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4．3　等比数列
4．3.1　等比数列的概念
[新课程标准]
1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．
2．掌握等比数列的性质并应用．
3．通过掌握等比数列的定义及公式的应用，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养；通过对等比数列性质的应用，培养学生逻辑推理的核心素养．　
第一课时　等比数列的概念及通项公式
知识点一　等比数列的概念
(一)教材梳理填空
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0)．
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等比数列中至少含有三项．(　　)
(2)等比数列每相邻两项的比都相同．(　　)
(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)
(4)任何两个数都有等比中项．(　　)
(5)若G2＝ab，则G一定是a，b的等比中项．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．下列数列为等比数列的是(　　)
A．2,22,3×22，… B．，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…
解析：选B　A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．
3．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
答案：x≠0
知识点二　等比数列的通项公式
(一)教材梳理填空
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为an＝a1qn－1.
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)等比数列{an}的首项为a1＝1，公比为2，则an＝2n－1.(　　)
(2)数列a，a3，a5，a7，…的通项公式为an＝a2n－1.(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
答案：B
3．在等比数列{an}中，a3＝2，a6＝16，则数列{an}的公比是(　　)
A．－2 B．
C．2 D．4
答案：C
题型一　等比数列的通项公式
[学透用活]
[典例1]　在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解]　设首项为a1，公比为q.
(1)法一：因为所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.
(2)法一：因为
由得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　
[对点练清]
1．若{an}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比是(　　)
A．0 B．1或－2
C．－1或2 D．－1或－2
解析：选C　设首项为a1，公比为q，显然a1q≠0.由已知得2a1q3＝a1q5－a1q4，即2＝q2－q，解得q＝－1或q＝2.
2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：选D　因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
题型二　等比中项及应用
[学透用活]
[典例2]　等比数列{an}的前三项之和为168，a2－a5＝42，求a5与a7的等比中项．
[解]　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
因为a2－a5＝42，所以q≠1，
由已知得
即
因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
所以由②除以①，得q(1－q)＝.
所以q＝.所以a1＝＝96.
设G是a5，a7的等比中项，
则G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
即G＝±3.
所以a5与a7的等比中项是±3.
(1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab＞0)．　　
[对点练清]
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：选B　因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，
所以an＝4×n－1.
答案：4×n－1
题型三　等比数列的判定与证明
[学透用活]
[典例3]　在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
[证明]　法一：定义法
∵an＞0，∴an＋3＞0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴＝＝＝2.
∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
法二：等比中项法
∵an＞0，∴an＋3＞0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)
＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
1．证明数列是等比数列常用的方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2) {an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*) {an}为等比数列．
2．要证数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明．
3．对形如an＋1＝can＋b(n∈N*，b，c≠0，且c≠1，b，c为常数)的递推公式，通常可以变形为an＋1＋＝c，从而构造一个等比数列，通过求该等比数列的通项公式可得an.证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里采用了转化与化归的策略．　　
[对点练清]
1.(多选)设数列{an}为等比数列，q为公比，则下面四个数列是等比数列的为(　　)
A．{a} B．{pan}(p为非零常数)
C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1}
解析：选ABC　对于A，因为＝3＝q3(常数)，
所以{a}是等比数列；
对于B，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；
对于C，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；
对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，故此时{an＋an＋1}不是等比数列；当q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．
故选ABC.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an＋1，
∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.
∴an＋1＝2an.
又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.
又由an＋1＝2an知an≠0，
∴＝2，∴{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列．其通项公式an＝－1×2n－1＝－2n－1.
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，且lg a1，lg a2，lg a4成等差数列．又bn＝，n＝1,2,3，…，求证：数列{bn}为等比数列．
证明：∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，
∴2lg a2＝lg a1＋lg a4＝lg(a1·a4)，
∴a＝a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，
则(a1＋d)2＝a1·(a1＋3d)，
∴d2＝a1·d，∴d(a1－d)＝0.
①当d＝0时，数列{an}为常数列，数列{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②当d＝a1≠0时，a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，
则bn＝＝·，
∴＝＝(常数)(n≥1)．
此时数列{bn}是首项为b1＝，公比为的等比数列．
综上可知，数列{bn}为等比数列．
二、应用性——强调学以致用
2．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%.今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，则“衰分比”为(　　)
A．20% B．25% C．75% D．80%
解析：选A　根据题意，设衰分比为x%，甲分到a石，0又由今共有粮食m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，
则a(1－x%)＝80，a＋a(1－x%)2＝164，
解得a＝100，x＝20.故选A.
