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A卷——基本知能盘查卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的(　　)
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第21项
解析：选B　观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11.
2．在等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝(　　)
A．10 B．20 C．16 D．12
解析：选D　∵{an}是等差数列，
∴d＝＝，
∴a7＝2＋4×＝12.
3．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(　　)
A．24 B．30 C．54 D．108
解析：选C　由等比数列的性质知a4，a8，a12成等比数列，则a＝a4·a12，所以a12＝＝＝54.
4．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)
A．－1 B．0
C. D．
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d.在等差数列{an}中，a3＝1，a2a4＝.则由等差数列的通项公式得，a3＝a1＋2d＝1，(a1＋d)(a1＋3d)＝，∴d＝，a1＝0.故选B.
5．在等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：选C　∵数列{an}是等比数列，a4＝2，a5＝5，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝10，
∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1×a2×…×a8)＝lg(a4a5)4＝4lg 10＝4.故选C.
6．1＋＋＋…＋的值为(　　)
A．18＋ B．20＋
C．22＋ D．18＋
解析：选B　设an＝1＋＋＋…＋＝＝2，
∴原式＝a1＋a2＋…＋a11
＝2＋2＋…＋2
＝2
＝2
＝2＝2
＝20＋.
7．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是(　　)
A．4 B．2 C. D．
解析：选D　由题意可知1是方程的一个根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根，则m＝4，另一根为4.设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的两个根，且x3＜x4，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1，x3,4，x4，则公比为2，x3＝2，x4＝8，n＝16，＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，则n＝9，另一根为9.设x1，x2是方程x2－5x＋m＝0的两个根，则x1＋x2＝5，无论怎么排列均不合题意．
综上可知，＝.
8．将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n＝k1·k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f(n)＝|k1－k2|，则数列{f(5n)}的前2 024项的和为(　　)
A．51 012 B．51 012－1
C．52 023 D．52 023－1
解析：选B　当n＝2k，k∈N*时，52k＝5k·5k，所以f(5n)＝|5k－5k|＝0；当n＝2k－1，k∈N*时，52k－1＝5k－1·5k，所以f(5n)＝|5k－1－5k|＝5k－5k－1.所以数列{f(5n)}的前2 024项的和为(51－50)＋0＋(52－51)＋0＋(53－52)＋0＋…＋(51 012－51 011)＋0＝51 012－1.故选B.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)
A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C．S3＝S4 D．S4＝S5
解析：选BC　由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，
所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
10．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，设数列{bn}的前n项和Sn，则(　　)
A．an＝ B．an＝n
C．Sn＝ D．Sn＝
解析：选AC　由题意得an＝＋＋…＋＝＝，
∴bn＝＝＝4，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝4
＝4＝.
故选A、C.
11．已知数列{an}的通项为an＝n－1·，则下列表述正确的是(　　)
A．最大项为0 B．最大项不存在
C．最小项为－ D．最小项为－
解析：选AD　由题意得a1＝1－1×＝1×(1－1)＝0，当n＞1时，0＜n－1＜1，n－1－1＜0，
∴an＝n－1·＜0，
∴{an}的最大项为a1＝0.
又an＋1－an＝n－1，
∴当n≥3时，an＋1－an＞0；当1＜n＜3时，an＋1－an＜0.
∴{an}的最小项为a3＝－.故选A、D.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.
解析：由a＝a＋4，得a－a＝4，
∴数列{a}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
∵an＞0，∴an＝.
答案：
13．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若S2＝，S4＝，则a6＝________，an＝________.
解析：由题知数列{an}为等比数列，公比q＞0且q≠1，由得解得故a6＝a1q5＝×25＝8，an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－3.
答案：8　2n－3
14．在等差数列{an}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则a100的值为________．
解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，
∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，
设等差数列{an}的公差为d，
则S奇－S偶＝＝72－63＝9.
又am＝a1＋d(m－1)，∴＝9，
∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.
∵＝135，∴m＝15，
∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.
答案：101
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*, a1＝－3；an＋1－an＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a7，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为a1＝－3，an＋1－an＝2，所以数列{an}是以a1＝－3为首项，d＝2为公差的等差数列．
所以an＝2n－5.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，结合(1)可得b2＝a4＝3，b3＝a7＝9，
所以q＝＝3，所以b1＝＝＝1.
所以等比数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝3n－1.
所以an＋bn＝(2n－5)＋3n－1.
所以 Tn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn)
＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝[－3＋(－1)＋…＋(2n－5)]＋(1＋3＋…＋3n－1)
＝＋＝n2－4n＋(3n－1)．
16．(15分)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
解：(1)设{an}的公差为d.
因为a1＝－10，
所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.
因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．
解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.
(2)由(1)知，an＝2n－12.
则当n≥7时，an>0；当n≤6时，an≤0.
所以Sn的最小值为S5＝S6＝6a1＋d
＝6×(－10)＋15×2＝－30.
17．(15分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
解：(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，
即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，
所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，
bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.
18．(17分)在等差数列{an}中，a3＝4，a7＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为d＝＝1，
所以an＝a3＋(n－3)d＝n＋1.
