－d，CD＝x＋d.
由题意得
解得或(舍去)．
所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，
CD＝11(cm)．
(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，
所以a10＝3＋(10－1)×4＝39，
a＝392＝1 521(cm2)．
所求正方形的面积为1 521 cm2.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；
(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d，
从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，
所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，
因此等差数列{an}是“P(3)数列”．
(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，
当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①
当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②
由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③
an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④
将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，
所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.
在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，
所以a2＝a3－d′，
在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，
所以a1＝a3－2d′，
所以数列{an}是等差数列．
[课下过关检测]　
1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝(　　)
A．5 B．6 C．8 D．9
解析：选A　由等差中项的性质得a1＋a9＝2a5＝10，所以a5＝5.
2．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5 B．8 C．10 D．14
解析：选B　法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.
3．各项均为正数的等差数列{an}中，3a6－a＋3a8＝0，则a7＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C　∵3a6－a＋3a8＝0，∴由等差数列的性质，得6a7－a＝0，∵等差数列{an}的各项不为零，∴a7＝6，故选C.
4．已知数列{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为(　　)
A．－ B．－ C. D．
解析：选A　∵数列{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝π，
∴a1＋a5＋a9＝3a5＝π，解得a5＝，
∴a2＋a8＝2a5＝，
∴cos(a2＋a8)＝cos ＝－cos ＝－.故选A.
5．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝3(a3＋a5＋am)，则m＝(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：选C　因为S9＝3(a3＋a5＋am)，又S9＝9a5，所以9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以a3＋a5＋am＝3a5，即a3＋am＝2a5，设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＋a1＋(m－1)d＝2(a1＋4d)，所以(m＋1)d＝8d，又d≠0，所以1＋m＝8，所以m＝7.
6．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．
解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1＝4，a3＝12，所以d＝＝4.
答案：4
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
解析：由{an}，{bn}都是等差数列可知{an＋bn}也是等差数列，设{an＋bn}的公差为d，
所以a3＋b3＝(a1＋b1)＋2d，
则2d＝21－7，即d＝7.
所以a5＋b5＝(a1＋b1)＋4d＝35.
答案：35
8．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是________．
解析：法一：设新的等差数列的公差为d.
由a1＝8，a5＝2，得a3＝＝＝5，a2＝＝＝，所以d＝＝＝－.
法二：设新的等差数列为{bn}，其公差为d，则b1＝a1＝8，b9＝a5＝2，所以d＝＝＝－.
答案：－
9．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件：
(1)a3＋a5＋a7＝93；
(2)满足an＞100的n的最小值是15.
试求公差d和首项a1的值．
解：∵a3＋a5＋a7＝93，
∴3a5＝93，∴a5＝31，
∴an＝a5＋(n－5)d.
令an＞100，得n＞＋5.
∵满足an＞100的n的最小值是15，
∴14≤＋5＜15，
∴6＜d≤7，又d为正整数，
∴d＝7，a1＝a5－4d＝3.
10．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．
试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第1档次)
解：设在相同的时间内，
从低到高每档产品的产量分别为a1，a2，…，a10，
每件产品的利润分别为b1，b2，…，b10，
则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，
则an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，
所以利润f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864.
显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.
即在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．
1．[多选]在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N＋)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　)
A．1 B．3 C．5 D．7
解析：选ABD　由题意得，插入k(k∈N＋)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…. 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1,3,7.
2．若数列{an}满足a－a＝d(其中d是常数)，则称数列{an}是“等方差数列”．已知数列{bn}是公差为m的等差数列，则“m＝0”是“{bn}是等方差数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　若m＝0，则{bn}为常数列，满足b－b＝0，所以{bn}是等方差数列，充分性成立．因为{bn}是等方差数列，所以b－b＝d，则(bn＋bn－1)·(bn－bn－1)＝d.因为数列{bn}是公差为m的等差数列，所以bn－bn－1＝m.所以m(bn＋bn－1)＝d.由于bn＋bn－1＝2b1＋(2n－3)m，当m≠0时，bn＋bn－1随着n的改变而改变，m＝不是定值，不合要求；当m＝0时，bn＋bn－1＝2b1为定值，此时d＝0满足题意．综上，必要性成立．
3．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为
an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，
则需满足m＝4n－1，n∈N＋，
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以新数列{bn}也为等差数列，
且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′
＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，所以当n＝110时，
m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．
4．已知{an}是各项都为正数的递增数列，给出两个性质：①对于{an}中任意两项ai，aj(i>j)，在{an}中都存在一项am，使得2ai－aj＝am；②对于{an}中任意一项an(n≥3)，在{an}中都存在两项ak，al(k(1)若an＝2n，判断{an}是否满足性质①，请说明理由；
(2)若an＝n，判断{an}是否同时满足性质①和性质②，请说明理由；
(3)若{an}同时满足性质①和性质②，证明：a1，a2，a3，a4成等差数列．
解：(1)由an＝2n，性质①是任意ai，aj(i＞j)，存在2ai－aj＝am，
令i＝j＋p(p>0)，则an要满足2m＝2p＋j＋1－2j，
可得2m＝2j(2p＋1－1)，可得2m－j＝2p＋1－1，其中2m－j为偶数，2p＋1－1为奇数，所以不成立，
如：当i＝4，j＝3时，2m＝25－23＝24，不存在这样的m.
(2)当an＝n(n＝1,2，…)时，2ai－aj＝2i－j，i>j，所以2i－j>0，
所以存在m＝2i－j使得数列{an}满足性质①；
对性质②，取l＝n－1，k＝n－2，n≥3，
则an＝2an－1－an－2＝2(n－1)－(n－2)＝n成立，所以满足性质②.
(3)证明：由{an}是递增数列，满足性质①和性质②，所以an＝2al－ak，即an＋ak＝2al，
当n＝3时，a3＋ak＝2al，已知l>k，所以k又由k，l∈N*，所以k＝1，l＝2，即a3＋a1＝2a2.
取n＝4，则a4＝2al－ak>a1，所以2≤l≤3，
若l＝2，k＝1，则a4＝2a2－a1＝a3，不符合题意，舍去．
若l＝3，k＝1，则a4＝2a3－a1.
因为a3<2a3－a2<2a3－a1＝a4，所以2a3－a2不是{an}中的项，不满足性质①，不符合题意，舍去，
若l＝3，k＝2，则a4＝2a3－a2，
所以a4－a3＝a3－a2＝a2－a1，故a1，a2，a3，a4成等差数列．

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