3．(2024·北京高考)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm,325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为______ mm，升量器的高为________ mm.(不计量器的厚度)
解析：设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3＝10V2，即π×2×230＝10×π×2×h2，解得h2＝23.又V2＝10V1，即π×2×23＝10×π×2×h1，解得h1＝57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm，23 mm.
答案：23　57.5
三、创新性——强调创新意识和创新思维
4．若数列{an}满足an＋1＝3an－1，则称{an}为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且b1＝2，则b2 025＝(　　)
A．3×22 024 B．22 025
C．2×32 024 D．2×32 023
解析：选C　为“对奇数列”，则bn＋1＋＝3－1，即bn＋1＝3bn.又b1＝2≠0，故{bn}是以2为首项，3为公比的等比数列，故bn＝2×3n－1，则b2 025＝2×32 024.
[课下过关检测]　
1．[多选]下列说法中不正确的是(　　)
A．等比数列中的某一项可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
解析：选ABD　对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A不正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．故选A，B，D.
2．已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q＝(　　)
A．1或－ B．1 C．－ D．－2
解析：选A　由题意，可知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.∴a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1或－.
3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
解析：选A　设等比数列{an}的公比为q，
由题知a2＋a3＝a1q＋a2q＝q(a1＋a2)＝6.
又因为a1＋a2＝3，所以q＝2，a1＝1，
所以a7＝a1·q6＝26＝64.
4．等差数列{an}中，d＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　)
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
解析：选B　由题知a1＝a2－d＝a2－2，a3＝a2＋d＝a2＋2，a4＝a2＋2d＝a2＋4.
因为a1，a3，a4成等比数列，
所以a＝a1·a4，
即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，
解得a2＝－6.
5．若数列{an}满足an＋1＝4an＋6(n∈N*)且a1＞0，则下列数列中是等比数列的是(　　)
A．{an＋6} B．{an＋1}
C．{an＋3} D．{an＋2}
解析：选D　由an＋1＝4an＋6可得an＋1＋2＝4an＋8＝4(an＋2)，因此＝4.又a1＞0，所以an＞0，从而an＋2＞0(n∈N*)，故{an＋2}是等比数列．
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝4，a＝4a3a7，则a5＝________.
解析：设公比为q，则由题意，得所以所以a5＝2×4＝.
答案：
7．已知等比数列{an}中的前三项为a,2a＋2,3a＋3，则实数a的值为________．
解析：因为2a＋2为等比中项，所以(2a＋2)2＝a(3a＋3)，
整理得a2＋5a＋4＝0，解得a＝－1或a＝－4.
但当a＝－1时，第二、三项均为零，
故a＝－1应舍去，
综上，a＝－4.
答案：－4
8．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝________.
解析：依题意可知，a1，a2，a3，…成等比数列，且公比为，则＝＝24.
答案：24
9．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．
解：设数列{an}的公比为q.
∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，
∴
由①，得a1＝q.
由②，得q＝2或q＝，
又数列{an}为递增数列，
∴a1＝q＝2，∴an＝2n.
10．已知数列的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列是等比数列．
解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)．
所以a1＝－.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又a1＝－，
所以是首项为－，公比为－的等比数列．
1．[多选]已知{an}为等差数列，满足4a3－a8＝7，a2＋a7＝11，{bn}为等比数列，满足b1＝a1，b4＝a15，则(　　)
A．{an}的首项与公差相等 B．a2，a5，a11成等比数列
C．{bn}的首项与公比相等 D．b3，b5，b6成等差数列
解析：选BC　因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3－a8＝3a1＋d＝7，a2＋a7＝2a1＋7d＝11，解得a1＝2，d＝1，故A错误；可得an＝2＋n－1＝n＋1，所以a2＝3，a5＝6，a11＝12，是等比数列，故B正确；数列{bn}为等比数列，且b1＝a1＝2，b4＝a15＝16，所以q＝2，则bn＝2n，故C正确；b3＝8，b5＝32，b6＝64，不是等差数列，故D错误．
2．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，S2＝8，S4＝32，数列{bn}为等比数列，且b1＝a1，b2(a2－a1)＝b1，则{bn}的通项公式为bn＝________.
解析：设公差为d，公比为q，
由已知得∴
又∵b2(a2－a1)＝b1，
∴q＝＝＝＝.∴bn＝2×n－1.
答案：2×n－1
3．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5＝________.
解析：由题意，得＝(－)n－1(n≥2)，所以＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，
将上面的四个式子两边分别相乘，
得＝(－)1＋2＋3＋4＝32.又a1＝1，所以a5＝32.
答案：32
4．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式．
(2)试问：－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解：(1)证明：∵2an＝3an＋1，∴＝，
故{an}是等比数列，且其公比为.