(2)bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝2＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得
Tn＝2＋＋＋…＋－
＝＋1－
＝＋1－＝2＋1－
＝3－，所以Tn＝6－.
19．(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n(n－6)，数列{bn}满足b2＝3，
bn＋1＝3bn(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)当 n＝1时，a1＝S1＝－5，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7.
∵n＝1适合上式，∴an＝2n－7(n∈N*)．
∵bn＋1＝3bn(n∈N*)且b2≠0，∴＝3(n∈N*)．
∴{bn}为等比数列，∴bn＝3n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得，cn＝
当n为偶数时，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝＋.
当n为奇数时，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝＋.
综上所述：
Tn＝
B卷——高考能力达标卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式an等于(　　)
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1
解析：选B　由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1，故选B.
2．一个各项均为正数的等比数列中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝(　　)
A. B． C. D．
解析：选C　由题意知an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，即q2＋q－1＝0，解得q＝(负值舍去)．
3．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于(　　)
A．8 B．－8
C．±8 D．以上选项都不对
解析：选A　∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，且a2＞0，a6＞0，∴a4＝a2q2＞0(q为公比)，∴a4＝8.
4．等差数列{an}中，a3＋a9＝10，则该数列的前11项和S11＝(　　)
A．58 B．55 C．44 D．33
解析：选B　由题意得S11＝＝＝＝55.
5．若等比数列{an}的前5项的乘积为1，a6＝8，则数列{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D．
解析：选B　设数列{an}的公比为q，由题意得a1a2a3a4a5＝a＝1，所以a3＝1，所以q3＝＝8，解得q＝2.
6．已知a，b，c为等比数列，b，m，a和b，n，c是两个等差数列，则＋等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：选C　因为b，m，a和b，n，c是两个等差数列，所以m＝，n＝，又a，b，c为等比数列，所以b2＝ac，所以＋＝＋＝＝＝＝2.
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选B　法一：由解得则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．
法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(Sn)max＝S8，选项B正确．
8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　)
A．30尺 B．90尺
C．150尺 D．180尺
解析：选B　由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90尺．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
解析：选AD　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选A、D.
10．[多选]已知公差为d的等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则下列选项正确的有(　　)
A．d＝2
B．an＝2n＋1
C.＝
D. 的前n项和为
解析：选ABD　∵{an}是等差数列，∴a6＋a8＝2a7＝30，∴a7＝15，∴a7－a2＝5d，又a2＝5，则d＝2，A正确；∴an＝a2＋(n－2)d＝2n＋1，B正确；∴＝＝，C错误；∴的前n项和为＝＝，D正确．故选A,B,D.
11．若数列{an}满足：对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*，使得an＝ai＋aj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　　)
A．{2n} B．{n2}
C．{3n} D．
解析：选AD　令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，
所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，所以a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，所以a3≠a1＋a2，
所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝n－1，
则an＝n－2＋n－3＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列是“T数列”．故选A、D.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－1，而21－1＝1≠－1.故数列{an}的通项公式为an＝
答案：an＝
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.
解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，数列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，
即2a1＋2m－1＝5，所以a1＝3－m.
由Sm＝(3－m)m＋×1＝0，解得m＝5.
答案：5
14．若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n的值是________．
解析：由a203＋a204＞0 a1＋a406＞0 S406＞0，
又由a1＜0且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，
所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，
那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，
所以使前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405.
答案：405
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
16．(15分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为＝.
17．(15分)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列{an}的公差是d.
∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，
∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.
(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，
∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，
∴bn＝3n－2＋qn－1.
∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，
故当q＝1时，Sn＝＋n＝；
当q≠1时，Sn＝＋.
18．(17分)已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
解：(1)证明：由an＋1＝，得＝＝＋×，所以－1＝，
又a1＝，所以－1＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得－1＝×＝，即＝＋1，
所以＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋，①
则Tn＝＋＋…＋＋.②
由①－②得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
所以Tn＝2－－.
又1＋2＋3＋…＋n＝，
所以数列的前n项和Sn＝2－＋
＝－.
19．(17分)已知Sn为数列{an}的前n项和，3Sn＝an＋2a1(n∈N*)，a1≠0，且a1，，a2成等差数列；
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记bn＝求数列{bn}的前2n＋1项和T2n＋1.
解：(1)由已知3Sn＝an＋2a1，n≥2时，3Sn－1＝an－1＋2a1.
两式相减得到3an＝an－an－1，即＝－.
因为a1≠0，所以数列{an}是公比为－的等比数列，从而an＝a1n－1.
由a1，，a2成等差数列可得a1＋a2＝2×，
即a1－a1＝，解得a1＝1，所以an＝n－1.
(2)当n为奇数时，bn＝log3n－1＝log3n－1＝－(n－1)log32.
记前2n＋1项和T2n＋1中奇数项和为T奇，
则T奇＝b1＋b3＋b5＋…＋b2n＋1
＝－(0＋2＋4＋…＋2n)log32
＝－n(n＋1)log32.
当n为偶数时，bn＝n－1＝－n－1，
记前2n＋1项和T2n＋1中偶数项和为T偶，
则T偶＝b2＋b4＋b6＋…＋b2n
＝－
＝－＝－.
故T2n＋1＝－n(n＋1)log32－.

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