∵a1q·a1q4＝，∴a＝，又a1＜0，
∴a1＝－，∴an＝n－1＝－n－2.
(2)由(1)的结论，令－＝－n－2，
得4＝n－2，
解得n＝6，为正整数，则－是该数列的第6项．
5．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．
(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；
(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．
解：(1)证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，aa4依次构成等比数列．
(2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．
假设存在a1，d使得a1，a，a，a依次构成等比数列，
则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.
令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0　(*)，且t2＝t＋1.
将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.
显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．
第二课时　等比数列的性质及其应用
题型一　等比数列的性质
[探究发现]
1．公比q＞0且q≠1时，等比数列呈现怎样的特点？
提示：当a1＞0，q＞1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列是递减数列．
2．已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q.
(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
提示：(1)是，首项为ak＋1，公比为q；(2)是，首项为a1，公比为q2；(3)是，公比为q11.猜想：下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公比为qm的等比数列．　　　
[学透用活]
[典例1]　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)
A．5 B．7 C．6 D．±5
(2)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
[解析]　(1)法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，所以a2a8＝50，
所以a4a5a6＝a＝()3＝(50)3＝5.
法二：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.又数列各项均为正数，所以a4a5a6＝5.
(2)法一：由a5·a2n－5＝22n
得a1q4·a1q2n－6＝aq2n－2＝22n，
所以(a1qn－1)2＝(2n)2.
又an＞0，所以a1qn－1＝2n.
故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1
＝log2(a1a3…a2n－1)
＝log2(aq2＋4＋…＋2n－2)
＝log2[aqn(n－1)]
＝log2[(a1qn－1)n]
＝log2[(2n)n]
＝n2.
法二：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
取特殊值，如令n＝2，则log2a1＋log2a3＝log2(2·23)＝log224＝4.只有C选项符合．
法三：由等比中项的性质，得a5·a2n－5＝(an)2＝22n，注意到an＞0，所以an＝2n.
于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.
法四：因为a1·a2n－1＝a3·a2n－3＝a5·a2n－5＝…＝(an)2＝22n，
所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…an]＝log22n2＝n2.
[答案]　(1)A　(2)C
等比数列的性质
(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.
(3)等比数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．
(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.
(5)在等比数列{an}中，当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．
[提醒]　在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件．　　
[对点练清]
1．等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于(　　)
A．12 B．6 C．－12 D．－6
解析：选A　由a2a15＝a7a10，得a15＝＝＝12，故选A.
2．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以＋＋＋＝＝÷＝－.
答案：－
题型二　灵活设元求解等比数列问题
[学透用活]
[典例2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解]　法一：设第一个数为x，则第四个数为16－x，设第二个数为y，则第三个数为12－y，
由题意得
即解得y＝4或y＝9.
当y＝4时，x＝0，这四个数分别是0,4,8,16；
当y＝9时，x＝15，这四个数分别是15,9,3,1.
故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，(a≠0)．
由条件得
解得或
当a＝4，d＝4时，所求四个数分别是0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数分别是15,9,3,1.
故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.
法三：设这四个数依次为－a，，a，aq.
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数分别为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求四个数分别为15,9,3,1.
故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为：，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：
…，，，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：
，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：
…，，，，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.　　
[对点练清]
若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13后所得数成等差数列，求这四个数．
解：设所求四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
所以解得
所以这四个数分别为3,6,12,24.
题型三　等比数列的实际应用问题
[学透用活]
[典例3]　某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年6月的销售额128万元，到8月跌至32万元，求该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比．若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？
[解]　设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1＝128，
则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，即an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元．
数列实际应用题常与生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：
(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；
(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．　　
[对点练清]
从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%
解：设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－，设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an，从而建立了递推关系．
∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列．
∴an＝a1qn－1＝n，
即第n次操作后酒精的浓度是n.
当a＝2时，由an＝n＜，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.
[课堂思维激活]　
一、综合性——强调融会贯通
1．(2022·新课标Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1；
(2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数．
解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，
由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，
将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.
(2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，
由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，
由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m，
由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.
二、应用性——强调学以致用
2．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离，那么至少对折的次数n是(lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)(　　)
A．40 B．41 C．42 D．43
解析：选C　设对折n次时，纸的厚度为an，每次对折厚度变为原来的2倍，
由题意知{an}是以a1＝0.1×2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝0.1×2×2n－1＝0.1×2n，
令an＝0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012，
所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即nlg 2≥0.6＋12，
解得n≥＝42，所以至少对折的次数n是42，故选C.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．是否存在一个等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11且a1a6＝；②an＋1>an(n∈N*)；③至少存在一个m(m∈N*且m>4)，使得am－1，a，am＋1＋依次构成等差数列？
解：假设存在满足条件的等比数列{an}．
由①可知
由②可知数列{an}是递增的，所以a6>a1，
则 q＝2.此时an＝×2n－1.
由③可知2a＝am－1＋ 22＝××2m－2＋，
解得m＝3，与已知m>4矛盾，故这样的数列{am}不存在．
[课下过关检测]　
1．在等比数列{an}中，已知a1aa15＝243，则的值为(　　)
A．3 B．9 C．27 D．81
解析：选B　设数列{an}的公比为q，
∵a1aa15＝243，a1a15＝a，∴a8＝3，
∴＝＝a＝9.
2．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低，则2011年价格为8 100元的计算机到2026年时的价格应为(　　)
A．900元 B．2 200元
C．2 400元 D．3 600元
解析：选C　8 100×3＝2 400.故选C.
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为(　　)
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
解析：选C　∵a3a8a13＝a，
∴lg(a3a8a13)＝lg a＝3lg a8＝6.
∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10 000，故选C.
4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于(　　)
A．－ B． C．± D．
解析：选A　∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，
则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2＞0，∴b2＝2，
∴＝＝－.
5．已知数列{an}是等比数列，对任意n∈N*，都有an＞0.若a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，则a3＋a5＝(　　)
A．5 B．10 C．15 D．20
解析：选A　由等比数列的性质及a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，
得a3(a3＋a5)＋a4(a3q＋a5q)＝25.
∴(a3＋a5)(a3＋a4q)＝25，
∴(a3＋a5)2＝25.
∵对任意n∈N*，都有an＞0，
∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.
6．若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________.
解析：∵{an}是等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，a9＋a10为等比数列，∴a9＋a10＝1×44＝256.
答案：256
7．在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
8．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
解析：由a2a4a5＝a3a6.得a2＝1，由a9a10＝－8，得a22·q15＝－8，则q5＝－2，∴a7＝a2·q5＝－2.
答案：－2
9．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．
解：法一 按等比数列设元
设前三个数为，a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.
故所求的四个数为9,6,4,2.
法二 按等差数列设元
设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.
10．小张买了一辆价值10万元的新车，根据市场行情，该款车每年按20%的速度折旧．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算使用6年后卖掉这辆车，他大概能得到多少万元？(保留小数点后两位)
解：(1)设第n年后车辆的价格为an，由题意(1－20%)·an＝an＋1，即＝80%；因为一年后的价格为a1＝10×0.8，所以an＝a1·0.8n－1＝10×0.8n，n∈N*.
(2)由(1)得a6＝10×0.86＝2.621 44≈2.62(万)．
所以使用6年后卖掉这辆车，他大概能得到2.62万元．
1．已知{an}为等比数列，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C. D．－或
解析：选D　由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2＋a16＝－6，a2a16＝2，显然两根同为负值，所以a9＝± ＝±，所以＝±.
2．[多选]已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是公差大于0的等差数列，且a3＝b3，a7＝b7，则(　　)
A．a5＝b5 B．a5C．a1>b1 D．a9>b9
解析：选BCD　设{an}的公比为q(q>0)，{bn}的公差为d(d>0)，所以，an＝a1qn－1＝·qn，bn＝b1＋(n－1)d＝b1－d＋nd，
所以，由d>0可知{bn}为单调递增数列，即a7＝b7>b3＝a3
因为a1>0，q>0，>0，
所以＝q4>1，即q>1，数列{an}为单调递增数列，
作出函数y＝·qx，y＝dx＋b1－d的图象如图所示，
由上述图象可知，当x∈N*时，两函数图象在n＝3，n＝7处相交，所以，当4≤n≤6时，anbn.
3．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a2－a1＝1，得
a1(q－1)＝1，q≠1，所以a1＝.
a3＝a1q2＝＝(q>0)，
而－＋＝－2＋≤，当且仅当q＝2时取等号，所以当q＝2时，a3有最小值4.此时a1＝＝＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.
答案：2n－1
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.
(1)求an与bn；
(2)设cn＝3bn－λ·2，若数列{cn}是递增数列，求实数λ的取值范围．
解：(1)由已知可得整理得q2＋q－12＝0，解得q＝3或q＝－4(舍)，从而a2＝6，
所以an＝3n，bn＝3n－1.
(2)由(1)知，cn＝3bn－λ·2＝3n－λ·2n.
由题意知cn＋1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即3n＋1－λ·2n＋1＞3n－λ·2n恒成立，即λ·2n＜2·3n恒成立，
即λ＜2·n恒成立．
因为函数y＝x是增函数，所以min＝2×＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．

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